Arranjo simples: fórmula A(n,p) = n!/(n−p)! explicada

Q: Qual é a fórmula do arranjo simples?

A(n,p) = n!/(n−p)!, o produto dos p primeiros fatores decrescentes a partir de n.

Q: Qual a diferença entre arranjo e combinação?

No arranjo a ordem importa; na combinação, não. A relação é C = A/p!.

Q: Como saber qual usar na prova?

Trocando dois elementos escolhidos de lugar: se o resultado muda, é arranjo.

Q: De onde vem o (n−p)! no denominador?

Ele corta a cauda do fatorial de cima; o arranjo é o PFC escrito com fatoriais.

Q: Preciso calcular os fatoriais inteiros?

Não: A(10,3) sai como 10 × 9 × 8 = 720.

Q: O que acontece quando p = n?

O arranjo vira permutação: A(n,n) = n!/0! = n!.

Q: E se a repetição for permitida?

O total passa a ser n^p, pelo PFC, e não arranjo.

Q: Arranjo é o mesmo que permutação?

Não: a permutação usa todos os elementos; o arranjo, apenas p deles.

Qual é a fórmula do arranjo simples?

Escolhendo p elementos entre n disponíveis, sem repetição e com a ordem importando:

Arranjo simples

A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!} = n (n - 1) \dots (n - p + 1)

O produto dos p primeiros fatores decrescentes a partir de n. A divisão por (n−p)! serve justamente para cortar os fatores que sobram.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Dois números, e a condição de que p não pode passar de n:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	total de elementos disponíveis	natural
$p$	quantos serão escolhidos e ordenados	natural, «K: p \leq n »

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? Do PFC, direto. Para a primeira posição há n opções; escolhida uma, restam $n - 1$ para a segunda; depois $n - 2$ , e assim por diante, até completar p posições.

Esse produto decrescente com p fatores é $n (n - 1) (n - 2) \dots (n - p + 1)$ . E aí vem o truque de notação: para escrever isso com fatoriais, multiplica-se e divide-se pelo que falta para completar o fatorial de n:

Dedução · o PFC escrito com fatoriais

A_{n}^{p} = \underset{p fatores}{\underset{⏟}{n (n - 1) \dots (n - p + 1)}} \cdot \frac{(n - p)!}{(n - p)!} = \frac{n!}{(n - p)!}

O (n−p)! do denominador existe só para cortar a “cauda” do fatorial de cima. A fórmula é o PFC vestido de fatorial.

Vale saber disso porque, na prática, quase nunca compensa usar a fórmula com fatoriais. Para calcular $A_{10}^{3}$ , multiplicar $10 \times 9 \times 8 = 720$ é muito mais rápido que montar $10! / 7!$ . A forma com fatoriais serve para manipular álgebra, não para calcular. E agora o critério que resolve a dúvida número 1 da combinatória. Você pode estar pensando: “como sei se é arranjo ou combinação?” Troque dois elementos escolhidos de lugar e pergunte se o resultado mudou. Pódio: ouro-A/prata-B é diferente de ouro-B/prata-A → mudou → arranjo. Comissão: {A, B} é a mesma comissão que {B, A} → não mudou → combinação. Senha, ordem de chegada e cargos distintos são arranjo; comissão, grupo e conjunto são combinação. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando escolher e ORDENAR: pódios, senhas sem repetição, distribuição de cargos diferentes (presidente e vice), ordem de apresentação de p entre n candidatos.

Se todos os elementos entrarem ( $p = n$ ), o arranjo vira permutação: $A_{n}^{n} = n! / 0! = n!$ . É aqui, aliás, que o $0! = 1$ mostra serviço.

Arranjo pressupõe elementos DISTINTOS e SEM repetição. Se um elemento puder ser escolhido mais de uma vez — como dígitos numa senha que aceita repetição —, o caso é PFC puro, $n^{p}$ , e não arranjo.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, aplique o critério: em (a) trocar ouro com prata muda o resultado → arranjo. Em (b) trocar a ordem dos escolhidos não muda a comissão → combinação. Espere que (b) seja MENOR:

🪖 BásicoPódio e comissão, lado a lado

Numa turma de 10 alunos: (a) de quantas formas se pode formar um pódio de 3 (ouro, prata, bronze)? (b) e uma comissão de 3 pessoas?

(a) Arranjo: $A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .
(b) Combinação: cada comissão foi contada $3! = 6$ vezes no arranjo (uma por ordem).
$C_{10}^{3} = 720 / 6 = 120$ .

(a)

720

pódios · (b)

120

comissões

Verificação: bateu com a previsão: a comissão deu bem menos. A razão entre os dois é exatamente 3! = 6, o número de ordens de cada trio — que o pódio distingue e a comissão não. E se o pódio tivesse 10 posições, ou seja, p = n? Seria $A_{10}^{10} = 10! / 0! = 10!$ , a permutação de todos. O 0! = 1 é o que faz a fórmula continuar valendo nesse extremo.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar arranjo quando a ordem não importa
Comissão, grupo e conjunto não têm ordem. Usar arranjo aí infla o resultado por $p!$ .
Como evitar: faça o teste: trocar dois escolhidos de lugar muda o resultado? Se não muda, é combinação.
02
Aplicar arranjo com repetição permitida
Senha de 3 dígitos que aceita repetir não é arranjo: é $1 0^{3} = 1000$ , pelo PFC. Arranjo pressupõe elementos distintos.
Como evitar: procure no enunciado por “distintos” ou “sem repetir”. Sem essa condição, volte ao PFC.
03
Calcular os fatoriais inteiros
$A_{10}^{3}$ não pede que você calcule 10! e 7!. Bastam três fatores: 10 × 9 × 8.
Como evitar: use a forma do produto decrescente. A forma com fatoriais serve para álgebra, não para conta.

FAQ: perguntas sobre o arranjo simples

Qual é a fórmula do arranjo simples?

$A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}$ , que é o produto dos p primeiros fatores decrescentes a partir de n.

Qual a diferença entre arranjo e combinação?

No arranjo a ordem importa; na combinação, não. Pódio é arranjo, comissão é combinação. A relação entre elas é $C = A / p!$ .

Como saber qual usar na prova?

Troque dois elementos escolhidos de lugar. Se o resultado mudou, é arranjo; se continua o mesmo, é combinação.

De onde vem o (n−p)! no denominador?

Ele existe só para cortar a cauda do fatorial de cima. O arranjo é o PFC — $n (n - 1) \dots$ com p fatores — reescrito em notação de fatorial.

Preciso calcular os fatoriais inteiros?

Não, e é melhor não calcular. $A_{10}^{3}$ sai como 10 × 9 × 8 = 720, sem montar 10! nem 7!.

O que acontece quando p = n?

O arranjo vira permutação: $A_{n}^{n} = n! / 0! = n!$ . É um dos motivos pelos quais $0!$ precisa valer 1.

E se a repetição for permitida?

Não é arranjo. Com repetição, cada posição mantém todas as n opções e o total é $n^{p}$ , pelo PFC.

Arranjo é o mesmo que permutação?

Não exatamente: a permutação usa TODOS os elementos, o arranjo usa apenas p deles. A permutação é o caso particular do arranjo com p = n.

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Arranjo simples: A(n,p) = n!/(n−p)!

Qual é a fórmula do arranjo simples?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar arranjo quando a ordem não importa

Aplicar arranjo com repetição permitida

Calcular os fatoriais inteiros

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