Permutação e Repetição (Análise Combinatória) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 43 minutos: o índice

Como o ENEM cobra permutação e repetição (análise combinatória)

O professor não cita estatísticas, mas a aula mostra o estilo: a permutação com repetição aparece disfarçada, como caminhos em uma malha ou como a estrutura de placas, e não só como anagrama de palavra. A pegadinha é multiplicar escolhas que dependem umas das outras, como no caso das placas; a saída é fixar uma estrutura e contar de quantas formas ela pode ser permutada. A questão modelo da aula é inédita e combina permutação com repetição e princípio multiplicativo.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Fatorial e simplificação de fatoriais
• Permutação simples
• Princípio fundamental da contagem (multiplicativo)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Anagramas de ACABA: $5!\mathrm{/}3!=20$, pois cada palavra é contada $3!=6$ vezes
• Fórmula $P_n^{a,b,c}=n!\mathrm{/}(a!b!c!)$
• PARALELA: $8!\mathrm{/}(3!2!)=3360$
• Caminhos A a B: $9!\mathrm{/}(4!5!)=126$; por P: $20\cdot 3=60$; sem P: $126-60=66$
• Questão das placas (alternativa b, $y\mathrm{/}x=35$): $7!\mathrm{/}(4!3!)=35$ estruturas

Anagramas de ACABA: por que 5! não serve e a ideia de colorir as letras

O professor abre o assunto com uma distinção. Na permutação simples, todos os elementos são diferentes: pessoas numa fila ou anagramas de uma palavra sem letras iguais. Na permutação com repetição, alguns elementos são iguais entre si. Ele avisa que não vai entregar a fórmula pronta: primeiro constrói o raciocínio com um exemplo e só depois o formaliza, porque quem entende o porquê consegue resolver situações que não se parecem com o modelo.

O exemplo é a palavra ACABA, com cinco letras, das quais três são A. Quem aplicasse a permutação simples escreveria $5!=120$. O erro é que $5!$ trata as cinco letras como se fossem todas diferentes. Trocar um A de lugar com outro A não gera uma palavra nova: continua sendo ACABA. Esse é o problema a resolver.

Para enxergar o que $5!$ está contando, o professor pinta os três A de cores diferentes (vermelho, verde e laranja). Com as cores, os três A passam a ser distintos e as permutações de fato valem $5!$. Mas, ao apagar as cores, várias dessas palavras se tornam a mesma. Ele lista seis versões coloridas da palavra ACABA, que diferem entre si apenas pela ordem das cores nos A, e mostra que todas viram uma só palavra.

O mesmo vale para qualquer outra palavra formada com essas letras: BAACA, por exemplo, também aparece em seis versões coloridas. Ou seja, o número $120$ conta cada palavra real várias vezes, e é essa contagem repetida que precisa ser corrigida.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:05:00)

Cada palavra foi contada 6 vezes: dividir por 3!

Com as cores apagadas, a conclusão é que $5!$ contou cada palavra seis vezes. Se cada palavra foi contada seis vezes a mais do que deveria, a correção é dividir por seis. Como $120\mathrm{/}6=20$, a palavra ACABA tem $20$ anagramas.

O professor então pergunta de onde vem esse seis. A resposta é que as versões coloridas de uma mesma palavra diferem apenas pela ordem dos três A, e o número de maneiras de permutar três letras é $3!=6$. Portanto o divisor não é um número solto: é $3!$, o fatorial da quantidade de letras repetidas.

Essa leitura permite escrever a resposta de forma geral. Há $5$ letras no total, e entre elas $3$ são iguais; o número de anagramas é ${\displaystyle \frac{5!}{3!}}$. Divide-se por $3!$ porque cada palavra é contada $3!$ vezes, já que a ordem entre as letras iguais não faz diferença.

O professor insiste que o raciocínio central desta aula, "dividir pelo que foi contado repetidamente", será usado de novo nas aulas seguintes. Quem entende a ideia não precisa decorar a fórmula e consegue adaptá-la a situações novas.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:13:00)

A fórmula da permutação com repetição e o exemplo PARALELA

Generalizando: temos $n$ elementos no total, sendo $a$ iguais entre si, $b$ iguais entre si e $c$ iguais entre si. O número de permutações é $P_n^{a,b,c}={\displaystyle \frac{n!}{a!b!c!}}$. No caso de ACABA havia apenas um grupo de repetidos ($3$ letras A), logo o denominador era só $3!$. A fórmula não exige três grupos: pode haver um, dois, três ou mais, e cada grupo de elementos iguais contribui com o fatorial do seu tamanho.

O segundo exemplo é a palavra PARALELA. Ela tem $8$ letras. A letra A aparece três vezes e a letra L aparece duas vezes; as demais (P, R, E) aparecem uma vez cada. Assim, o número de anagramas é ${\displaystyle \frac{8!}{3!2!}}$. Se não houvesse repetição, seria simplesmente $8!$.

Para calcular, o professor retoma a técnica de simplificar fatoriais: abre o maior até chegar ao menor. Escreve $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!$ no numerador e $3!\cdot 2\cdot 1$ no denominador. Cancela o $3!$ e simplifica o $2$ do denominador com o $4$ do numerador, que vira $2$. Sobra $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 2=8\cdot 420=3360$.

O resultado, $3360$, aparece escrito no mapa mental. Na legenda, a fala do valor final está truncada, mas a conta confere.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:17:00)

Caminhos em uma malha: cada trajeto é um anagrama (problema clássico)

O próximo problema é considerado clássico em análise combinatória. Deseja-se ir do ponto A ao ponto B em uma malha, andando só para cima ou para a direita. O professor chama "para cima" de norte (N) e "para a direita" de leste (L). A pergunta da letra a é: de quantas maneiras é possível ir de A a B, sem restrição (ignorando, por enquanto, um ponto P no meio da malha)?

O elo com a permutação com repetição é que cada caminho pode ser escrito como uma sequência de letras. Um caminho que vai tudo para a direita e depois tudo para cima é LLLLLNNNN. Outro, como LNLLNNNLL, é um trajeto diferente. Dada a sequência de letras, o caminho fica determinado.

Qualquer caminho de A até B tem sempre $5$ passos para leste e $4$ para norte, em alguma ordem, pois é preciso percorrer 5 unidades na horizontal e 4 na vertical. Logo, o que se quer é contar quantas "palavras" de $9$ letras existem com $5$ letras L e $4$ letras N. Essa palavra não tem sentido, mas isso não importa: contar caminhos é o mesmo que contar anagramas dela.

A conta é ${\displaystyle \frac{9!}{4!5!}}={\displaystyle \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}}$. O $5!$ cancela, o $8$ do numerador cancela com $2\cdot 4$ do denominador e o $3$ cancela com metade do $6$, sobrando $9\cdot 7\cdot 3\cdot 2=126$. Portanto há $126$ caminhos de A até B.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:21:00)

Passando por P (letra b) e sem passar por P (letra c)

Na letra b, o caminho precisa passar obrigatoriamente pelo ponto P. O professor divide o problema em dois: primeiro ir de A até P e depois de P até B. Todo caminho que passa por P necessariamente cumpre essas duas etapas em sequência, e a malha de cada etapa é um problema igual ao anterior.

De A até P são $3$ passos para leste e $3$ para norte. A palavra tem $6$ letras (LLLNNN), com repetição de $3$ e $3$, e o número de caminhos é ${\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}={\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}=20$. De P até B são $2$ passos para leste e $1$ para norte: ${\displaystyle \frac{3!}{2!}}=3$ caminhos (LLN, LNL e NLL). O professor observa que esse caso dá para fazer de cabeça, mas calcula pela fórmula para manter a prática.

Para combinar as duas etapas, o professor explica que não se soma, multiplica-se. É preciso escolher um caminho de A até P e, em seguida, um caminho de P até B; as duas escolhas acontecem juntas (o conectivo é "e"). Para cada um dos $20$ primeiros trajetos há $3$ possibilidades para a segunda parte, pelo princípio multiplicativo: $20\cdot 3=60$ caminhos passando por P.

A letra c pede os caminhos de A até B sem passar por P. Basta usar o complementar: do total de $126$ caminhos retira-se o que não se quer, os $60$ que passam por P. Resultado: $126-60=66$ caminhos. Na fala, o professor chega a dizer "120" antes de corrigir para $126$.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:29:00)

Questão modelo: placas de veículos, o número atual X

A questão inédita da aula, em modelo ENEM, trata de placas de veículos. O formato antigo era de três letras seguidas de quatro algarismos (como ABC1234). O formato atual é de três letras, um algarismo, uma letra e dois algarismos (como ABC1D23). Estuda-se que, no futuro, as placas tenham $4$ letras e $3$ algarismos, mas em qualquer ordem (como ABCD123 ou A1B2CD3). Chamando de $x$ o total de placas possíveis hoje e de $y$ o total com a mudança, pergunta-se o valor de $y\mathrm{/}x$.

Primeiro, calcula-se $x$. O formato atual é fixo: letra, letra, letra, número, letra, número, número. São sete posições. Cada posição de letra admite $26$ possibilidades, e pode repetir letra, sem problema. Cada posição de número admite $10$ (de 0 a 9). Pelo princípio multiplicativo, $x=26^4\cdot 10^3$. O professor deixa o valor sem calcular, pois não é necessário para o que se pede.

A dificuldade está em $y$. Muita gente pensa que, como não há mais ordem obrigatória, cada posição pode ser qualquer um dos $36$ símbolos (26 letras mais 10 números). Isso falha: o número de letras e de números é fixado (4 letras e 3 números), então a escolha em uma posição depende do que já foi escolhido. Se os três números já apareceram, as posições restantes precisam ser letras. Essa dependência impede de multiplicar direto, e é aí que "dá pau", nas palavras do professor.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:35:00)

Estrutura fixa, 35 estruturas e o valor de y/x

A saída é separar o problema em duas partes: a estrutura da placa e o seu preenchimento. O professor define a "estrutura" como o esqueleto da placa: apenas a posição das letras (L) e dos números (N), sem dizer quais. Por exemplo, LLLLNNN é uma estrutura, e LNLNLNL é outra.

Fixada uma estrutura qualquer, o número de placas é sempre o mesmo: $26^4\cdot 10^3$. Em LLLLNNN são $26$ opções para cada letra e $10$ para cada número; em LNLNLNL, as mesmas posições de letra e de número ocorrem em outra ordem, mas a conta é igual. Cada tipo de estrutura gera, portanto, a mesma quantidade de placas.

Resta contar as estruturas. Cada estrutura é uma palavra de $7$ letras com $4$ L e $3$ N, e o número de estruturas é o número de anagramas dessa palavra: ${\displaystyle \frac{7!}{4!3!}}={\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=35$. Isso mostra que o problema é uma permutação com repetição dentro de uma contagem maior.

Logo $y=35\cdot 26^4\cdot 10^3$. Dividindo por $x=26^4\cdot 10^3$, tudo cancela e sobra $y\mathrm{/}x=35$, alternativa b. O professor avisa que há um raciocínio ainda mais rápido, que resolveria em poucos segundos, mas o trecho final da aula termina antes de ele concluir.

▶ Ver este trecho no vídeo (23:40:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: permutacao com repeticao permutacao simples principio fundamental da contagem arranjo simples

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em permutação e repetição (análise combinatória)

1. 01

   Usar $n!$ direto quando há elementos repetidos, contando

   Usar $n!$ direto quando há elementos repetidos, contando como diferentes trocas que não geram nova palavra.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Dividir só por um dos grupos de repetidos

   Dividir só por um dos grupos de repetidos (ex.: só pelos A em PARALELA, esquecendo os L).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Somar em vez de multiplicar os caminhos de A até P e de P

   Somar em vez de multiplicar os caminhos de A até P e de P até B.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer que o caminho em malha sempre tem o mesmo número

   Esquecer que o caminho em malha sempre tem o mesmo número de passos em cada direção, e tentar contar caminho por caminho.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Supor $36$ opções em cada posição da placa, ignorando que

   Supor $36$ opções em cada posição da placa, ignorando que o número de letras e de números é fixo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Permutação e Repetição (Análise Combinatória) no ENEM