Arranjo e Permutações (Análise Combinatória) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 44 minutos: o índice

Como o ENEM cobra arranjo e permutações (análise combinatória)

O professor diz que qualquer questão se resolve com ou sem fórmula, mas que no ENEM e em outros vestibulares as alternativas muitas vezes vêm escritas como "permutação de 5" ou "combinação de 7 escolhe 3"; quem não conhece os nomes sabe resolver e mesmo assim erra a marcação. Na prática, a aula mostra o estilo da prova: um contexto do cotidiano com uma restrição (casais que ficam juntos, dois que não podem) em vez de contas diretas.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Princípio fundamental da contagem (multiplicar as etapas)
• Fatorial e simplificação de fatoriais (aula anterior)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Permutação simples: $P_n=n!$, com fila de 5 pessoas ($5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$) e anagramas de UNIVERSO ($P_8=8!$)
• Arranjo simples: $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$, com o pódio de 10 corredores e 3 colocações ($10\cdot 9\cdot 8=720$)
• Permutação circular: $P{C}_n=(n-1)!$, com rodas de 3 e de 4 pessoas ($3!\mathrm{/}3=2!$ e $4!\mathrm{/}4=3!$)
• Questão dos quatro casais (Universo Narrado 2023, #24403): alternativas 120, 384, 576, 720 e 960, com a correta 576
• Resolução por complementar: $5!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!=960$ (D1 e D2 juntos ou separados) menos $4!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!=384$ (juntos) dá 576

Permutação simples: mudar a ordem de objetos distintos

Permutar significa mudar a ordem. A permutação simples responde a quantas ordens diferentes existem para n objetos distintos, usando todos eles. O adjetivo "simples" indica que nenhum elemento se repete; a versão com repetição fica para a aula seguinte.

O professor pede que se esqueça a palavra "permutação" e se resolva só com o princípio fundamental da contagem. Para formar uma fila com cinco pessoas, A, B, C, D e E, sem restrição alguma, qualquer uma das cinco pode ocupar a primeira posição. Escolhida a primeira, sobram quatro candidatas para a segunda, depois três, depois duas e, por fim, uma só para a última posição.

Como é preciso escolher a primeira pessoa e a segunda e a terceira e assim por diante, as quantidades se multiplicam: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$. Esse produto é exatamente $5!$, que vale $120$. O valor $120$ importa menos que o raciocínio: o fatorial não aparece do nada, ele nasce da contagem de $5$ opções, depois $4$, depois $3$ e assim até $1$.

O mesmo vale para n pessoas: $n$ opções na primeira posição, $n-1$ na segunda, $n-2$ na terceira, até $1$ na última. O produto $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1$ é $n!$. Para $10$ pessoas seriam $10!$ filas, e para $1000$ pessoas, $1000\cdot 999\cdot 998\cdots$ até $1$.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:19:00)

A fórmula $P_n=n!$, os anagramas e por que saber a fórmula

Resumindo o raciocínio da fila: a permutação de $n$ objetos distintos é $P_n=n!$. A permutação de $5$ objetos é $P_5=5!=120$, a de $10$ é $10!$. Quem prefere a fórmula chega à mesma resposta da fila: cinco pessoas para trocar de ordem significam $P_5$, que é $5!=120$.

O professor levanta a pergunta que muita gente faz: precisa saber a fórmula? A resposta é que qualquer questão pode ser resolvida com ou sem fórmula, sem nenhuma exceção. O problema é a marcação: no ENEM e em muitos vestibulares as alternativas costumam aparecer como "permutação de $5$" ou "combinação de $7$ escolhe $3$". Quem não sabe o que significam permutação, combinação e arranjo pode até achar o valor correto e ainda assim não conseguir marcar a alternativa.

O segundo exemplo é o número de anagramas da palavra UNIVERSO. Anagrama é uma nova palavra formada com as mesmas letras em outra ordem; não precisa ter sentido. É o mesmo problema da fila: são $8$ letras distintas a reordenar, logo $P_8=8!$. Pelo método dos traços, $8$ letras podem ocupar a primeira posição, $7$ a segunda, e assim por diante até $1$, o que dá $8!$.

O professor não calcula o valor numérico, porque o que interessa é reconhecer a estrutura. Em ambos os exemplos, usar todos os elementos e apenas trocar a ordem caracteriza a permutação simples.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:24:00)

Arranjo simples: escolher p entre n quando a ordem importa

No arranjo simples, de um conjunto com $n$ objetos distintos escolhe-se um subgrupo de $p$ objetos e a ordem da escolha faz diferença. É o caso do pódio: uma corrida com $10$ pessoas e a pergunta de quantos pódios com $3$ pessoas são possíveis, com ouro, prata e bronze.

A ordem importa porque trocar as posições muda o resultado. Se A, B e C ganham, A em primeiro, B em segundo e C em terceiro é um pódio; B em primeiro, C em segundo e A em terceiro é outro, embora as três pessoas sejam as mesmas. Aqui não se usam todos os elementos, apenas se escolhe um subgrupo de uma turma maior.

Sem fórmula, usa-se o princípio da contagem: $10$ pessoas podem ficar em primeiro; como quem ganhou o ouro não pode ganhar a prata, restam $9$ para o segundo lugar e $8$ para o terceiro. Multiplicando, $10\cdot 9\cdot 8=720$ pódios diferentes.

Com fórmula, são necessários dois dados: o total de objetos disponíveis, $n$, e quantos serão selecionados, $p$. O arranjo é $A_n^p={\displaystyle \frac{n!}{(n-p)!}}$ (o professor diz que também se escreve com o $p$ embaixo, e que tanto faz). Aqui $n=10$ e $p=3$, então $A_{10}^3={\displaystyle \frac{10!}{(10-3)!}}={\displaystyle \frac{10!}{7!}}$. O professor alerta que o denominador é $(10-3)!$, e não $10!-3!$. Desenvolvendo, $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!$, o $7!$ cancela e sobra $10\cdot 9\cdot 8=720$, a mesma conta feita sem fórmula.

Nesse caso o método sem fórmula é bem mais prático, mas a fórmula continua valendo para reconhecer alternativas escritas em notação de arranjo. Usa-se arranjo quando se quer selecionar $p$ objetos entre $n$ e $ABC$ é diferente de $BCA$.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:29:00)

Permutação circular: por que $n!$ erra e como corrigir

Na permutação circular, em vez de fila, os $n$ objetos distintos ficam dispostos em uma roda. O raciocínio ingênuo para $3$ pessoas seria $3\cdot 2\cdot 1=3!$, mas está errado, e o professor explica por quê.

Suponha a roda com A, B e C em que, para quem olha de dentro, B está à esquerda de A, C à esquerda de B e A à esquerda de C. Isso é um ciclo. Se a roda inteira girar de modo que A vá para cima, a roda resultante é exatamente a mesma: pense nas pessoas de mãos dadas, cada uma com a mesma vizinha de um lado e a mesma do outro. Girar não altera quem está ao lado de quem.

O produto $3\cdot 2\cdot 1$ contou essas rotações como casos diferentes. Para três pessoas, cada roda foi contada $3$ vezes, uma para cada giro de $120^{\circ }$ (o terceiro giro devolve à posição original). O mesmo vale para a roda com ACB. Para corrigir, divide-se por $3$: ${\displaystyle \frac{3!}{3}}={\displaystyle \frac{3\cdot 2!}{3}}=2!$.

Com $4$ pessoas, o produto $4!$ conta cada roda $4$ vezes (rodas com A em cima, com B em cima e assim por diante são a mesma). Divide-se por $4$ e sobra ${\displaystyle \frac{4!}{4}}=3!$. Com $10$ pessoas seria ${\displaystyle \frac{10!}{10}}=9!$. Sobra sempre um fatorial a menos.

Para $n$ objetos, a permutação circular é $P{C}_n=(n-1)!$, equivalente a ${\displaystyle \frac{n!}{n}}$. O professor destaca que contar a mais e depois dividir pelo número de vezes contado é um raciocínio muito comum em análise combinatória, e que entender a origem da fórmula permite aplicá-la em situações novas.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:36:00)

A questão dos quatro casais (modelo ENEM): casais em caixas e o complementar

O enunciado: quatro casais reservam $8$ poltronas consecutivas, em fila, para uma sessão de stand up. Planejavam sentar cada pessoa ao lado do seu parceiro, mas José e Josefina discutiram e decidiram sentar separados. De quantas maneiras as $8$ pessoas podem se organizar? As alternativas, segundo o mapa mental, são $120$, $384$, $576$, $720$ e $960$, e a correta é $576$.

Para facilitar, o professor nomeia os casais $A_1{A}_2$, $B_1{B}_2$, $C_1{C}_2$ e $D_1{D}_2$, sendo o último o casal brigado. Sem restrições seriam $8!$, mas os casais precisam ficar juntos. Quando duas pessoas devem ficar juntas, elas são coladas, ou seja, postas numa caixa. Os três casais inseparáveis viram três caixas; $D_1$ e $D_2$ ficam cada um em sua caixa, pois não podem ficar na mesma. São $5$ caixas.

As $5$ caixas podem ser permutadas de $5!$ maneiras. Dentro de cada caixa de casal, as duas pessoas trocam de lugar de $2!$ maneiras. Resultado: $5!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!=120\cdot 8=960$.

Mas $960$ não é a resposta, porque nessa contagem $D_1$ e $D_2$ estão soltos e em alguns casos aparecem lado a lado. Esses $960$ casos incluem juntos e separados. Pede-se só os separados, então tiram-se os casos em que ficam juntos.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:45:00)

Tirando os casos em que D1 e D2 ficam juntos, e o segundo método

Para contar os casos em que $D_1$ e $D_2$ ficam juntos, eles também vão para uma caixa. Agora há $4$ caixas: $4!$ ordens, e dentro de cada uma das quatro caixas (os três casais e a caixa de $D_1{D}_2$) há $2!$ trocas. Logo são $4!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!$. O professor primeiro esqueceu a quarta caixa e chegou a $192$; ao perceber, multiplicou por $2$ e corrigiu para $24\cdot 16=384$.

Separados são o total menos os juntos: $960-384=576$. O professor também mostra que $960-192$ (a conta errada, que daria $768$) não serve, e confirma $576$ como a resposta a marcar.

O segundo caminho evita a subtração. Esquece-se por um momento $D_1$ e $D_2$ e permutam-se só os três casais inseparáveis: $3!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!=6\cdot 8=48$ maneiras. Depois $D_1$ e $D_2$ chegam e escolhem lugar entre os casais já sentados. Há $4$ posições possíveis: à esquerda do primeiro casal, entre o primeiro e o segundo, entre o segundo e o terceiro, e à direita do último. $D_1$ tem $4$ posições e $D_2$, depois, $3$; logo $48\cdot 4\cdot 3=576$.

O resultado é o mesmo, como deveria. O professor ainda observa que essa última etapa pode ser vista como um arranjo: de $4$ lugares disponíveis, $D_1$ e $D_2$ escolhem $2$ em ordem, ou seja, $A_4^2=4\cdot 3=12$. A lição é que em combinatória cabem vários caminhos, e a criatividade vale mais que seguir uma receita.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:53:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: permutacao simples arranjo simples permutacao circular principio fundamental da contagem permutacao com repeticao combinacao simples

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em arranjo e permutações (análise combinatória)

1. 01

   Usar $n!$ na permutação circular, contando como diferentes

   Usar $n!$ na permutação circular, contando como diferentes rodas que são só giros da mesma.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Escrever $10!-3!$ em vez de $

   Escrever $10!-3!$ em vez de $(10-3)!$ no denominador do arranjo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Parar em $960$ na questão dos casais, esquecendo que esse

   Parar em $960$ na questão dos casais, esquecendo que esse total inclui os casos em que $D_1$ e $D_2$ ficam juntos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Contar $4!\cdot2!\cdot2!\cdot2!$ para os casos juntos,

   Contar $4!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!$ para os casos juntos, esquecendo a caixa $D_1{D}_2$ e o seu $2!$ interno (dá $192$, e não $384$).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Resolver sem fórmula e travar na hora de marcar, porque

   Resolver sem fórmula e travar na hora de marcar, porque a alternativa vem escrita como "permutação" ou "arranjo".

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Arranjo e Permutações (Análise Combinatória) no ENEM