Permutação com repetição: fórmula n!/(a!·b!) explicada

Q: Qual é a fórmula da permutação com repetição?

n! dividido pelo produto dos fatoriais das quantidades repetidas.

Q: Por que se divide pelos fatoriais das repetições?

Porque n! conta cada resultado real várias vezes ao tratar elementos iguais como distinguíveis.

Q: Quantos anagramas tem ARARA?

Dez: 5!/(3!·2!) = 120/12 = 10.

Q: Letras que aparecem uma vez só entram no denominador?

Podem entrar, mas não alteram nada, pois 1! = 1.

Q: Como contar caminhos numa malha quadriculada?

Permutando os passos repetidos: numa grade 3×2, 5!/(3!2!) = 10 caminhos.

Q: E se os objetos repetidos forem numerados?

Voltam a ser distinguíveis e o problema vira permutação simples.

Q: Qual a relação com a combinação?

É a mesma lógica de dividir pelo excesso de contagem.

Q: Como resolver anagramas com restrição e repetição juntas?

Tratando a restrição primeiro e depois dividindo pelas repetições restantes.

Qual é a fórmula da permutação com repetição?

Para n elementos, dos quais a são iguais entre si, b são iguais entre si, e assim por diante:

Permutação com repetição

P_{n}^{a, b, c, \dots} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \dots}

O total de ordens dividido pelo excesso de contagem de cada grupo repetido. Elementos que aparecem uma vez só não afetam nada, porque 1! = 1.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Cada grupo de elementos iguais contribui com um fatorial no denominador:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	total de elementos	natural
$a, b, c$	quantidade de repetições de cada elemento	naturais

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que dividir? Porque o $n!$ trata os elementos iguais como se fossem distinguíveis — e conta a mesma ordenação várias vezes.

Faça o experimento mental com ARARA. Marque os A com etiquetas invisíveis: A₁R₁A₂R₂A₃. Agora as 5 letras são distintas, e há $5! = 120$ ordens. Mas quantas dessas 120 produzem a MESMA palavra visível? Todas as que só trocam os A entre si ( $3! = 6$ maneiras) e os R entre si ( $2! = 2$ maneiras) — ou seja, $6 \times 2 = 12$ ordens etiquetadas para cada palavra visível.

Se cada resultado real foi contado 12 vezes, basta dividir:

Dedução · desfazendo a contagem múltipla

P_{5}^{3, 2} = \frac{5!}{3! 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10

120 ordens etiquetadas, cada palavra real contada 12 vezes. Dividindo, sobram 10 anagramas distintos.

A lógica de “contei k vezes, divido por k” é uma das mais reaproveitadas da combinatória. É exatamente a mesma que transforma arranjo em combinação — lá também se divide pelo número de ordenações que não deveriam ter sido contadas separadamente. Você pode estar pensando: “e os elementos que aparecem uma única vez, entram no denominador?” Entram, mas não fazem diferença: $1! = 1$ , e dividir por 1 não muda nada. Por isso a fórmula costuma listar só os repetidos. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use em anagramas de palavras com letras repetidas, em trajetos em malha quadriculada (onde os passos “direita” e “cima” se repetem) e em qualquer distribuição de objetos idênticos.

O caso da malha é elegante: ir do canto inferior esquerdo ao superior direito de uma grade 3×2, andando só para direita e para cima, é permutar DDDCC — $5! / (3! 2!) = 10$ caminhos.

Confira se os elementos são MESMO indistinguíveis. Bolas de cores diferentes não se repetem; bolas idênticas sim. Se o enunciado numera os objetos, eles deixam de ser repetidos e voltam ao n! puro.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê ARARA: são 5 letras, então o teto é 5! = 120. Mas com 3 A e 2 R repetidos, o resultado real será uma fração pequena disso — na casa das dezenas:

🪖 BásicoARARA e MATEMÁTICA

(a) Quantos anagramas tem ARARA? (b) E MATEMATICA?

(a) 5 letras: 3 A e 2 R. $P = \frac{5!}{3! 2!} = \frac{120}{12} = 10$ .
(b) MATEMATICA tem 10 letras: 3 A, 2 M, 2 T, e E, I, C uma vez cada.
$P = \frac{10!}{3! 2! 2!} = \frac{3 628 800}{6 \cdot 2 \cdot 2}$ .
$= \frac{3 628 800}{24} = 151 200$ .

(a)

10

anagramas · (b)

151 200

anagramas

Verificação: (a) bateu com a previsão das dezenas — e dá para listar e conferir: AAARR, AARAR, AARRA, ARAAR, ARARA, ARRAA, RAAAR, RAARA, RARAA, RRAAA. São 10 ✓. E se ARARA tivesse todas as letras distintas? Seriam os 120 do fatorial puro — doze vezes mais. É esse fator 12 que as repetições eliminam.

Quais os erros mais comuns?

01
Esquecer de dividir pelas repetições
Responder 120 para ARARA conta cada anagrama 12 vezes. É o erro central do assunto.
Como evitar: sempre que houver letras iguais, o n! sozinho está errado. Liste as repetições antes.
02
Somar os fatoriais em vez de multiplicar no denominador
O denominador é $3! \cdot 2! = 12$ , não $3! + 2! = 8$ . Cada grupo de repetições multiplica o excesso de contagem.
Como evitar: os grupos são independentes: trocar A entre si E trocar R entre si. “E” multiplica, como no PFC.
03
Contar mal as repetições
Em MATEMATICA são 3 A (não 2) e 2 M e 2 T. Errar a contagem das letras erra a fórmula inteira.
Como evitar: escreva cada letra e sua frequência antes de montar a fração. Some as frequências e confira se dá n.

FAQ: perguntas sobre a permutação com repetição

Qual é a fórmula da permutação com repetição?

$P_{n}^{a, b, \dots} = \frac{n!}{a! b! \dots}$ : o fatorial do total dividido pelos fatoriais das quantidades repetidas.

Por que se divide pelos fatoriais das repetições?

Porque o $n!$ trata elementos iguais como distinguíveis e conta cada resultado real várias vezes. Cada grupo com a repetições multiplica o excesso por $a!$ .

Quantos anagramas tem ARARA?

Dez. São 5 letras com 3 A e 2 R: $5! / (3! 2!) = 120 / 12 = 10$ .

Letras que aparecem uma vez só entram no denominador?

Podem entrar, mas não mudam nada: $1! = 1$ . Por isso a fórmula normalmente lista apenas os elementos repetidos.

Como contar caminhos numa malha quadriculada?

É permutação com repetição dos passos. Numa grade 3×2, os caminhos são as ordens de DDDCC: $5! / (3! 2!) = 10$ .

E se os objetos repetidos forem numerados?

Deixam de ser indistinguíveis e o problema volta a ser permutação simples, com $n!$ .

Qual a relação com a combinação?

É a mesma lógica de dividir o excesso. A combinação também nasce de descontar as ordens que não deveriam ser contadas separadamente.

Como resolver anagramas com restrição e repetição juntas?

Trate a restrição primeiro (bloco, posição fixa) e depois aplique a divisão pelas repetições que ainda existirem entre os elementos livres.

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Permutação com repetição: n!/(a!·b!·…)

Qual é a fórmula da permutação com repetição?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Esquecer de dividir pelas repetições

Somar os fatoriais em vez de multiplicar no denominador

Contar mal as repetições

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