Qual é a fórmula da permutação circular?

Para n elementos dispostos em círculo, onde só as posições relativas importam:

Permutação circular
PCn=(n−1)!

Um fatorial a menos que a permutação em linha. O “−1” é a posição que você fixa para eliminar as rotações equivalentes.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Um único símbolo — a dificuldade aqui é conceitual, não notacional:

SímboloO que éUnidade / observação
nnúmero de elementos no círculonatural, n ≥ 2

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que perdemos um fatorial? Porque cada arrumação circular corresponde a n arrumações lineares diferentes — uma para cada ponto onde você decide “começar” a leitura.

Imagine 4 pessoas numa mesa redonda: ABCD. Girando todo mundo uma cadeira, vira DABC. Girando de novo, CDAB. E depois BCDA. São 4 leituras lineares distintas, mas a mesma disposição na mesa — cada pessoa continua com os mesmos vizinhos.

Como cada arrumação real foi contada n vezes no n!, basta dividir por n:

Dedução · dividindo pelas rotações
PCn=n!n=n⋅(n−1)!n=(n−1)!

n rotações produzem a mesma disposição circular. Dividindo o fatorial por n, sobra (n−1)!.

Existe um jeito ainda mais direto de enxergar, e é o que se usa na prova: fixe uma pessoa. Escolha alguém e sente essa pessoa em qualquer cadeira — como a mesa é circular, essa escolha não custa nada, porque todas as cadeiras são equivalentes até você definir uma referência. Com a primeira pessoa fixada, o círculo virou uma linha: restam n−1 pessoas para distribuir em n−1 lugares, o que dá (n−1)!. Você pode estar pensando: “e se a mesa puder ser vista dos dois lados, ou se for um colar que pode ser virado?” Aí cada arrumação e sua imagem espelhada também são a mesma coisa, e o total cai pela metade: (n−1)!/2. É o caso de colares e pulseiras — e uma pegadinha clássica. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando a disposição for em círculo e só as posições relativas importarem: mesa redonda, roda de conversa, pessoas de mãos dadas, chaveiro com chaves.

Se as cadeiras forem numeradas ou houver alguma referência fixa (a cadeira de frente para a porta), o círculo deixa de ser simétrico e o problema volta a ser n!.

Se as posições tiverem identidade — cadeiras numeradas, lugares marcados —, NÃO use (n−1)!. A fórmula circular pressupõe que girar tudo não muda nada, o que deixa de valer quando existe uma referência fixa.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: 5 pessoas em linha dariam 120 arrumações. Em círculo, o total tem que ser exatamente cinco vezes menor, porque cada mesa foi contada uma vez por rotação:

🪖 BásicoMesa redonda com e sem restrição

(a) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar numa mesa redonda? (b) E se duas delas precisarem ficar juntas?

  1. (a) PC5=(5−1)!=4!=24.
  2. (b) Trate as duas como um bloco: agora são 4 “objetos” em círculo.
  3. PC4=3!=6.
  4. O bloco tem 2 ordens internas: 6×2=12.
(a) 24 formas · (b) 12 formas

Verificação: bateu com a previsão: 24 é exatamente 120/5. E (b) faz sentido ser metade de (a) — em qualquer mesa de 5, a chance de duas pessoas específicas estarem juntas é intuitivamente alta. E se fosse um colar de 5 contas coloridas, que pode ser virado? Seriam 24/2=12 colares distintos, porque a versão espelhada é o mesmo colar de cabeça para baixo.

Quais os erros mais comuns?

  1. 01

    Usar n! em problema circular

    Contar ABCD e DABC como arrumações diferentes numa mesa redonda infla o resultado por um fator n.

    Como evitar: pergunte: girar todo mundo muda alguma coisa? Se não muda, é circular.
  2. 02

    Usar (n−1)! com lugares marcados

    Se as cadeiras são numeradas, existe referência fixa e girar PASSA a mudar a arrumação. Aí é n! mesmo.

    Como evitar: procure no enunciado por numeração, orientação ou algum lugar de destaque.
  3. 03

    Esquecer o espelhamento em colares

    Colar e pulseira podem ser virados, então cada arrumação e sua reflexão são a mesma. Nesse caso divide-se ainda por 2.

    Como evitar: pergunte se o objeto pode ser virado. Mesa não pode; colar pode.

FAQ: perguntas sobre a permutação circular

Qual é a fórmula da permutação circular?

PCn=(n−1)!. É um fatorial a menos que a permutação em linha, porque as rotações produzem a mesma disposição.

Por que (n−1)! e não n!?

Porque cada arrumação circular corresponde a n leituras lineares — uma por rotação. Dividindo n! por n, sobra (n−1)!.

Qual é o truque de fixar uma pessoa?

Sentar alguém em qualquer cadeira sem custo, já que todas são equivalentes num círculo. Com essa referência criada, restam n−1 pessoas para n−1 lugares.

E se as cadeiras forem numeradas?

Aí existe referência fixa e girar muda a arrumação: o problema volta a ser permutação simples, com n!.

Como fica em colares e pulseiras?

Como podem ser virados, cada arrumação e sua imagem espelhada são a mesma: o total é (n−1)!/2.

Como resolver com pessoas que devem ficar juntas?

Trate o grupo como um bloco, aplique a fórmula circular ao total reduzido e multiplique pelas ordens internas do bloco.

E com pessoas que NÃO podem ficar juntas?

Calcule o total e subtraia os casos em que elas ficam juntas. Contar o complementar costuma ser bem mais rápido.

A fórmula vale para n = 2?

Vale: PC2=1!=1. Duas pessoas numa mesa redonda têm uma única disposição relativa — uma de frente para a outra.

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Guia de Fórmulas Explicadas

O índice completo: toda fórmula com origem, selo e exemplo.

Permutação simples

O n! que a circular corrige.

Permutação com repetição

Outra correção do n!, por elementos iguais.

Princípio da contagem

A base de todas elas.

Fórmulas de Matemática

Todas as fichas: álgebra, geometria, trigonometria e mais.