Probabilidade - Aprofundamento no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 48 minutos: o índice

Como o ENEM cobra probabilidade - aprofundamento

O professor afirma que, nas provas de matemática do ENEM, as questões mais complicadas costumam ser de análise combinatória ou de probabilidade, muitas vezes com as duas misturadas. Esta é apresentada como uma questão difícil, com chance real de aparecer. A pegadinha mostrada na prática é o "ou": somar as duas probabilidades sem descontar a interseção e obter um resultado maior que 1.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Fatoração em números primos
• Princípio fundamental da contagem
• Noções de conjuntos (união e interseção)
• MMC e MDC (aula anterior do curso)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Diagramas de Venn: n(A∪B)=n(A)+n(B) só vale sem interseção; com interseção, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) (exemplo 5, 8 e 1 elementos)
• P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B), a mesma fórmula escrita com probabilidades
• 17640 = 2³·3²·5·7², com divisores da forma 2^x·3^y·5^w·7^z e total 4·3·2·3 = 72
• Divisores pares: 54; divisores não múltiplos de 7: 24; pares e não múltiplos de 7: 18
• P(par ou não múltiplo de 7) = 54/72 + 24/72 − 18/72 = 60/72 = 5/6

A questão: sortear um divisor de 17 640

O professor abre dizendo que esta é uma questão realmente difícil, daquelas que podem aparecer na prova de matemática do ENEM, onde as questões mais complexas costumam ser de análise combinatória ou de probabilidade, às vezes as duas juntas. A ideia do curso é preparar o aluno para as fáceis, as médias e as difíceis.

O enunciado: Felipe participa de uma gincana na olimpíada interna de matemática da escola. Em uma urna há cartões, e cada cartão traz um divisor do número 17 640, sem repetição; logo, há tantos cartões quanto os divisores de 17 640. O professor sorteia um cartão ao acaso, e Felipe deve calcular a probabilidade de o número sorteado ser par ou não ser múltiplo de 7.

Três dificuldades aparecem de uma vez. Primeiro, é preciso saber quantos divisores o número tem e como contá-los sem listar todos, porque listar um número desse tamanho levaria a esquecer algum. Segundo, é preciso contar os divisores pares e os que não são múltiplos de 7. Terceiro, o conectivo "ou" exige cuidado, porque os dois grupos se sobrepõem.

O caminho da aula é começar por uma discussão de conjuntos, que dá a ferramenta para o "ou", e só depois voltar à urna e aos divisores.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:35:00)

União de conjuntos e o cuidado com a interseção

A união de A com B reúne os elementos que pertencem a A ou a B; basta estar em um deles, não é preciso estar nos dois. O professor usa um desenho com pessoas: o conjunto A tem 5 pessoas e o conjunto B tem 8. Se os dois conjuntos não se tocam (são disjuntos), o número de elementos da união é simplesmente $n(A)+n(B)=5+8=13$.

O problema surge quando existe interseção, isto é, elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Na versão contextualizada, A seria o grupo que gosta de sorvete de chocolate e B o que gosta de sorvete de morango. Uma pessoa pode gostar dos dois sabores, e ela fica na região comum dos dois círculos.

No desenho com interseção, ao contar A se contam 5 pessoas e, ao contar B, 8. A soma dá 13, mas a contagem direta das pessoas mostra 12. O erro está na pessoa que gosta dos dois sabores: ela foi contada uma vez junto com A e outra vez junto com B.

Por isso a soma simples está incompleta. Ela só dá certo quando não há interseção, que foi o caso do primeiro exemplo.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:37:00)

A fórmula correta e a versão em probabilidade

Para corrigir a contagem dupla, subtrai-se a interseção uma vez: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. No exemplo, $5+8-1=12$, que bate com a contagem direta. O professor reforça que isso vale para qualquer quantidade de elementos na interseção, porque os elementos comuns sempre são contados duas vezes e precisam ser descontados uma.

Ele chama a atenção para a linguagem: a união corresponde ao "ou" (pertence a A ou a B) e a interseção corresponde ao "e" (pertence a A e a B ao mesmo tempo). Esse "ou" e esse "e" vão reaparecer na questão de probabilidade.

Para passar à probabilidade, basta dividir os dois lados da equação pelo total de elementos do espaço amostral. Cada $n(\cdot )\mathrm{/}n(\mathrm{\Omega })$ vira a probabilidade do evento, e a fórmula fica $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. O professor resume: trocando n por P, a equação de contagem vira equação de probabilidade.

Lida em palavras: a probabilidade de gostar de chocolate ou de morango é a probabilidade de gostar de chocolate, mais a de gostar de morango, menos a de gostar dos dois, que foi contada em duplicidade.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:43:00)

Fatorando 17 640 e entendendo o que é um divisor

Para achar os divisores sem listá-los, o professor começa fatorando o número em primos, dividindo passo a passo e com contas de cabeça. Metade de 17 640 é 8 820; metade de 8 820 é 4 410; metade de 4 410 é 2 205. Aqui terminam os fatores 2, que aparecem três vezes. Como 2 205 termina em 5, divide-se por 5 e se obtém 441. Como a soma dos algarismos de 441 é 9, ele é divisível por 3: $441=3\cdot 147$ e $147=3\cdot 49$. Por fim, $49=7\cdot 7$.

O resultado é $17640=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2$. Esses primos são os "átomos" do número.

Um divisor é um número que divide 17 640 de forma exata, ou seja, cuja divisão "corta" todos os fatores. Por exemplo, $2$, $2\cdot 5\cdot 3\cdot 7$ e $2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 7$ são divisores, porque cada fator tem um par para cancelar no número original. Já $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ não é, porque o número só tem três fatores 2 e sobraria um sem par.

Conclusão do professor: todo divisor é formado escolhendo alguns dos fatores primos do número, e ele mostra que isso vale para qualquer número, não só para 17 640.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:49:00)

Contando os divisores: expoentes e o princípio fundamental da contagem

Todo divisor de 17 640 tem a forma $2^x\cdot 3^y\cdot 5^w\cdot 7^z$, porque o número só tem os fatores 2, 3, 5 e 7. A pergunta passa a ser quais valores cada expoente pode assumir.

Para o 2: o número tem três fatores 2, então $x$ pode ser 1, 2 ou 3, e também 0, que significa não usar o fator 2 ($2^0=1$). São 4 possibilidades. Para o 3, que aparece duas vezes: $y=0,1$ ou $2$, três possibilidades. Para o 5, que aparece uma vez: $w=0$ ou $1$, duas possibilidades. Para o 7, que aparece duas vezes: $z=0,1$ ou $2$, três possibilidades.

Como cada escolha é independente, o princípio fundamental da contagem manda multiplicar: $4\cdot 3\cdot 2\cdot 3=72$ divisores. Escrever os 72 um por um na prova seria inviável.

Daí sai a receita: fatore o número, some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. O "mais um" existe por causa da possibilidade de o expoente ser zero. O professor insiste que decorar a receita não adianta, é preciso entender por que ela funciona. Com a prática, chega-se aos 72 em um minuto, minuto e meio.

De volta à urna: ela tem 72 cartões, e esse é o tamanho do espaço amostral.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:56:00)

Divisores pares, não múltiplos de 7 e a interseção

Divisores pares: ser par é ser múltiplo de 2, então o expoente do 2 não pode ser zero. Em vez de 4 opções, restam 3 (1, 2 ou 3). Os outros expoentes ficam livres. A conta é $3\cdot 3\cdot 2\cdot 3=54$, logo 54 dos 72 divisores são pares e $P(\text{par})=54\mathrm{/}72$.

Divisores que não são múltiplos de 7: o fator 7 não pode aparecer nem uma nem duas vezes, então a única opção é $z=0$. O professor avisa que esse 1 é a quantidade de opções para o expoente, não o valor $7^0=1$. A conta é $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$, e $P(\text{n}\tilde{\text{a}}\text{o m}\acute{\text{u}}\text{ltiplo de }7)=24\mathrm{/}72$.

O desafio pede "par ou não múltiplo de 7". A tentação é somar $54\mathrm{/}72+24\mathrm{/}72=78\mathrm{/}72$, mas isso passa de 1, o que é impossível para uma probabilidade. O erro vem da interseção: números como o 10 são pares e, ao mesmo tempo, não são múltiplos de 7, e foram contados duas vezes.

Divisores pares e não múltiplos de 7: o expoente do 2 tem 3 opções, o do 3 tem 3, o do 5 tem 2 e o do 7 tem 1. A conta é $3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18$. Portanto existem 18 números na interseção, e $P(\text{par e n}\tilde{\text{a}}\text{o m}\acute{\text{u}}\text{ltiplo de }7)=18\mathrm{/}72$.

▶ Ver este trecho no vídeo (26:07:00)

Fechando a conta: o "ou" com desconto da interseção

Agora a fórmula da união entra em cena. A probabilidade de ser par ou não ser múltiplo de 7 é a probabilidade de ser par, mais a de não ser múltiplo de 7, menos a de ser par e não múltiplo de 7: $P(\text{par ou n}\tilde{\text{a}}\text{o mult. de }7)={\displaystyle \frac{54}{72}}+{\displaystyle \frac{24}{72}}-{\displaystyle \frac{18}{72}}$.

Como o denominador é o mesmo, a conta é $78-18=60$ no numerador, e a probabilidade é $60\mathrm{/}72$. Simplificando por fatores primos, $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$ e $72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$; cortando os fatores comuns sobra $5\mathrm{/}6$. O mapa mental mostra esse mesmo resultado.

O professor reconhece que a questão é pesada e lembra que avisou desde o início que não era fácil. A transcrição disponível termina durante a simplificação da fração; o resultado final e a alternativa vêm do mapa mental da aula.

O que fica para a prova: separar bem o que é "ou" (união, com desconto da interseção) e o que é "e" (interseção), contar cada grupo pelo princípio fundamental da contagem e dividir pelo total de 72 divisores.

▶ Ver este trecho no vídeo (26:17:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: probabilidade principio fundamental da contagem numero de divisores principio da inclusao e exclusao mmc e mdc

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em probabilidade - aprofundamento

1. 01

   Somar n

   Somar n(A)+n(B) para a união quando há interseção: os elementos comuns são contados duas vezes.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Somar P

   Somar P(A)+P(B) sem subtrair P(A∩B): pode dar mais que 1, sinal de erro (no exemplo, 78/72).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer o expoente zero ao contar divisores

   Esquecer o expoente zero ao contar divisores: o fator pode não ser usado, por isso se soma 1 a cada expoente.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Confundir o 1 de "uma opção" para o expoente do 7 com

   Confundir o 1 de "uma opção" para o expoente do 7 com o valor 7⁰ = 1.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Decorar a receita dos divisores sem entender por que se soma

   Decorar a receita dos divisores sem entender por que se soma 1 ao expoente.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Probabilidade - Aprofundamento no ENEM