Princípio fundamental da contagem (Análise Combinatória) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 44 minutos: o índice

Como o ENEM cobra princípio fundamental da contagem (análise combinatória)

O professor não cita estatística de recorrência. Na prática, a aula mostra o estilo: problemas de contagem com contexto do cotidiano e uma restrição escondida no enunciado ("não vai pintar todas as figuras de uma só cor"), que obriga a subtrair casos da multiplicação direta. Ele reforça que nem toda questão exige fatorial ou fórmula, e que o raciocínio com o PFC basta.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Operações básicas com inteiros
• Valor posicional (centenas, dezenas, unidades)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• PFC: princípio multiplicativo (3 bermudas e 2 camisas e 2 sapatos = 3·2·2 = 12) e aditivo (2 sapatos ou 3 chinelos = 5)
• Fatorial: 5! = 5·4·3·2·1; 6! = 6·5!; 8!/6! = 56; (10!−9!)/8! = 81
• Números de 3 algarismos distintos: total 9·9·8 = 648
• Ímpares: 320 (4·8·5 + 5·8·4, ou começando pelas unidades); pares: 72 + 256 = 328 = 648 − 320
• Questão modelo: 3·3·3·3·3 = 243, menos 3 casos de uma cor só = 240 (alternativa d)

Por que a análise combinatória cabe em um único princípio

O professor abre a aula de análise combinatória avisando que o objetivo da primeira aula é entender os fundamentos, e não resolver exemplos com fórmula. São cinco aulas sobre o tema, e a ideia é tirar da cabeça a imagem de que o assunto é uma "paçoca" de combinação, arranjo, permutação e permutação com repetição, cada uma com a sua fórmula. Essa divisão existe por praticidade, não por obrigação: muitas vezes é possível resolver uma questão sem saber se ela é combinação ou arranjo.

O que sustenta tudo é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), criado para contar o número de casos sem precisar contá-los um a um. Ele se divide em dois: o princípio multiplicativo, em que os valores são multiplicados, e o princípio aditivo, em que são somados. Segundo o professor, toda a análise combinatória pode ser descrita como aplicação desse princípio.

Na prova, cada aluno pode escolher o próprio caminho: quem prefere fórmula usa fórmula, quem não consegue memorizar resolve por raciocínio. O curso vai mostrar as duas formas. Por isso a aula começa com exemplos propositalmente simples, que qualquer pessoa resolveria de cabeça, porque o interesse está em estabelecer o raciocínio por trás da conta e em entender por que se multiplica ou por que se soma.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:33:00)

Princípio multiplicativo: escolhas simultâneas, ligadas pelo "e"

O primeiro exemplo tem 3 bermudas e 2 camisas, e a pergunta é de quantas maneiras é possível se vestir. Desenhando as possibilidades, a primeira bermuda pode ser combinada com as duas camisas, a segunda também e a terceira também. Forma-se uma árvore com 3 galhos principais, cada um com 2 ramificações, e o total é 6 looks: bermuda rosa com camisa laranja, rosa com cinza, verde com laranja, verde com cinza, azul com laranja, azul com cinza.

O raciocínio é que, para cada uma das 3 maneiras de escolher a bermuda, existem 2 maneiras de escolher a camisa. Por isso se multiplica: $3\cdot 2=6$. Esse é o princípio multiplicativo, usado quando é preciso fazer duas ou mais escolhas simultâneas, ou seja, escolher uma bermuda e uma camisa. O professor associa esse princípio ao conectivo "e".

Ao acrescentar 2 sapatos, a árvore continua crescendo: para cada um dos 6 looks anteriores existem 2 escolhas de sapato, e as possibilidades dobram. O total passa a ser $3\cdot 2\cdot 2=12$ looks. Cada nova escolha obrigatória entra como um novo fator na multiplicação.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:39:00)

Princípio aditivo: escolher uma coisa ou outra, ligadas pelo "ou"

O segundo exemplo tem 2 sapatos e 3 chinelos, e a pessoa precisa escolher um calçado para sair. Agora a situação é diferente: ninguém vai calçar um sapato em cima de um chinelo. Ou se escolhe um sapato, ou se escolhe um chinelo. O conectivo é o "ou".

Listando as possibilidades, são o sapato 1, o sapato 2, o chinelo 1, o chinelo 2 ou o chinelo 3, ao todo 5 maneiras. A conta correspondente é a soma $2+3=5$. Esse é o princípio aditivo: quando os casos são alternativos e não acontecem ao mesmo tempo, somam-se as quantidades.

O professor resume os dois exemplos como problemas muito simples, mas que trazem a ideia central de toda a análise combinatória: saber fazer escolhas. Ele insiste que absolutamente tudo na matéria é aplicação desses dois princípios, e passa a mostrar isso em problemas maiores.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:46:00)

Números de 3 algarismos distintos: restrições, casos e contagem indireta

O problema pede a quantidade de números de 3 algarismos distintos formados com os dígitos de 0 a 9. Há três posições (centenas, dezenas e unidades) e a primeira dica do professor é começar sempre por onde há mais restrições. Aqui o zero não pode ocupar a casa das centenas, pois o número deixaria de ter 3 algarismos. Então há 9 opções para as centenas, 9 para as dezenas (sobram 9 dígitos, entre eles o zero) e 8 para as unidades. As três escolhas são simultâneas, logo $9\cdot 9\cdot 8=648$.

Na segunda parte, os números devem ser ímpares. Começando pelas unidades, que têm a restrição de terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9, são 5 opções. Depois vêm as centenas, que não podem ser zero nem o dígito já usado: sobram 8. Por fim, as dezenas: sobram 8. O total é $5\cdot 8\cdot 8=320$. Se o aluno começar pelas centenas, encontra um problema clássico: a segunda escolha depende da primeira. Se a centena for par, as unidades têm 5 opções; se for ímpar, têm apenas 4. A saída é dividir em dois casos. Centena par: $4\cdot 5\cdot 8=160$. Centena ímpar: $5\cdot 4\cdot 8=160$. Os casos são alternativos ("ou"), então somam-se: $160+160=320$, o mesmo resultado.

Na terceira parte, os números devem ser pares, e aqui o zero atrapalha de qualquer maneira. Se o número termina em 0: $9\cdot 8\cdot 1=72$. Se termina em 2, 4, 6 ou 8 (4 opções), as centenas têm 8 opções (não pode o zero nem o dígito das unidades) e as dezenas também 8: $8\cdot 8\cdot 4=256$. Somando, $72+256=328$.

O professor mostra então um caminho mais curto, a contagem indireta: contar o total e subtrair o que não se quer. Como todo número que não é ímpar é par, basta fazer $648-320=328$. Contar o que não se quer pode ser mais fácil do que contar o que se quer.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:48:00)

Fatorial e como simplificar contas

Fatorial é uma operação da análise combinatória: $5!$ é o produto dos inteiros de 5 até 1, isto é, $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$. Da mesma forma, $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$. O professor avisa que ninguém precisa calcular fatoriais muito grandes: o importante é o conceito e a técnica de simplificação.

A propriedade mais útil é que $6!=6\cdot 5!$, porque $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ é justamente $5!$. O mesmo vale para qualquer número: $5!=5\cdot 4!$. Em geral, o fatorial de um número é ele vezes o fatorial do anterior, e esse raciocínio pode ser repetido quantas vezes forem necessárias.

Para calcular ${\displaystyle \frac{8!}{6!}}$, a regra é abrir o maior fatorial até aparecer o menor: ${\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!}}=8\cdot 7=56$. Para ${\displaystyle \frac{10!-9!}{8!}}$, abre-se $10!=10\cdot 9\cdot 8!$ e $9!=9\cdot 8!$, coloca-se $8!$ em evidência no numerador e corta-se com o denominador: ${\displaystyle \frac{8!(90-9)}{8!}}=81$. A recomendação do professor é só fazer a conta quando for obrigatório: um número como $10!$ no calculador dá um valor gigantesco, e a simplificação evita isso.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:07:00)

Questão modelo ENEM: as cinco figuras do pintor Sanchez

O enunciado diz que Sanchez, pintor, precisa terminar 5 figuras geométricas distintas que estão em branco, tem 3 cores de tinta e não vai pintar todas as figuras de uma só cor. A pergunta é de quantas maneiras ele pode terminar a obra. Chamando as figuras de A, B, C, D e E, cada uma pode receber qualquer uma das 3 cores, sem restrição de repetir ou não a cor da vizinha. As escolhas são simultâneas, logo $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^5=243$.

O professor alerta que ainda não é hora de marcar a resposta. A condição "não vai pintar todas as figuras de uma só cor" exclui casos que a conta de 243 inclui. Chamando as cores de X, Y e Z, a multiplicação contou também XXXXX, YYYYY e ZZZZZ, que são justamente os casos em que todas as figuras têm a mesma cor.

São exatamente 3 casos proibidos e não há outros. Subtraindo, $243-3=240$ maneiras, alternativa D. É outra aplicação da contagem indireta: conta-se o total e retira-se o que o enunciado não permite. A alternativa E (243) é a armadilha de quem esquece a restrição.

No fechamento, o professor lembra que a aula usou os princípios multiplicativo e aditivo, resolveu problemas por caminhos mais fáceis e mais difíceis e apresentou o fatorial. Também desmente a ideia de que toda questão de análise combinatória exige fatorial: o problema do pintor, por exemplo, foi resolvido sem nenhum.

▶ Ver este trecho no vídeo (22:12:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: principio fundamental da contagem permutacao simples arranjo simples combinacao simples

As 7 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Questão 06 · exemplo do professor

Questão 07 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em princípio fundamental da contagem (análise combinatória)

1. 01

   Somar quando as escolhas são simultâneas

   Somar quando as escolhas são simultâneas (ou multiplicar quando são alternativas): o "e" multiplica, o "ou" soma.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Começar a contar pela posição sem restrição

   Começar a contar pela posição sem restrição: o professor manda começar por onde há mais restrições.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer que a segunda escolha pode depender da primeira e,

   Esquecer que a segunda escolha pode depender da primeira e, nesse caso, não dividir em casos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Contar o zero na casa das centenas em número de 3 algarismos

   Contar o zero na casa das centenas em número de 3 algarismos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Marcar 243 na questão do pintor sem retirar os 3 casos

   Marcar 243 na questão do pintor sem retirar os 3 casos de uma cor só.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Achar que toda questão de análise combinatória exige

   Achar que toda questão de análise combinatória exige fatorial.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Calcular fatoriais enormes em vez de abrir o maior até

   Calcular fatoriais enormes em vez de abrir o maior até aparecer o menor.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Princípio fundamental da contagem (Análise Combinatória) no ENEM