Probabilidade no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 33 minutos: o índice

Como o ENEM cobra probabilidade

A aula não cita estatística de recorrência. Na prática, a questão modelo mostra o estilo: um contexto cotidiano, uma intuição enganosa (o pai acha que 'agora deve vir menina') e a necessidade de aplicar a definição e a multiplicação de probabilidades independentes. A pegadinha é achar que resultados passados mudam a chance do próximo evento.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Frações e porcentagem
• Análise combinatória básica (contagem de casos)
• Permutação com repetição (citada de passagem)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• P = nº de casos favoráveis / espaço amostral (nº total de casos)
• Exemplo 1: P(cara) = 1/2 = 50%
• Exemplo 2: P(6) = 1/6 e P(par) = 3/6 = 50%
• Eventos sucessivos ou simultâneos independentes: P(A∩B) = P(A)·P(B)
• Exemplo: 4 caras em 4 lançamentos seguidos = 1/2·1/2·1/2·1/2 = 1/16
• Árvore de decisões com 50% em cada ramo e questão modelo resolvida (6,25%)

Definição de probabilidade: casos favoráveis sobre espaço amostral

A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo espaço amostral, que é o número total de casos possíveis. O que muda de problema para problema é o que conta como caso possível e o que conta como favorável.

No caso de um filho, só há duas possibilidades: menino ou menina. Se o interesse é em menino, há um caso favorável em dois possíveis. Com a moeda é igual: o espaço amostral tem dois elementos (cara ou coroa), e sair cara é um deles, então $P(\text{cara})=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$.

Com o dado, o espaço amostral tem seis resultados, de 1 a 6. Para sair o número 6 há um único caso favorável, então $P(6)=\frac{1}{6}$. Para sair um número par, passam a valer três casos (2, 4 e 6) entre os seis, e $P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$. O denominador continua o mesmo; só o numerador mudou, e por isso as contas ficam fáceis de conferir.

O professor insiste que o denominador é o que se deve definir primeiro: conte todos os resultados possíveis e só depois separe os que interessam.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:03:00)

O que 50% realmente significa: a lei dos grandes números

Dizer que a chance de cara é 50% não significa que, ao lançar a moeda duas vezes, sairá uma cara e uma coroa. A lei dos grandes números, também chamada de primeiro teorema fundamental da probabilidade, diz que, ao repetir o experimento muitas vezes, a proporção de caras e de coroas se aproxima cada vez mais de 50% para cada lado.

Em 5.000 lançamentos, por exemplo, é bem provável que apareçam algo como 2.503 caras e 2.497 coroas. Nada impede quatro caras seguidas em quatro lançamentos, nem mesmo 400 caras seguidas em 400 lançamentos. Só que isso é muito pouco provável, e por isso a proporção tende a 50% quando o número de repetições cresce.

A consequência prática é que a probabilidade não prevê o que vai acontecer no próximo lançamento. Se a moeda deu cara agora, não é obrigatório que a próxima seja coroa. Se deu três caras antes, a chance de cara no quarto lançamento continua sendo 50%. O professor usa isso para provocar a conexão com a questão: o fato de o pai já ter tido três meninos não muda nada na probabilidade do próximo filho.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:04:00)

Eventos sucessivos ou simultâneos: multiplicamos as probabilidades

Quando há vários eventos, seja um após o outro, seja ao mesmo tempo, e eles são independentes, a probabilidade de que todos ocorram é o produto das probabilidades individuais. Em linguagem matemática, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Em português simples: a probabilidade de dois eventos sucessivos acontecerem é o produto das probabilidades de cada um.

O professor aplica à moeda: qual a probabilidade de obter quatro caras em quatro lançamentos seguidos? Em cada lançamento, são dois resultados possíveis e um favorável, ou seja, $\frac{1}{2}$. Os lançamentos são independentes, porque ter lançado a moeda 200 vezes antes não influencia o resultado seguinte.

A conta fica $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{16}=6,25\mathrm{\%}$. Ele interpreta o resultado: se alguém repetisse o experimento de quatro lançamentos cerca de 16 vezes, em aproximadamente uma delas sairiam quatro caras seguidas. Não é algo muito provável, como a intuição já indicava.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:09:00)

A árvore de possibilidades: por que dá 1 em 16

Se a probabilidade é casos favoráveis sobre casos possíveis, então 1/16 significa um caso favorável em 16 possíveis. De onde vêm os 16? O professor mostra com um diagrama em árvore: cada lançamento é um nível, e de cada resultado saem dois ramos, cara ou coroa, cada um com 50% de chance.

Um caminho da raiz até as folhas representa uma sequência completa de quatro lançamentos, como coroa-coroa-coroa-coroa ou coroa-coroa-coroa-cara. Contando as folhas do último nível, há 16 caminhos, e esse é o espaço amostral. A cada resultado, os ramos do outro lado deixam de existir: o professor compara a uma linha do tempo em que cada decisão elimina todas as alternativas que não foram escolhidas.

Quatro caras seguidas é um único caminho entre os 16, então a probabilidade é 1/16. O mesmo vale para quatro coroas. Também dá para ver a conta pelos ramos: cada passo multiplica por $\frac{1}{2}$, e por isso cada caminho completo tem probabilidade $\frac{1}{16}$. O professor alerta que fazer só a conta rápida omite esse entendimento do que acontece.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:14:00)

Cada caminho vale 1/16, mas o resultado 2 caras e 2 coroas vale mais

Alguém poderia achar que obter duas caras e duas coroas em quatro lançamentos é mais provável do que quatro caras, afinal parece a situação típica de 'meio a meio'. O professor mostra que ambas as ideias estão certas: cada caminho individual tem probabilidade 1/16, mas há vários caminhos que resultam em duas caras e duas coroas.

Por exemplo: coroa-coroa-cara-cara, coroa-cara-coroa-cara, cara-cara-coroa-coroa, cara-coroa-cara-coroa, coroa-cara-cara-coroa e cara-coroa-coroa-cara. Ele os encontra na árvore um a um: primeiro conta quatro e chega a dizer '4 em 16, ou 1/4', mas logo percebe que há mais e chega a seis. Seis caminhos em 16 dão $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ (a legenda não fecha a contagem final; ver dúvidas).

Ele também comenta que daria para listar essas configurações por permutação com repetição (arrumar duas caras e duas coroas em quatro posições), mas deixa isso de lado. O ponto central é: o que importa é separar a probabilidade de uma sequência específica da probabilidade de um tipo de resultado, que reúne várias sequências.

▶ Ver este trecho no vídeo (25:23:00)

De volta à questão do Iago: o passado não muda o próximo filho

Com os conceitos revisados, o professor volta ao contexto. Ter um filho é como lançar uma moeda: homem ou mulher, cada um com 50%. A probabilidade de um casal qualquer ter quatro filhos homens é 1/16, ou seja, 6,25%. Se você conhecer 16 casais com quatro filhos, aproximadamente um deles terá quatro homens e outro, quatro mulheres.

O pai, porém, raciocina errado ao concluir que agora deve vir uma menina. A probabilidade do quarto filho não depende dos três anteriores: é 50% para menino e 50% para menina. Os eventos são independentes.

O professor explica o que causa a confusão: o evento improvável (três meninos seguidos) já aconteceu. Na árvore, o pai já percorreu um caminho de baixa probabilidade, e cada passo eliminou os ramos do outro lado. Agora que está no quarto nível, restam apenas dois ramos, e eles têm o mesmo peso. Assim, a probabilidade de a próxima filha ser menina é 50%, e a alternativa correta do mapa mental é a (6,25% e 50%).

▶ Ver este trecho no vídeo (25:30:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: probabilidade principio fundamental da contagem permutacao com repeticao

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em probabilidade

1. 01

   Achar que, depois de vários resultados iguais, o resultado

   Achar que, depois de vários resultados iguais, o resultado oposto fica mais provável.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Interpretar 50% como 'metade dos lançamentos já feitos'

   Interpretar 50% como 'metade dos lançamentos já feitos' em vez de proporção que se aproxima com muitos lançamentos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Fazer só a conta rápida e não entender que 1/16 é um caminho

   Fazer só a conta rápida e não entender que 1/16 é um caminho entre 16.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Confundir a probabilidade de uma sequência específica com

   Confundir a probabilidade de uma sequência específica com a de um resultado que admite várias sequências.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer de definir o espaço amostral antes de contar

   Esquecer de definir o espaço amostral antes de contar os casos favoráveis.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Probabilidade no ENEM