Combinação simples: fórmula C(n,p) = n!/(p!(n−p)!) explicada

Q: Qual é a fórmula da combinação simples?

C(n,p) = n!/(p!(n−p)!), também escrita como coeficiente binomial.

Q: Por que a combinação divide por p!?

Porque no arranjo cada grupo é contado uma vez por ordem possível, e são p! ordens.

Q: Qual a diferença entre arranjo e combinação?

O arranjo distingue a ordem; a combinação não. A relação é C = A/p!.

Q: O que é a simetria da combinação?

C(n,p) = C(n,n−p): escolher p para entrar equivale a escolher n−p para ficar de fora.

Q: Como contar apertos de mão num grupo?

É C(n,2): com 10 pessoas, 45 apertos.

Q: Qual a relação com o Triângulo de Pascal?

Cada número do triângulo é uma combinação C(n,p).

Q: Quanto vale C(n,0) e C(n,n)?

Ambos valem 1, e dependem de 0! = 1.

Q: Como contar diagonais de um polígono?

C(n,2) − n, descontando os lados.

Qual é a fórmula da combinação simples?

Escolhendo p elementos entre n, sem repetição e sem que a ordem importe:

Combinação simples

C_{n}^{p} = (\binom{n}{p}) = \frac{n!}{p! (n - p)!}

O arranjo dividido por p!, o número de ordens de cada grupo escolhido. A notação com parênteses é o binomial, usada no Binômio de Newton.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Mesmos dois números do arranjo, com um fatorial a mais no denominador:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	total de elementos disponíveis	natural
$p$	quantos serão escolhidos	natural, «K: p \leq n »
$p!$	o excesso de contagem a ser eliminado	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que dividir por $p!$ ? Porque o arranjo conta cada grupo várias vezes — uma para cada ordem em que ele pode aparecer.

Tome a escolha de 3 pessoas entre 10. O arranjo dá 720, mas nesse total o trio {A, B, C} aparece seis vezes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Seis é $3!$ , o número de ordens de três elementos. Como todo trio foi contado $3!$ vezes, basta dividir:

Dedução · desfazendo a ordem

C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} = \frac{n!}{(n - p)!} \cdot \frac{1}{p!} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

Cada grupo foi contado p! vezes no arranjo, uma por ordem. Dividir por p! elimina exatamente esse excesso.

E há uma propriedade que economiza muito tempo de prova: $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ . Escolher 8 pessoas entre 10 é o mesmo que escolher as 2 que ficam de fora — a cada grupo escolhido corresponde exatamente um grupo excluído. Na prática, isso significa que você nunca precisa calcular $C_{10}^{8}$ : calcule $C_{10}^{2} = 45$ , que sai em uma linha. Sempre que p passar da metade de n, troque. Você pode estar pensando: “por que a notação tem duas formas?” $C_{n}^{p}$ é a tradicional em português; $(\binom{n}{p})$ é o coeficiente binomial, usado no Binômio de Newton e no Triângulo de Pascal. Mesmo número, contextos diferentes. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando escolher SEM ordenar: comissões, times, grupos, apertos de mão, diagonais de polígono, escolha de cartas numa mão de baralho.

Um sinal claro no enunciado: palavras como “grupo”, “comissão”, “conjunto”, “equipe” e “selecionar” apontam para combinação. Palavras como “ordem”, “pódio”, “senha”, “fila” e “cargos distintos” apontam para arranjo.

Antes de calcular, use a simetria: $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ . Calcular $C_{50}^{48}$ diretamente é trabalhoso; calcular $C_{50}^{2} = 1225$ é trivial. É o mesmo número.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê (b): num grupo de 10, cada pessoa cumprimenta 9 outras, dando 90 — mas cada aperto envolve DUAS pessoas, então o total real deve ser a metade, 45. Vamos ver se a fórmula concorda:

🪖 BásicoComissão e apertos de mão

(a) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 10 candidatos? (b) Quantos apertos de mão ocorrem se as 10 se cumprimentarem uma vez cada?

(a) $C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ .
(b) Um aperto é um par sem ordem: $C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2}$ .
$= 45$ apertos.

(a)

120

comissões · (b)

45

apertos de mão

Verificação: (b) bateu exatamente com a previsão do raciocínio direto: 10 × 9 ÷ 2 = 45. E repara que é a mesma lógica de “contei duas vezes, divido por dois” da contagem de arestas na Relação de Euler. E se a pergunta fosse quantas comissões de 7 entre 10? Pela simetria, $C_{10}^{7} = C_{10}^{3} = 120$ — escolher 7 para entrar é escolher 3 para ficar de fora.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar combinação quando a ordem importa
Pódio, senha e distribuição de cargos diferentes têm ordem. Usar combinação aí subestima o resultado por um fator $p!$ .
Como evitar: teste trocando dois escolhidos de lugar: mudou o resultado? Então é arranjo.
02
Calcular os fatoriais completos
$C_{10}^{3}$ não pede 10!. Use o produto decrescente sobre p!: $(10 \times 9 \times 8) / (3 \times 2 \times 1)$ .
Como evitar: escreva p fatores em cima e p! embaixo. Simplifique antes de multiplicar.
03
Não usar a simetria
Calcular $C_{20}^{18}$ pela definição é trabalho perdido: é igual a $C_{20}^{2} = 190$ .
Como evitar: se p passar de n/2, troque por n−p. Sempre.

FAQ: perguntas sobre a combinação simples

Qual é a fórmula da combinação simples?

$C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}$ . Também escrita como $(\binom{n}{p})$ , o coeficiente binomial.

Por que a combinação divide por p!?

Porque no arranjo cada grupo é contado uma vez para cada ordem possível — e são $p!$ ordens. Dividir elimina esse excesso.

Qual a diferença entre arranjo e combinação?

O arranjo distingue a ordem; a combinação não. A relação exata é $C = A / p!$ .

O que é a simetria da combinação?

A propriedade $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ : escolher p para entrar é o mesmo que escolher n−p para ficar de fora. Ela reduz muito o trabalho de cálculo.

Como contar apertos de mão num grupo?

É $C_{n}^{2}$ , porque um aperto é um par sem ordem. Com 10 pessoas: $(10 \times 9) / 2 = 45$ .

Qual a relação com o Triângulo de Pascal?

Cada número do triângulo é um $(\binom{n}{p})$ . A linha n traz todas as combinações de n elementos, de p = 0 até p = n.

Quanto vale C(n,0) e C(n,n)?

Ambos valem 1: existe uma única forma de escolher nenhum elemento e uma única de escolher todos. As duas dependem de $0! = 1$ .

Como contar diagonais de um polígono?

Escolha 2 vértices entre n ( $C_{n}^{2}$ ) e subtraia os n lados, que também ligam dois vértices mas não são diagonais: $C_{n}^{2} - n$ .

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Combinação simples: C(n,p) = n!/(p!(n−p)!)

Qual é a fórmula da combinação simples?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

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Não usar a simetria

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