Amortização e Parcelamento no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 36 minutos: o índice

Como o ENEM cobra amortização e parcelamento

O professor diz que amortização e pagamento parcelado caem muito no Enem e que sempre aparece algo parecido com a questão da aula. Na prática, a questão pede um valor de quitação ou preço à vista de uma compra com entrada e parcelas, com taxa mensal dada, e a armadilha é confundir desconto com retirada de juros ou cobrar juros sobre a entrada.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Porcentagem: aumento com um único fator (1 + i)
• Juros compostos (aula anterior)
• Potenciação

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Acréscimo de juros: multiplicar por 1,3, 1,3 ao quadrado etc. (taxa de 30% a.m.)
• Amortização: dividir por 1,3 para voltar um mês, por 1,3 ao quadrado para voltar dois
• Dar desconto não é o mesmo que tirar juros
• Pagamento parcelado: entrada sem juros e parcelas P1/(1+i), P2/(1+i)^2 etc.
• Fórmula Pv = E + P1/(1+i) + P2/(1+i)^2 + ... + Pn/(1+i)^n
• Questão do celular (James Sanchez): 1728 + 1728/1,2 + 1728/1,2^2 = 4.368

Do que trata a aula e por que ela cai

Esta aula aprofunda a matemática financeira vista em juros simples e compostos. O tema é amortização e pagamento parcelado, assunto que, segundo o professor, aparece no Enem com muita frequência, sempre em alguma versão parecida com a que será resolvida ao final.

A proposta é entender de onde vêm as fórmulas em vez de decorá-las. O professor argumenta que, numa prova importante, sob tensão, é normal esquecer uma fórmula; quem entendeu o raciocínio consegue reconstruí-la com o próprio conhecimento, sem depender de memória.

O caminho da aula tem três etapas. Primeiro, como acrescentar juros a um valor, o que se resolve com uma multiplicação, conforme visto na aula de porcentagem. Depois, como tirar juros, que é a amortização propriamente dita e se resolve com uma divisão. Por fim, o pagamento parcelado, que nada mais é do que uma série de amortizações somadas à entrada.

O professor lembra que, na aula de porcentagem, ensinou a calcular um aumento com uma conta só: para um aumento de 50% sobre R$1.000,emvezdecalcular50$1+i$ que aparece adiante parece fórmula solta; com ele, é consequência direta.

▶ Ver este trecho no vídeo (20:58:00)

Acrescentar juros: multiplicar por 1 + i

Com taxa de 30% ao mês, um empréstimo de R$1.000vira,ap\acute{o}summ\widehat{e}s,$1{,}3 \cdot 1000 = 1300$. O que importa não é o valor, e sim o método: acrescentar 30% é multiplicar por 1,3, em uma única conta, sem calcular os juros separadamente e somar.

Para dois meses, a dívida é multiplicada por 1,3 duas vezes. Com R$2.000emprestados,osaldoap\acute{o}sdoismeses\acute{e}$2000 \cdot 1{,}3^2$\mathrm{.}Oprofessormostraqueissoequivaleapegarovalordeumm\widehat{e}s,1300,emultiplic\acute{a}-lodenovopor1,3,ouseja,$1000 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}3 = 1000 \cdot 1{,}3^2$. Trata-se do mesmo mecanismo dos juros compostos.

A generalização é direta: passado um mês, a dívida é multiplicada por 1,3; passados dois, por $1,3^2$; passados dez, por $1,3^{10}$. Isso vale para qualquer valor, mesmo um número feio como R$4.783:aexpress\tilde{a}o$4783 \cdot 1{,}3^{t}$ já dá o resultado, e a prova não exige calcular a potência.

Em termos gerais, com taxa $i$ e tempo $t$, o fator de acréscimo é $(1+i{)}^t$. O professor insiste que o objetivo aqui é dominar o raciocínio de montar a expressão, porque na prova o que se cobra, muitas vezes, é a montagem correta da conta e não o resultado numérico.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:02:00)

Amortização: tirar juros dividindo por 1 + i

Agora a situação inversa. Alguém promete pagar R$1.300daquiaumm\widehat{e}s,comtaxade30$ 1.000, e nesse caso ela é quase óbvia, mas o professor quer o método para valores nada óbvios.

Se para acrescentar juros se multiplica por 1,3, para tirar juros se divide por 1,3. Assim, $1300\mathrm{/}1,3=1000$. Amortizar, portanto, é retirar os juros embutidos em um valor que seria pago no futuro, por causa de um pagamento antecipado.

O mesmo vale para mais de um mês. Se a dívida daqui a dois meses será de R$1.690,elafoimultiplicadapor1,3duasvezes;paravoltaraovalordehoje\acute{e}precisodesfazerosdoisaumentos,dividindopor$1{,}3^2$\mathrm{.}Oresultado\acute{e}R$ 1.000 de novo. Se a dívida daqui a dois meses for um valor qualquer $X$, o valor de hoje é $X\mathrm{/}1,3^2$.

A regra geral: voltar um mês, dividir por 1,3; voltar dois meses, dividir por $1,3^2$; voltar três, por $1,3^3$; voltar dez, por $1,3^{10}$. O expoente é sempre o número de meses de antecipação, isto é, o número de meses de juros que se retira.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:05:00)

Desconto de 30% não é o mesmo que tirar 30% de juros

O professor destaca um erro muito comum. Se a dívida de daqui a um mês é R$1.300esequersaberquantovalehoje,\acute{e}tentadordar30$1300 - 390 = 910$, não 1.000.

A diferença é que o desconto incide sobre o valor final, 1.300, enquanto os 30% de juros foram calculados sobre o valor inicial, 1.000. Para desfazer um acréscimo de 30%, não se subtrai 30% do valor final: divide-se por 1,3. Dar desconto e tirar juros são operações completamente diferentes, embora muita gente as confunda.

O professor observa que, se a dívida fosse realmente reduzida a R$910emvezdeR$ 1.000, ficaria mais leve para quem deve, e por isso o engano é tão tentador. Na prova, a alternativa que corresponde ao desconto simples costuma estar entre as opções, como armadilha para quem não distingue as duas operações.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:08:00)

Pagamento parcelado como série de amortizações

Na compra parcelada, por exemplo de uma geladeira, normalmente há uma entrada e, depois, parcelas em datas futuras. O preço à vista é o valor que, pago hoje, equivale a toda essa sequência de pagamentos. Calculá-lo é amortizar cada parcela e somar tudo.

A entrada não tem juros, porque juros só incidem quando há intervalo de tempo, e na entrada não passou tempo algum. Portanto, ela entra no preço à vista pelo valor cheio.

A parcela 1, paga daqui a um mês, já carrega um mês de juros. Para trazê-la ao valor de hoje, divide-se por $1+i$. A parcela 2, paga daqui a dois meses, carrega dois meses de juros e é dividida por $(1+i{)}^2$. A parcela 3 é dividida por $(1+i{)}^3$, a parcela 4 por $(1+i{)}^4$, e assim até a parcela $n$, dividida por $(1+i{)}^n$. As parcelas podem ser iguais ou diferentes, conforme o combinado com a loja.

Somando tudo, o preço à vista é $P_V=E+{\displaystyle \frac{P_1}{1+i}}+{\displaystyle \frac{P_2}{(1+i{)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{P_n}{(1+i{)}^n}}$, em que $E$ é a entrada e $n$ o número de parcelas. O professor mostra que essa fórmula grande é só o raciocínio do tópico anterior repetido para cada parcela, e que, mesmo sem lembrá-la, dá para montá-la pensando em quanto tempo de juros cada parcela carrega.

Ele resume: amortização é tirar juros por causa do pagamento antecipado de uma parcela; o valor assim obtido, referido a hoje, é o chamado valor presente.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:13:00)

Questão modelo: James quita a dívida do celular

O enunciado: uma loja vende um celular com entrada e mais três parcelas mensais de R$ 1.728. James compra nessas condições, mas no dia do pagamento da primeira parcela, um mês após a compra, decide quitar a dívida. Com taxa de juros de 20% ao mês, quanto ele deve levar nesse dia?

Como aquecimento, o professor calcula o preço à vista: $1728+1728\mathrm{/}1,2+1728\mathrm{/}1,2^2+1728\mathrm{/}1,2^3$. Com a escolha de números redondos, as parcelas ficam 1.440, 1.200 e 1.000, e o total é R$ 5.368. Esse valor é uma das alternativas e é a resposta de uma pergunta diferente: a pergunta da questão é sobre a quitação um mês depois, não sobre o preço à vista.

No dia da quitação, a entrada já foi paga e deve ser ignorada. A parcela daquele dia é paga normalmente, sem desconto: R$\mathrm{1.728.}Aparceladom\widehat{e}s2\acute{e}antecipadaemumm\widehat{e}s,ent\tilde{a}operdeumm\widehat{e}sdejuros:$1728/1{,}2 = 1440$\mathrm{.}Aparceladom\widehat{e}s3\acute{e}antecipadaemdoismeses:$1728/1{,}2^2 = 1200$.

O total que James deve levar é $1728+1440+1200=4368$. A resposta correta é a alternativa b, R$ 4.368,00.

▶ Ver este trecho no vídeo (21:23:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: valor presente juros compostos juros simples

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em amortização e parcelamento

1. 01

   Confundir dar 30% de desconto com tirar 30% de juros

   Confundir dar 30% de desconto com tirar 30% de juros: 1300 - 390 = 910, e o certo é 1300/1,3 = 1000.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Cobrar juros sobre a entrada, que não tem juros porque não

   Cobrar juros sobre a entrada, que não tem juros porque não passou tempo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Usar o mesmo expoente em todas as parcelas; o expoente é

   Usar o mesmo expoente em todas as parcelas; o expoente é o número de meses de antecipação de cada uma.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Pagar a soma das parcelas na quitação antecipada, sem tirar

   Pagar a soma das parcelas na quitação antecipada, sem tirar os juros embutidos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Multiplicar em vez de dividir ao voltar no tempo

   Multiplicar em vez de dividir ao voltar no tempo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Amortização e Parcelamento no ENEM