Combinação Simples (Análise Combinatória) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 37 minutos: o índice

Como o ENEM cobra combinação simples (análise combinatória)

O professor diz que muitas vezes as alternativas do ENEM vêm escritas como combinação, por exemplo \"combinação de 10 escolhe 7\", e por isso é preciso saber a fórmula mesmo que se prefira resolver sem ela. A questão modelo da aula mistura combinação, princípio multiplicativo e uma restrição (dois jogadores que não podem jogar juntos), que se resolve tirando o total dos casos proibidos ou somando os casos permitidos.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Fatorial e simplificação de fatoriais
• Permutação simples e com repetição
• Arranjo simples
• Princípio multiplicativo

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Escolher $p$ dentre $n$ objetos onde a ordem NÃO faz diferença: $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$
• $C_{10}^6=C_{10}^4=210$
• Complementares: $C_{14}^5=C_{14}^9$
• Com fórmula: $C_6^2=15$ e $C_6^3=20$ para o conjunto {A, B, C, D, E, F}
• Sem fórmula: contou caso repetido? Dividir por $2!$ (escolher 2) ou por $3!$ (escolher 3)
• Questão do basquete (5 defensores, 7 atacantes, James e Sanchez): $350-90=260$, ou $120+60+80=260$

Combinação: escolher um subgrupo quando a ordem não importa

A aula começa situando a combinação ao lado do que já foi estudado. Permutação é mudar a ordem: de quantas maneiras se embaralham letras, pessoas ou objetos. Na permutação simples os elementos são todos diferentes; na permutação com repetição há elementos iguais. Nas duas, usam-se todos os elementos.\n\nO arranjo simples, por sua vez, forma um subgrupo em que a ordem faz diferença. O exemplo é uma corrida com 10 competidores e um pódio de três pessoas: não interessa como todos chegam, só as três primeiras, e ser primeiro, segundo ou terceiro é diferente. Por isso, escolhidas as pessoas A, B e C, não há um único pódio, e sim vários (ABC, ACB e assim por diante).\n\nA combinação é muito parecida com o arranjo: também se forma um subgrupo, escolhendo $p$ elementos dentre $n$. A diferença é que aqui a ordem não faz diferença. O professor exemplifica com três pessoas de uma turma ou família que vão viajar: escolher você, outra pessoa e o cachorro dele é o mesmo grupo que escolher o cachorro, você e a outra pessoa. A pergunta que decide entre arranjo e combinação é sempre a mesma: trocar a ordem dos escolhidos muda o resultado ou não?\n\nO professor avisa que, nesta aula, inverte a ordem usual: primeiro apresenta a fórmula e só depois explica de onde ela vem, mostrando também como resolver sem decorar nada.

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A fórmula e os exemplos 10 escolhe 6 e 10 escolhe 4

A combinação de $n$ escolhe $p$ se escreve $C_n^p$ (a notação pode variar de autor para autor, com o $p$ em outra posição) e vale $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$. O professor destaca que ela é muito parecida com a do arranjo: o numerador $n!$ e o fator $(n-p)!$ no denominador já estavam lá. A única diferença é o $p!$ a mais no denominador, que tem uma lógica de \"despermutar\" casos repetidos, explicada mais adiante.\n\nPrimeira aplicação: $C_{10}^6=\frac{10!}{6!4!}$. Abrindo, $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!$ e $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$. O $6!$ cancela. Em seguida, $4\cdot 2=8$ cancela com o $8$ do numerador e o $3$ cancela com o $9$, deixando $3$. Sobra $3\cdot 7\cdot 10=210$. Em termos práticos, há 210 maneiras de escolher 6 pessoas num conjunto de 10.\n\nSegunda aplicação: $C_{10}^4=\frac{10!}{4!6!}$. Sem fazer conta, o professor observa que o numerador é o mesmo e o denominador tem os mesmos fatores, apenas em outra ordem. Logo o resultado também é $210$. Isso não é coincidência, e é o ponto do próximo tópico.\n\nO professor ressalta que, nesse momento, está apenas aplicando a fórmula, para o aluno ganhar familiaridade com ela.

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Combinações complementares e por que saber a fórmula

A razão de $C_{10}^6$ e $C_{10}^4$ darem o mesmo valor é que $6+4=10$. Combinações com essa característica são chamadas de combinações complementares: $C_n^p=C_n^{n-p}$. Escolher quem entra no grupo é o mesmo que escolher quem fica de fora.\n\nOutro exemplo do professor: $C_{14}^5$ é igual a $C_{14}^9$, porque $5+9=14$. Para conferir, basta jogar na fórmula. $C_{14}^5=\frac{14!}{5!9!}$ e $C_{14}^9=\frac{14!}{9!5!}$, que são a mesma fração. Em muitas questões isso poupa a conta, porque o valor já se obtém por troca direta, sem calcular nada.\n\nEm seguida o professor explica por que insiste na fórmula. Qualquer questão pode ser resolvida com ou sem fórmula, e quem prefere o raciocínio direto pode seguir assim. O problema é que, no ENEM, muitas vezes as alternativas aparecem escritas como combinação, por exemplo \"combinação de 10 escolhe 7\". Nesse caso não há jeito: é preciso saber a fórmula e saber usá-la para reconhecer qual alternativa corresponde ao raciocínio feito. Mesmo quem resolve sem fórmula precisa saber como proceder para marcar a alternativa certa.

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Escolher 2 e escolher 3 entre seis letras, com fórmula

Para visualizar o que a fórmula conta, o professor usa o conjunto de letras $\{A,B,C,D,E,F\}$ e pergunta de quantas maneiras se escolhem duas delas. Primeiro decide se é arranjo ou combinação: escolher A e B é o mesmo que escolher B e A (se fosse para dar medalha de ouro a um e de prata a outro, a ordem importaria). Logo, é combinação.\n\nCom a fórmula: $C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot 4!}$. O $4!$ cancela, $6$ com $2$ dá $3$, e $3\cdot 5=15$. Para ver que o número é real, o professor lista todos os pares. Com A: AB, AC, AD, AE, AF (5 pares). Sem A e com B: BC, BD, BE, BF (4 pares). Com C, sem A nem B: CD, CE, CF (3 pares). Depois DE, DF (2 pares) e, por fim, EF (1 par). A soma $5+4+3+2+1$ dá $15$, o mesmo valor da fórmula.\n\nPara escolher três letras, não vale listar tudo. Aplica-se a fórmula: $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 3!}$. Cancelando o $3!$, sobra $\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20$. São 20 trios possíveis.

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Sem fórmula: contar com tracinhos e dividir por p fatorial

Para quem prefere não usar a fórmula, o professor retoma o raciocínio do \"tracinho\". Para escolher duas letras entre seis, a primeira pode ser escolhida de $6$ maneiras e a segunda de $5$, e a multiplicação dá $6\cdot 5=30$. Só que já se sabe, pela lista, que a resposta correta é $15$. O erro está em ter contado casos repetidos.\n\nO professor mostra: ao multiplicar $6\cdot 5$, contou-se AB e também BA, CD e também DC, BF e também FB. Cada par saiu duas vezes, que é o mesmo raciocínio da permutação com repetição. A solução é dividir por $2$ (ou, de modo mais criterioso, por $2!$, que é a permutação dos dois elementos escolhidos): $\frac{6\cdot 5}{2!}=15$.\n\nPara escolher três, a multiplicação $6\cdot 5\cdot 4=120$ também conta de mais. Dividir por $3$ está errado, porque o grupo A, B, C foi contado seis vezes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Esse $6$ é a permutação das três letras, ou seja, $3!$. Então $\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}=20$, o mesmo valor obtido pela fórmula.\n\nA regra geral: ao colocar os tracinhos, a ordem é considerada, mas em combinação ela não pode ser considerada. Por isso é preciso despermutar, dividindo pelo fatorial do número de elementos escolhidos. Escolheu 2, divide por $2!$; escolheu 3, por $3!$; escolheu 4, por $4!$; escolheu 10, por $10!$.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:02:00)

Questão do basquete: total sem a restrição e contagem indireta

A questão inédita: uma seleção de basquete tem 12 jogadores, 5 defensores e 7 atacantes. Para começar a partida, o técnico escala 3 atacantes e 3 defensores. O defensor James e o atacante Sanchez não se dão bem, então não podem estar juntos no time. Pergunta-se quantos times diferentes podem ser montados.\n\nPrimeiro, o professor esquece a restrição. Defensores: $C_5^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ maneiras. Atacantes, sem fórmula: $\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!}=\frac{210}{6}=35$ maneiras. Como para cada grupo de defensores há 35 grupos de atacantes, multiplica-se: $10\cdot 35=350$ times possíveis. Nesse total há times com James sem Sanchez, com Sanchez sem James, com nenhum dos dois e com os dois, que é o caso proibido.\n\nA técnica é a contagem indireta: calcular o total e tirar o que não se quer. Para contar os times em que James e Sanchez aparecem juntos, fixam-se os dois. Faltam 2 defensores entre os 4 restantes: $C_4^2=6$. Faltam 2 atacantes entre os 6 restantes: $C_6^2=15$. Multiplicando, $6\cdot 15=90$ times com os dois.\n\nO resultado é $350-90=260$, que corresponde à alternativa a.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:10:00)

Contagem direta: somar os três casos permitidos

O professor deixa uma segunda forma de resolver, a contagem direta, calculando só o que se quer. Existem quatro possibilidades para James e Sanchez: os dois aparecem, só James aparece, só Sanchez aparece, ou nenhum aparece. A primeira é a proibida, e já deu $90$ pelo método anterior. Restam três casos permitidos.\n\nCaso 1, James aparece e Sanchez não. James já está escalado, restam 2 vagas de defensor entre 4 pessoas: $C_4^2=6$. Sanchez fica de fora, então os atacantes são escolhidos entre os 6 restantes, 3 vagas: $C_6^3=20$. Total: $6\cdot 20=120$.\n\nCaso 2, Sanchez aparece e James não. James fica de fora, então 3 defensores entre os 4 restantes: $C_4^3=4$. Sanchez já está escalado, faltam 2 atacantes entre 6: $C_6^2=15$. Total: $4\cdot 15=60$.\n\nCaso 3, nenhum dos dois aparece. Defensores: $C_4^3=4$. Atacantes: $C_6^3=20$. Total: $4\cdot 20=80$.\n\nSomando, $120+60+80=260$, o mesmo valor da contagem indireta. O mapa mental mostra esse esquema, com os dois jogadores marcados como presentes ou ausentes em cada linha. Ao final o professor está comentando que há duas maneiras distintas de chegar ao resultado, quando o trecho termina.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:19:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: combinacao simples arranjo simples permutacao simples permutacao com repeticao principio fundamental da contagem

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em combinação simples (análise combinatória)

1. 01

   Usar arranjo

   Usar arranjo (ordem importa) quando o problema é de combinação, ou o contrário.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Multiplicar os tracinhos e esquecer de dividir pelo fatorial

   Multiplicar os tracinhos e esquecer de dividir pelo fatorial do número de elementos escolhidos: o resultado vem inflado ($6\cdot 5=30$ em vez de $15$).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Dividir por $p$ em vez de $p!$ ao escolher três ou mais

   Dividir por $p$ em vez de $p!$ ao escolher três ou mais (dividir por 3 em vez de $3!=6$ dá 40 em vez de 20).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Conferir só a alternativa numérica e não reconhecer

   Conferir só a alternativa numérica e não reconhecer a combinação escrita na forma $C_n^p$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Na restrição de dois jogadores, esquecer de tirar os casos

   Na restrição de dois jogadores, esquecer de tirar os casos em que os dois aparecem juntos (350 em vez de 260).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Combinação Simples (Análise Combinatória) no ENEM