Combinação com Repetição (Análise Combinatória) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 36 minutos: o índice

Como o ENEM cobra combinação com repetição (análise combinatória)

O professor diz que este é o último conteúdo de análise combinatória e que a aula termina com uma questão que já caiu no ENEM (caminhão-cegonha). A pegadinha mostrada é que a resposta vem em forma de combinação, e não em número: é preciso saber a fórmula para reconhecê-la. Outro ponto é a restrição de pelo menos um de cada tipo, resolvida garantindo um item de cada antes de contar.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Permutação com repetição (anagramas)
• Combinação simples e sua fórmula
• Fatorial e simplificação de frações

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Método bola e traço: 3 tipos de salgado (pastel, coxinha, empada)
• Listagem dos 10 casos de 3 salgados e contas de 4, 5 e 10 salgados (15, 21, 66)
• 10 salgados com todos os tipos: 9!/(7!·2!) = 36
• Questão Enem 2017 do caminhão-cegonha: 9!/(3!·6!) = C(9,3) ou C(9,6)
• Alternativa correta: B, C(9,3)

O problema dos salgados e o erro clássico do 3 × 3 × 3 = 27

A aula fecha o bloco de análise combinatória e o professor avisa que o conteúdo é um pouco mais aprofundado, mas que não precisa assustar: ao final será resolvida uma questão do ENEM. O tema é a combinação com repetição, trabalhada por um método chamado "bola e traço".

O problema de partida: uma lanchonete vende três tipos de salgados (pastel, coxinha e empada). De quantas maneiras é possível comprar 3 salgados? O professor começa por três salgados porque o caso é pequeno o bastante para listar tudo à mão.

O primeiro erro clássico é raciocinar como no princípio fundamental da contagem: três escolhas, cada uma com 3 tipos, daria $3\cdot 3\cdot 3=27$. Está errado porque, na compra, a ordem não faz diferença. Levar para casa pastel, coxinha e coxinha é a mesma coisa que levar coxinha, pastel e coxinha: o que importa é apenas quantos salgados de cada tipo foram comprados. O cálculo por 27 contaria a mesma compra várias vezes.

Listando os casos, chamando P, C e E os três tipos: compras com os três iguais (PPP, CCC, EEE, 3 casos); compras com dois de um tipo e um de outro (PPC, PPE, CCP, CCE, EEP, EEC, 6 casos); e a compra com os três tipos diferentes (PCE, 1 caso). O total é $3+6+1=10$ compras distintas.

Com 4 salgados já haveria muitos casos para listar, então o professor propõe um método que conta sem enumerar, mas sugere listar depois, só para conferir a resposta.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:24:00)

Método bola e traço: cada compra vira uma fileira de bolinhas e barras

A ideia do método é representar cada salgado comprado por uma bolinha. As bolinhas são todas iguais: o que diz se uma bolinha é pastel, coxinha ou empada não é o símbolo, e sim a posição dela em relação às barras que separam as categorias.

Como são três categorias, usam-se duas barras. Tudo o que fica à esquerda da primeira barra são pastéis, o que fica entre as duas barras são coxinhas e o que fica à direita da segunda barra são empadas. Assim, "bola, barra, bola, barra, bola" é um pastel, uma coxinha e uma empada. Já "barra, bola, bola, barra, bola" não tem nada à esquerda da primeira barra, então não há pastel; entre as barras há duas bolinhas, ou seja, duas coxinhas; e há uma empada à direita. Com "bola, barra, barra, bola, bola", tem-se um pastel, nenhuma coxinha (nada entre as barras) e duas empadas.

Os casos extremos também cabem na representação: três pastéis são as três bolinhas à esquerda e as duas barras juntas no fim; três coxinhas são as três bolinhas entre as duas barras; três empadas são as bolinhas à direita das duas barras. Dois pastéis e uma coxinha ficam como duas bolinhas, uma barra, uma bolinha e outra barra.

A conclusão do professor é que cada maneira diferente de organizar bolinhas e barras corresponde a exatamente uma compra diferente. Trocar de lugar uma só barra já muda a compra: de um pastel, uma coxinha e uma empada para um pastel, duas coxinhas e nenhuma empada, por exemplo. Contar as compras passa a ser contar as fileiras possíveis.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:31:00)

Contar as fileiras é permutação com repetição

Para contar as fileiras de bolinhas e barras, basta lembrar da permutação com repetição. O professor troca, na lousa, as bolinhas pela letra B e as barras pela letra T, de modo que a fileira vira uma palavra como BTBTB. A pergunta passa a ser quantos anagramas tem essa palavra de cinco letras, sendo três B iguais e dois T iguais.

O cálculo é ${\displaystyle \frac{5!}{3!2!}}={\displaystyle \frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\cdot 4}{2}}=10$, exatamente o número encontrado na lista de compras. O professor chama atenção para a coincidência, que na verdade não é coincidência: as fileiras de bolinhas e barras são justamente as compras.

Ele lembra que a permutação com repetição não vale só para letras: serve para qualquer coisa que se consiga imaginar (bichos, símbolos, pessoas, bolinhas e pauzinhos). Por isso, mesmo que "anagrama de bolinhas" soe estranho, a conta é a mesma.

Resumindo o raciocínio da aula: o problema "de quantas maneiras comprar 3 salgados de 3 tipos" foi reescrito como "de quantas maneiras permutar 3 bolinhas e 2 barras". Cada permutação é uma compra diferente, então o número de permutações é a resposta.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:38:00)

Generalizando: 4, 5 e 10 salgados, e quantas barras usar

Com o método fixado, a quantidade de salgados deixa de importar. Para 4 salgados de 3 tipos, desenham-se 4 bolinhas e 2 barras, ou seja, 6 elementos; o total de permutações é ${\displaystyle \frac{6!}{4!2!}}={\displaystyle \frac{6\cdot 5}{2}}=15$. Se quiser conferir, o professor sugere listar à mão: quatro iguais (PPPP, CCCC, EEEE), depois três de um e um de outro, e assim por diante; dá 15.

Com 5 salgados, acrescenta-se uma bolinha: 5 bolinhas e 2 barras, ou seja, ${\displaystyle \frac{7!}{5!2!}}={\displaystyle \frac{7\cdot 6}{2}}=21$. Com 10 salgados, são 10 bolinhas e 2 barras: ${\displaystyle \frac{12!}{10!2!}}={\displaystyle \frac{12\cdot 11}{2}}=66$. O professor ressalta que a dificuldade é a mesma nos três casos; só muda o número de bolinhas.

O ponto que mais importa é quantas barras usar. O número de barras depende apenas da quantidade de categorias: para separar em duas partes basta uma barra, para três partes duas barras, para quatro partes três barras, e assim por diante. Por exemplo, 8 salgados de 5 tipos pedem 8 bolinhas e 4 barras, porque quatro barras dividem a fileira em cinco partes. O número de bolinhas, por sua vez, é a quantidade de itens a escolher.

A regra, na prática, é: bolinhas = itens a escolher; barras = tipos menos 1; resposta = permutação com repetição de bolinhas e barras.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:40:00)

Com restrição: pelo menos um de cada tipo

Voltando aos 10 salgados, o professor acrescenta uma restrição: a compra deve ter salgados de todos os tipos, isto é, pelo menos um pastel, uma coxinha e uma empada. Refazer o raciocínio anterior, com 10 bolinhas e 2 barras, não serve diretamente: nos 66 casos há compras só de pastel, só de coxinha e empada, só de pastel e empada, e assim por diante, que agora são proibidas.

A saída é "garantir" os itens obrigatórios antes de contar. O professor usa a imagem de a mãe mandar comprar salgados, mas exigindo um de cada: na lanchonete você pede logo um pastel, uma coxinha e uma empada e coloca na sacola. Daí em diante, os demais podem ser do tipo que você quiser, até todos de coxinha se for fanático por ela, porque a regra já foi cumprida.

Na bolinha e traço, isso significa tirar 3 bolinhas da fileira (uma para cada tipo): elas já estão decididas e somem da conta. Sobram $10-3=7$ bolinhas livres, ainda com 2 barras, totalizando 9 elementos. O número de compras é ${\displaystyle \frac{9!}{7!2!}}={\displaystyle \frac{9\cdot 8}{2}}=36$.

Faz sentido que o resultado seja bem menor que 66: naquele valor havia muitas compras que não poderiam ter sido feitas. O truque de "garantir primeiro, distribuir o resto depois" é a sacada que será usada na questão do ENEM.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:46:00)

Questão do ENEM: caminhão-cegonha e a conversão para combinação

A questão modelo é a do brinquedo caminhão-cegonha: uma carreta com 10 carrinhos, que podem ser pintados em quatro cores (amarelo, branco, laranja e verde), cada carrinho com uma só cor, havendo pelo menos um carrinho de cada cor. Trocar a posição dos carrinhos não gera um novo modelo; o que distingue um modelo de outro é apenas quantos carrinhos há de cada cor. O professor nota que o caminhão em si tem cor fixa e não entra na conta.

É o mesmo problema dos salgados: carrinho é bolinha, cor é tipo de salgado. Para quatro cores usam-se 3 barras. Sem a restrição, seriam 10 bolinhas e 3 barras, com $\frac{13!}{3!10!}$ modelos, valor que conta também modelos sem alguma cor. Para obedecer a regra, garantem-se 4 carrinhos, um de cada cor, e sobram 6 bolinhas e 3 barras, 9 elementos no total: ${\displaystyle \frac{9!}{3!6!}}$.

O desafio final é que as alternativas não vêm em número. Basta reconhecer que ${\displaystyle \frac{9!}{3!6!}}$ é a combinação de 9 escolhe 3, que é igual à combinação de 9 escolhe 6, pois ${\displaystyle \frac{9!}{3!(9-3)!}}={\displaystyle \frac{9!}{6!(9-6)!}}$. O professor insiste: mesmo sem precisar da fórmula para resolver, ela é necessária para reconhecer a resposta, e não vale perder a questão depois de todo o trabalho por não saber a fórmula. A resposta é a alternativa B, $C_{9,3}$.

No fim da aula ele começa a comentar se existe uma fórmula direta para esse tipo de problema, mas a transcrição acaba antes da explicação.

▶ Ver este trecho no vídeo (24:52:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: combinacao completa combinacao simples permutacao com repeticao principio fundamental da contagem

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em combinação com repetição (análise combinatória)

1. 01

   Usar $3\cdot3\cdot3=27$ para contar compras em que a ordem

   Usar $3\cdot 3\cdot 3=27$ para contar compras em que a ordem não importa [t=88020].

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Esquecer que o número de barras é o número de tipos menos

   Esquecer que o número de barras é o número de tipos menos um [t=88920].

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Contar 66 compras de 10 salgados sem excluir as que não têm

   Contar 66 compras de 10 salgados sem excluir as que não têm todos os tipos [t=89220].

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Resolver certo mas não reconhecer $\dfrac{9!}{3!\,6!}$ como

   Resolver certo mas não reconhecer ${\displaystyle \frac{9!}{3!6!}}$ como $C_{9,3}$ nas alternativas [t=89880].

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Combinação com Repetição (Análise Combinatória) no ENEM