Função Exponencial no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 22 minutos: o índice

Como o ENEM cobra função exponencial

O professor diz que é importante reconhecer gráficos exponenciais e entender o comportamento exponencial em contextos como juros compostos e decaimento radioativo. Ele cita que há uma versão mais difícil que cai em progressão geométrica, com menos chance de aparecer. Na questão modelo, a conta é inviável à mão e o enunciado fornece um gráfico para ler o valor, e a armadilha é a unidade de tempo (meses, não anos).

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Potenciação e propriedades (qualquer número elevado a 0 é 1)
• Porcentagem e taxa na forma decimal
• Leitura de gráfico cartesiano

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• f(x)=a^x com a>0 e a≠1
• Gráfico crescente para a>1 e decrescente para 0<a<1, ambos passando por (0, 1)
• Juros compostos: taxa de 10% ao ano = 1+0,1 = 1,1; capital R$ 1000·1,1^x no ano x
• 1% = 0,01; fator 100%+1% = 1,01; f(x)=1000·1,01^x com x em meses
• x = 33·12 ≈ 400 meses; f(400)=1000·1,01^400, com 1,01^400 ≈ 50
• Resposta da questão modelo: ≈ R$ 50.000 (alternativa d)

O que é uma função exponencial e por que a base não pode ser 1

A função exponencial tem a forma $f(x)=a^x$, com $a>0$ e $a\mathrm{\ne }1$. O professor explica por que $a=1$ fica de fora: $1$ elevado a qualquer número é $1$, seja $1000$, $3$ ou $0,5$, e a função viraria uma constante, sem graça nenhuma. A base positiva e diferente de $1$ é a condição que garante o comportamento exponencial.

Para ganhar intuição, ele monta uma tabelinha com $f(x)=2^x$: para $x=0,1,2,3,4$ obtém $1,2,4,8,16$. Entre $x=0$ e $x=1$ o valor sobe uma unidade; no passo seguinte sobe duas, depois quatro, depois oito. Enquanto $x$ avança de um em um, $y$ já foi de $1$ a $16$. É isso que ele chama de comportamento exponencial: um pequeno aumento em $x$ produz um aumento enorme (ou uma queda enorme) em $y$.

O professor avisa que há um tipo mais difícil de problema, que liga função exponencial a progressão geométrica. Ele diz que esse tipo tem menos chance de aparecer e que será tratado em outro momento. A aula fica no básico: reconhecer o gráfico, entender o tipo de crescimento e aplicar em contextos como juros compostos e decaimento radioativo.

Ele frisa que é importante saber reconhecer os gráficos de uma função exponencial e identificar o comportamento exponencial em situações do dia a dia, e não apenas calcular valores.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:20:00)

O gráfico corta o eixo y em 1: crescimento e decaimento exponencial

O gráfico de $f(x)=a^x$ sempre corta o eixo $y$ no ponto $y=1$, qualquer que seja a base. O raciocínio é direto: o gráfico corta o eixo $y$ quando $x=0$, e $f(0)=a^0=1$ para todo $a$ não nulo. O único caso problemático seria $0^0$, mas ele não aparece porque a base é obrigatoriamente positiva.

Depois vem a distinção central, que depende só da base. Se $a>1$, a função é crescente e o professor fala em crescimento exponencial, como no exemplo $2^x$. Se $0<a<1$, a função é decrescente e temos decaimento exponencial.

Para mostrar o decaimento, ele refaz a tabela com $f(x)=(1\mathrm{/}2{)}^x$: em $x=0$ vale $1$; em $x=1$, $1\mathrm{/}2=0,5$; em $x=2$, $1\mathrm{/}4=0,25$; em $x=3$, $1\mathrm{/}8=0,125$. A cada unidade que $x$ avança, o valor cai pela metade. Enquanto $x$ aumenta, $y$ diminui, e a curva desce sem nunca chegar a zero no gráfico mostrado.

Os contextos típicos são: base maior que $1$ em juros compostos; base entre $0$ e $1$ em decaimento radioativo e situações parecidas. Saber ler a base já diz, de antemão, se o gráfico sobe ou desce.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:26:00)

Juros compostos: onde a função exponencial aparece

Para ligar a teoria aos juros compostos, o professor começa por um caso simples: taxa de $10\mathrm{\%}$ ao ano sobre $R\mathrm{\$}1.000$, sem novos depósitos. Ele insiste que $10\mathrm{\%}$ é $10\mathrm{/}100=0,1$, e que ter o capital mais $10\mathrm{\%}$ dele é ter $100\mathrm{\%}+10\mathrm{\%}=1+0,1=1,1$ vezes o capital. Multiplicar por $0,1$ pega só os $10\mathrm{\%}$; multiplicar por $1,1$ pega o valor original acrescido dos $10\mathrm{\%}$.

Ano a ano: no ano $0$ há $1000$; no ano $1$, $1000\cdot 1,1$; no ano $2$, como os juros incidem sobre todo o montante já corrigido, $1000\cdot 1,1^2$; no ano $3$, $1000\cdot 1,1^3$. Em geral, o capital no ano $x$ é $1000\cdot 1,1^x$. O professor observa que o ano $0$ também se encaixa, pois $1,1^0=1$.

A conclusão é que uma função exponencial surge naturalmente nos juros compostos. Como a base $1,1$ é maior que $1$, a função é crescente: o capital cresce $10\mathrm{\%}$ a cada ano sobre o valor já corrigido. Ele chama os juros compostos de "oitava maravilha do mundo".

Daí as contas pedidas: o capital no ano $33$ é $1000\cdot 1,1^{33}$, e no ano $50$ é $1000\cdot 1,1^{50}$. Basta trocar $x$ pelo tempo. O contexto de decaimento (função decrescente) também pode aparecer, mas o clássico para função crescente é o de juros compostos.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:29:00)

Questão modelo: R$ 1.000 a 1% ao mês por 33 anos, com leitura do gráfico

A questão modelo: Thiago deposita $R\mathrm{\$}1.000$ para a filha Clara, recém-nascida, a $1\mathrm{\%}$ ao mês em juros compostos, sem novos depósitos. Pergunta-se quanto Clara poderá acessar aos $33$ anos. O enunciado traz um gráfico de $f(x)=1,01^x$.

Primeiro, a taxa: $1\mathrm{\%}=0,01$, então cada mês multiplica por $1,01$, e o capital depois de $x$ meses é $f(x)=1000\cdot 1,01^x$. Conferindo: em $x=0$ dá $1000$; em $x=1$, $1000\cdot 1,01$.

O cuidado principal é a unidade. Como a taxa é ao mês, $x$ está em meses, e $33$ anos valem $33\cdot 12$ meses. O professor faz a conta mentalmente ($33\cdot 10=330$ e $33\cdot 2=66$) e chega a $396$, aproximadamente $400$ meses. Ele alerta contra colocar $x=1$ para um ano: $x=1$ é um mês, e um ano é $x=12$.

Assim, o capital é $1000\cdot 1,01^{400}$, conta impossível de fazer à mão. É para isso que serve o gráfico. A função do gráfico é $1,01^x$, sem o $1000$, mas basta, porque só falta o valor de $1,01^{400}$. Ele localiza $x=400$ no eixo horizontal, projeta até a curva e lê no eixo vertical, onde cada quadradinho vale $50$: o valor é aproximadamente $50$.

Portanto o capital se multiplicou por cerca de $50$, e $1000\cdot 50=50.000$: aproximadamente $R\mathrm{\$}50.000$. O professor comenta que por isso vale começar a investir cedo. Ele começa a ressalvar algo ("Claro que tem problema...") quando o trecho termina.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:35:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: juros compostos potencia termo geral da pg potencias de mesma base

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em função exponencial

1. 01

   Usar a = 1 como base

   Usar a = 1 como base: a função vira constante.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Colocar x = 1 para representar um ano quando a taxa é

   Colocar x = 1 para representar um ano quando a taxa é mensal; um ano é x = 12.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Confundir 0,1

   Confundir 0,1 (só os 10%) com 1,1 (capital mais 10%).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer que a função do gráfico

   Esquecer que a função do gráfico (1,01^x) não inclui o capital de R$ 1.000.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Função Exponencial no ENEM