Simulado FUVEST 2027: Matemática resolvida questão a questão

Um dia é "extraordinário" com probabilidade p = 10⁻³. P₂ é a chance de pelo menos 2 dias extraordinários em 28 saídas; P₁, a de pelo menos 1 em 14. Usando (1+α)ⁿ ≈ 1+nα, qual é a razão P₂/P₁?

1. Complementar: ${\displaystyle P_1=1-(1-p{)}^{14}\approx 1-(1-14p)=14p}$.
2. ${\displaystyle P_2=1-(1-p{)}^{28}-28p(1-p{)}^{27}}$. Com a aproximação da prova, ${\displaystyle (1-p{)}^{28}\approx 1-28p}$ e ${\displaystyle (1-p{)}^{27}\approx 1-27p}$.
3. ${\displaystyle P_2\approx 28p-28p(1-27p)=756p^2}$.
4. ${\displaystyle P_2\mathrm{/}{P}_1=756p^2\mathrm{/}14p=54p=5,4\times 10^{-2}}$; a alternativa mais próxima é a A, que traz 5,2×10⁻².

Verificação: O 5,4 da conta e o 5,2 da alternativa não batem exatamente, e isso é esperado: a aproximação linear é grosseira de propósito, é o que o enunciado manda usar. Feita com mais rigor, ela muda o número, mas nenhuma outra alternativa chega perto da ordem de grandeza ${\displaystyle 10^{-2}}$. A dificuldade não é o conceito, é o aluno nunca ter aplicado binômio assim. Isso é o simulado oficial, não questão inventada. Ver no vídeo (01:48:53).

Turim e Montreal estão na mesma latitude, 45° N, com 90° de diferença de longitude. Sendo R o raio da Terra, qual é a distância pela rota ortodrômica (arco de círculo máximo)?

1. O paralelo de 45° tem raio ${\displaystyle r=R\cos 45^{\circ }=R\sqrt{2}\mathrm{/}2}$.
2. Vistas de cima, as duas cidades formam 90° no eixo: a corda entre elas é ${\displaystyle r\sqrt{2}=R}$.
3. Centro da Terra e as duas cidades formam um triângulo equilátero de lado R, então o ângulo central é 60°.
4. Arco: ${\displaystyle \frac{60}{360}\times 2\pi R=\pi R\mathrm{/}3}$.

Verificação: A rota pelo paralelo daria ${\displaystyle \frac{90}{360}\times 2\pi r=\pi R\sqrt{2}\mathrm{/}4\approx 1,11R}$, maior que ${\displaystyle \pi R\mathrm{/}3\approx 1,05R}$. Confere: o círculo máximo é mais curto. Uma das questões de geometria espacial mais difíceis que a gente já viu na FUVEST. Ver no vídeo (02:05:04).

Cinco cartas A, B, C, D, E formam uma PA. A vale sen 15°, E vale sen 75°, e B, C, D valem x, y, z. Quanto vale y² − xz?

1. ${\displaystyle \text{sen}15^{\circ }=\text{sen}(45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ e ${\displaystyle \text{sen}75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$.
2. Quatro saltos entre A e E: ${\displaystyle r=\frac{\text{sen}75^{\circ }-\text{sen}15^{\circ }}{4}=\frac{\sqrt{2}\mathrm{/}2}{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}}$.
3. O pulo do gato: em qualquer PA, ${\displaystyle x=y-r}$ e ${\displaystyle z=y+r}$, logo ${\displaystyle y^2-xz=y^2-(y-r)(y+r)=r^2}$.
4. ${\displaystyle r^2=2\mathrm{/}64=1\mathrm{/}32}$.

Verificação: Não precisa calcular x, y nem z. Quem calcula chega lá com raízes aninhadas e dez minutos a menos. Domínio de conteúdo é o que abre esse atalho. Ver no vídeo (02:38:02).

Sendo f(x) = a(bx − c)^{1/2}, com a, b, c > 1, e g(x) = x^{1/2}, em que ordem g sofreu transformações pra virar f?

1. Coloque b em evidência dentro da raiz: ${\displaystyle f(x)=a\sqrt{b(x-c\mathrm{/}b)}}$.
2. Multiplicar dentro por b comprime horizontalmente por fator b. Subtrair c/b dentro desloca pra direita c/b.
3. Multiplicar fora por a alonga verticalmente por fator a.
4. A ordem que fecha com a expressão é: compressão horizontal por b, translação pra direita de c/b, alongamento vertical por a.

Verificação: O detalhe que derruba: o deslocamento é c/b, não c. Nunca vimos isso cobrado fora do ITA. Foi a questão mais teórica da prova, e a que mais exigia conhecimento robusto. Ver no vídeo (02:56:35).

Uma mina cilíndrica (2 mm de diâmetro, 60 mm) é usada a 60° com o papel. O lado curto mede 50 mm num momento e 40 mm depois. Qual é o volume consumido entre os dois momentos e a área da seção elíptica da ponta?

1. "Endireite" a figura: corte a parte saliente da ponta e encaixe no vazio do outro lado. O que foi consumido vira um cilindro reto de 10 mm de altura.
2. Volume consumido: ${\displaystyle 10\mathrm{/}60=1\mathrm{/}6}$ do volume inicial.
3. A ponta é uma elipse com semieixo menor igual ao raio (1 mm). O maior vem do ângulo de 60° com o eixo: ${\displaystyle \text{sen}60^{\circ }=1\mathrm{/}a\Rightarrow a=2\mathrm{/}\sqrt{3}}$.
4. Área: ${\displaystyle \pi ab=\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 1=\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}}$.

Verificação: Só uma alternativa casa volume e área ao mesmo tempo. Questão difícil de visualização, e não é padrão FUVEST até o ano passado. O truque de endireitar o sólido resolve também a questão 13. Ver no vídeo (01:53:40).

Em cada partida ganha-se ou perde-se 0,1 com a mesma probabilidade, sem empate. Num jogo de exatamente 10 partidas, qual é a probabilidade de terminar com lucro?

1. Simetria: ganhar e perder têm a mesma chance, então P(lucro) = P(prejuízo).
2. Logo ${\displaystyle P(\text{lucro})=\frac{1-P(\text{empate})}{2}}$.
3. Empate é exatamente 5 vitórias em 10, um anagrama de VVVVVDDDDD: ${\displaystyle P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{5}\right)}{2^{10}}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}}$.
4. ${\displaystyle P(\text{lucro})=\frac{1-63\mathrm{/}256}{2}=\frac{193}{512}}$.

Verificação: Conferindo pelo caminho longo: somar as chances de 6, 7, 8, 9 e 10 vitórias dá (210 + 120 + 45 + 10 + 1)/1024 = 386/1024 = 193/512. Bateu. Foi a questão favorita da prova. Ver no vídeo (02:10:00).

Os números triangulares centrados começam em 1, 4, 10, 19, … Qual afirmação sobre a sequência é correta?

1. As diferenças entre termos consecutivos são 3, 6, 9, 12, …: uma PA de primeiro termo 3 e razão 3 (a alternativa B diz primeiro termo 1, errado).
2. Somando as diferenças: ${\displaystyle T_n=1+3\cdot \frac{n(n-1)}{2}}$. Logo ${\displaystyle T_7=64}$ e ${\displaystyle T_8=85}$ (C errada) e ${\displaystyle T_{101}=T_{100}+300=15151}$ (A errada).
3. Cada acréscimo é múltiplo de 3 e ${\displaystyle T_1=1}$: o resto na divisão por 3 nunca sai de 1.

Verificação: A fórmula fechada não estava no enunciado: o desafio era deduzir do padrão visual. Questão bem desafiadora, do tipo que separa quem estuda sequência de quem decora termo geral. Ver no vídeo (02:32:07).

Uma função injetora f satisfaz f(1) = 0 e f(xy) = f(x) + f(y). Cinco culturas a₁…a₅ formam uma PG e valem Σf(aᵢ) = 13f(2) + 2f(a₁) e Σf(aᵢ/aᵢ₊₁) = −2f(2a₁). Qual é a₁?

1. As propriedades são as do logaritmo: use-as sem medo.
2. Primeiro somatório: ${\displaystyle f(a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5)=f(a_1^5{q}^{10})=5f(a_1)+10f(q)}$. Igualando: ${\displaystyle 3f(a_1)+10f(q)=13f(2)}$.
3. Segundo somatório: cada razão vale ${\displaystyle 1\mathrm{/}q}$, então ${\displaystyle 4f(1\mathrm{/}q)=-4f(q)=-2f(2)-2f(a_1)}$, ou seja, ${\displaystyle f(q)=\frac{f(2)+f(a_1)}{2}}$.
4. Substituindo: ${\displaystyle 3f(a_1)+5f(2)+5f(a_1)=13f(2)\Rightarrow f(a_1)=f(2)}$. Como f é injetora, ${\displaystyle a_1=2}$.

Verificação: Duas dificuldades: a notação Σ, pouco praticada fora de ITA e IME, e o volume de álgebra. Questão difícil de interpretar e de executar. Precisa estar habituado. Ver no vídeo (02:48:19).

Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica dos catetos, e a rampa é construída sobre o maior cateto. Qual é o cosseno do ângulo de inclinação da rampa?

1. Propriedade prévia: a mediana relativa à hipotenusa vale metade dela. Então ${\displaystyle c=2\sqrt{ab}}$.
2. Pitágoras: ${\displaystyle a^2+b^2=4ab}$. Com ${\displaystyle x=b\mathrm{/}a}$: ${\displaystyle x^2-4x+1=0\Rightarrow x=2+\sqrt{3}}$ (b > a).
3. ${\displaystyle 2+\sqrt{3}=\tan 75^{\circ }}$, então o ângulo entre a hipotenusa e o cateto maior é 15°.
4. ${\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$.

Verificação: Sem a propriedade da mediana, a questão nem começa. Sem reconhecer ${\displaystyle 2+\sqrt{3}}$ como tangente de 75°, ela não termina. É a questão que mais exigia bagagem prévia da prova. Sinistra. Ver no vídeo (03:06:59).

Uma embalagem em prisma reto (altura 10 cm, base equilátera de lado 6 cm) foi inclinada até uma aresta formar 45° com o chão, e o suco derramou por um furo no vértice. Quanto suco, em cm³, derramou?

1. Volume total: ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36\cdot 10=90\sqrt{3}}$ cm³.
2. O gabarito oficial é D, ${\displaystyle 36\sqrt{3}}$ cm³, ou seja, 40% do volume.
3. A nossa leitura: com base triangular, o ângulo de 45° entre uma aresta e o chão é compatível com mais de uma orientação de tombamento. O volume derramado depende dessa orientação, que o enunciado não fixa.

Verificação: Deixamos registrado em vez de forçar uma conta. Com base quadrada, a orientação ficaria definida; com triângulo, não. Se você marcou D e não entendeu por quê, não é culpa sua. Ver no vídeo (03:34:34).