Qual é a fórmula da permutação simples?

Para n elementos distintos, todos usados:

Permutação simples
Pn=n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1

O número de ordens possíveis de n elementos distintos. Cresce assustadoramente rápido: 10 elementos já dão mais de 3 milhões de ordens.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Um símbolo só, e uma convenção que precisa de explicação:

SímboloO que éUnidade / observação
nquantidade de elementos a ordenarnatural
n!fatorial de nproduto de n até 1; «K: 0! = 1 » por definição

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que fatorial? Porque permutar é o PFC aplicado ao caso em que cada escolha consome uma opção.

Pense em organizar 4 livros numa prateleira. Para a primeira posição, 4 livros disponíveis. Escolhido um, sobram 3 para a segunda posição. Depois 2, depois 1. Pelo princípio multiplicativo:

Dedução · o PFC consumindo opções
P4=4×3×2×1=24⇒Pn=n!

Cada posição preenchida tira um elemento do estoque. O produto decrescente até 1 é exatamente o fatorial.

Agora a parte que todo mundo estranha. Você pode estar pensando: “por que 0!=1? Não deveria ser zero?” Dois argumentos, e o segundo é o decisivo. O primeiro é de contagem: de quantas maneiras se ordena um conjunto vazio? De uma — não fazendo nada. Existe exatamente uma forma de não colocar nada em lugar nenhum, e ela conta. O segundo é estrutural: o fatorial obedece à regra n!=n⋅(n−1)!. Aplicando com n = 1: 1!=1⋅0!. Como 1!=1, a única saída é 0!=1. Definir de outro jeito quebraria a própria recorrência que define o fatorial — e quebraria também as fórmulas de arranjo e combinação, que dividem por 0! quando você usa todos os elementos. Selo Demonstrável: sai do PFC em uma linha.

Fatorial (n!): o que é, como calcular e simplificar

Quando usar (e quando não)?

Use quando todos os elementos entram e a ordem importa: filas, anagramas de palavras com letras distintas, ordem de apresentação, sequência de tarefas.

Se algum elemento não entrar, é arranjo. Se a ordem não importar, é combinação. Se houver letras repetidas, é permutação com repetição.

O fatorial explode: 10! já passa de 3 milhões e 20! ultrapassa 2 quintilhões. Em prova, quase sempre a intenção é que você SIMPLIFIQUE a expressão antes de calcular — raramente é preciso o valor numérico completo.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: 5 letras distintas dão 5! = 120 anagramas. Com a restrição de duas letras ficarem juntas, o total tem que ser bem MENOR — só uma fração dos 120 satisfaz:

🪖 BásicoAnagramas e a restrição do juntinho

(a) Quantos anagramas tem a palavra LIVRO? (b) Em quantos deles as letras L e I aparecem juntas, nessa ordem?

  1. (a) São 5 letras distintas: P5=5!=120.
  2. (b) Trate “LI” como um bloco único. Agora são 4 objetos: [LI], V, R, O.
  3. P4=4!=24.
(a) 120 anagramas · (b) 24 anagramas

Verificação: bateu com a previsão: 24 é um quinto de 120, o que faz sentido — o bloco LI pode ocupar 4 posições diferentes entre as 5 letras. E se L e I pudessem estar juntas em qualquer ordem (LI ou IL)? Seriam 24×2=48, porque cada arranjo do bloco admite duas ordens internas. O truque do bloco é o mais reutilizado da combinatória.

Quais os erros mais comuns?

  1. 01

    Achar que 0! = 0

    Vale 1, e não é capricho: é a única definição compatível com n!=n(n−1)! e a única que faz arranjo e combinação funcionarem quando p = n.

    Como evitar: teste na recorrência: 1!=1⋅0!. Se 0! fosse zero, 1! seria zero — absurdo.
  2. 02

    Usar permutação quando a ordem não importa

    Escolher 3 pessoas para uma comissão não é permutar: a comissão {A,B,C} é a mesma em qualquer ordem. Aí é combinação.

    Como evitar: pergunte: trocar a ordem gera um resultado DIFERENTE? Se não, não é permutação.
  3. 03

    Esquecer as letras repetidas

    ARARA não tem 5! anagramas. Com letras repetidas, é preciso dividir pelos fatoriais das repetições.

    Como evitar: conte as letras iguais antes de aplicar n!. Havendo repetição, mude de fórmula.

FAQ: perguntas sobre a permutação simples

Qual é a fórmula da permutação simples?

Pn=n!, o produto de n até 1. É o número de ordens possíveis de n elementos distintos.

De onde vem o fatorial?

Do princípio fundamental da contagem: a primeira posição tem n opções, a segunda n−1, e assim por diante até sobrar 1. O produto decrescente é o fatorial.

Por que 0! = 1?

Por dois motivos. De contagem: existe exatamente uma forma de ordenar o conjunto vazio — não fazer nada. E estrutural: como 1!=1⋅0! e 1!=1, só resta 0!=1.

Qual a diferença entre permutação e arranjo?

Na permutação todos os n elementos entram; no arranjo você escolhe apenas p deles, com p < n. Nos dois a ordem importa.

Como resolver anagramas com letras que devem ficar juntas?

Trate o grupo como um bloco único e permute os objetos restantes. Se o bloco puder ter ordens internas diferentes, multiplique pelas permutações dentro dele.

E se a palavra tiver letras repetidas?

A fórmula muda para permutação com repetição: divide-se n! pelos fatoriais das quantidades repetidas.

Por que o fatorial cresce tão rápido?

Porque cada elemento novo multiplica todas as ordens anteriores. De 5 para 6 elementos o total é multiplicado por 6 — e 20! já passa de 2 quintilhões.

Preciso calcular o fatorial inteiro nas questões?

Quase nunca. A maioria das questões pede simplificação de expressões com fatoriais, cortando termos comuns antes de qualquer multiplicação.

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Guia de Fórmulas Explicadas

O índice completo: toda fórmula com origem, selo e exemplo.

Princípio da contagem

A origem do fatorial.

Permutação com repetição

Quando há elementos iguais.

Arranjo simples

Quando nem todos os elementos entram.

Fórmulas de Matemática

Todas as fichas: álgebra, geometria, trigonometria e mais.