Progressão Geométrica no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 29 minutos: o índice

Como o ENEM cobra progressão geométrica

O professor não comenta estatísticas de prova. Na prática, a aula mostra que o ENEM aplica a PG em contexto de situação real: aqui, descontos sucessivos de 50% que formam uma PG de razão 1/2, exigindo reconhecer a razão e usar a soma infinita. A armadilha é aplicar a fórmula da soma infinita sem checar se a razão está entre 0 e 1.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Potenciação e propriedades de potências
• Radiciação como operação inversa da potenciação
• Progressão aritmética (para comparar com a PG)
• Operações com frações e porcentagem

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, com a sequência 3, 6, 12, 24, 48 e razão $q=2$
• Exemplo 1, √2, 2, 2√2...: $a_{13}=(\sqrt{2}{)}^{12}=2^6=64$
• Soma de infinitos termos: PG crescente ($q>1$) dá $S_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$
• PG decrescente ($0<q<1$): dedução com $2S=4+S$ e fórmula $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}$
• Questão modelo: $V_{\mathrm{\infty }}=2150\cdot 2=$ R$ 4.300 (alternativa e)

O problema motivador: assinatura vitalícia com 50% de desconto

A aula parte de um problema inédito no modelo ENEM. Tales é aluno dos três cursos do Universo Narrado: Lições de Matemática (R$ 1.000), Lições de Física (R$ 800) e Desvendando a Matemática (R$ 350) por ano. Quem é aluno recebe sempre 50% de desconto para renovar a assinatura de qualquer curso. A pergunta é qual seria o valor justo de uma assinatura perpétua dos três cursos, paga uma única vez, sem nunca renovar. O enunciado manda desconsiderar reajustes de preço ao longo dos anos.

O professor deixa o problema em aberto de propósito e avisa que ele tem a ver com progressão geométrica. A ideia é construir primeiro as ferramentas (o que é uma PG, o termo geral e a soma de infinitos termos) e só depois voltar ao enunciado, quando a estrutura do problema fica evidente.

O ponto de atenção do enunciado é a regra do desconto: ela se aplica sobre o valor pago no ano anterior, e não sobre o preço cheio. Isso é o que transformará a sequência de pagamentos em uma progressão geométrica.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:48:00)

O que é uma PG e de onde vem o termo geral

Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante. Na sequência 3, 6, 12, 24, 48, há um padrão claro: para obter o próximo termo, multiplica-se o anterior por 2. Essa constante é a razão, representada por $q$. Na progressão aritmética soma-se uma razão a cada passo; na geométrica, multiplica-se. Os termos são indicados por $a_1$ (primeiro), $a_2$ (segundo) e assim por diante.

Para chegar a um termo qualquer, parte-se sempre do primeiro e multiplica-se pela razão certo número de vezes. O segundo termo exige uma multiplicação por $q$; o terceiro, duas; o quarto, três; o quinto, quatro. No exemplo, o quinto termo é $3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=3\cdot 2^4=48$.

O professor mostra então por que o expoente é $n-1$ e não $n$. Se fosse $q^n$, o segundo termo ($n=2$) apareceria como $3\cdot 2^2$, mas na verdade só se multiplicou por 2 uma vez. O número de multiplicações é sempre uma unidade menor que a posição do termo, e daí vem a fórmula do termo geral: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

A recomendação é entender o raciocínio, não decorar: partir do primeiro termo e multiplicar pela razão $n-1$ vezes até chegar ao enésimo.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:50:00)

Exemplo: o 13º termo de 1, √2, 2, 2√2...

O exemplo pede o termo $a_{13}$ da sequência $1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},\dots$. Para usar o termo geral é preciso identificar duas coisas: o primeiro termo, $a_1=1$, e a razão. Como $1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, a razão é $q=\sqrt{2}$. O professor confere com o terceiro passo: $2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$, que é o termo seguinte.

Substituindo na fórmula, $a_{13}=1\cdot (\sqrt{2}{)}^{13-1}=(\sqrt{2}{)}^{12}$. Em vez de multiplicar raiz por raiz, ele reescreve o expoente 12 como $2\cdot 6$, ou seja, $(\sqrt{2}{)}^{12}={[(\sqrt{2}{)}^2]}^6$.

Como radiciação e potenciação são operações inversas, $(\sqrt{2}{)}^2=2$. Sobra $2^6=64$, e o 13º termo vale 64. O professor resume o método: olhar a sequência, identificar $a_1$ e $q$, escolher o $n$ desejado e aplicar o termo geral.

Vale notar a lógica por trás do atalho: o professor lembra que, sem o termo geral, seria preciso escrever os treze termos um por um, multiplicando por $\sqrt{2}$ a cada passo. A fórmula faz esse trabalho de uma só vez, e qualquer outro $n$ (o 17º termo, por exemplo) seria obtido apenas trocando o expoente $n-1$.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:55:00)

Soma de infinitos termos: PG crescente não tem soma finita

Antes de somar, é preciso entender o que significa uma progressão que nunca acaba. O professor a descreve como uma sequência que se estende ao infinito: se a pessoa passasse a vida escrevendo, o filho continuasse e o neto também, ainda assim não chegariam ao fim. A pergunta é se faz sentido somar infinitos termos, e a resposta depende da razão.

Quando $q>1$, a PG é crescente. Na sequência 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... multiplica-se sempre por um número maior que 1, então cada termo é maior que o anterior. Somar infinitos números cada vez maiores resulta em infinito: $S_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$. Não existe valor fechado para essa soma.

Esse caso é considerado quase óbvio. O interessante é o outro: o da razão entre 0 e 1, em que os termos diminuem e há esperança de a soma convergir para um número finito.

A conclusão é que a pergunta "quanto dá a soma?" tem resposta imediata para PG crescente, mas exige mais cuidado para PG decrescente, assunto do próximo tópico. Isso vale também para razões maiores que 1 quaisquer, como 3, 5 ou 10: quanto mais se avança, maior fica o número somado.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:59:00)

PG decrescente: como somar infinitos termos e a fórmula

Quando $0<q<1$, a PG é decrescente. Multiplicar um número por algo entre 0 e 1 o diminui: por 0,5 pega-se metade, por 0,2 pega-se um quinto. Na sequência 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... a razão é 1/2 e os termos ficam cada vez menores, até se tornarem desprezíveis. Por isso há esperança de a soma ser finita.

O professor deduz o valor para esse caso. Chama a soma de $S=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ e multiplica os dois lados por 2, obtendo $2S=4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$. A parte depois do 4 é exatamente a soma original, porque, com infinitos termos, retirar um não muda nada. Então $2S=4+S$, e portanto $S=4$. Ele erra de propósito a conta no meio ("2S menos S") para testar a atenção e corrige em seguida.

Repetindo o raciocínio com letras, chega-se à fórmula geral da soma dos infinitos termos de uma PG decrescente: $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}$. Conferindo: $a_1=2$ e $q=\frac{1}{2}$ dão ${\displaystyle \frac{2}{1-\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{2}}}=4$, o mesmo valor. Dividir por 1/2 equivale a multiplicar por 2.

A fórmula só vale para PG decrescente (razão entre 0 e 1). Se a PG for crescente, a soma é infinita e a fórmula não se aplica.

▶ Ver este trecho no vídeo (20:02:00)

Voltando ao problema: o preço da assinatura vitalícia

Com as ferramentas prontas, o professor resolve o problema de Tales. O valor de uma assinatura anual dos três cursos é $V=1000+800+350=2150$. Pagando por um ano, Tales gasta 2150. Para renovar, paga 50% desse valor; no terceiro ano, 50% do que pagou no segundo, e assim sucessivamente.

A sequência de pagamentos é $2150,\frac{1}{2}\cdot 2150,\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2150,\dots$, uma PG com razão 1/2. Para uma assinatura perpétua, a soma segue indefinidamente. Colocando 2150 em evidência: $V_{\mathrm{\infty }}=2150(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots )$.

O que está entre parênteses é uma PG decrescente com $a_1=1$ e $q=\frac{1}{2}$, então a soma existe: $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=2$. Logo $V_{\mathrm{\infty }}=2\cdot 2150=4300$, que é a alternativa e do enunciado (R$ 4.300,00).

Por fim, o professor faz uma crítica ao modelo: do ponto de vista da empresa, esse valor não seria realmente justo, porque supõe preços congelados para sempre, sem inflação nem reajuste. O problema pede que o reajuste seja desconsiderado, então 4300 é a resposta correta, mas na vida real a conta não se sustentaria.

▶ Ver este trecho no vídeo (20:10:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: termo geral da pg termo geral da pa potencias de mesma base radiciacao

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em progressão geométrica

1. 01

   Usar $q^n$ em vez de $q^{n-1}$ no termo geral

   Usar $q^n$ em vez de $q^{n-1}$ no termo geral: o número de multiplicações é sempre uma a menos que a posição do termo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Aplicar $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-q}$ a uma PG crescente

   Aplicar $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}$ a uma PG crescente ($q>1$), cuja soma é infinita.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Confundir PA e PG

   Confundir PA e PG: na PA soma-se uma razão a cada passo; na PG multiplica-se.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Progressão Geométrica no ENEM