Funções Trigonométricas no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 50 minutos: o índice

Como o ENEM cobra funções trigonométricas

O professor diz que ler um gráfico de função trigonométrica e escrever sua equação, ou o inverso, é um tema clássico que o aluno precisa dominar e que é mais simples do que muita gente imagina. A questão modelo da aula pede o primeiro valor de $t$ que dá máximo e o primeiro que dá mínimo de uma função seno com contexto de mercado; ele diz que pode resolvê-la sem gráfico, mas que o enunciado pode também vir como gráfico com alternativas. Não cita estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Ciclo trigonométrico (seno e cosseno de ângulos notáveis)
• Radianos e graus ($\pi =180^{\circ }$)
• Manipular inequações (multiplicar e somar nos três lados)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Ciclo trigonométrico e gráfico de f(x)=sen x, limitado entre −1 e 1
• Multiplicar fora (2·sen x) estica na vertical: entre −2 e 2
• Somar fora (sen x + 1) desloca para cima: entre 0 e 2
• Dentro do argumento: sen 2x dobra a frequência; sen(x − π/2) desloca para a direita
• Questão modelo: f(t)=4815·sen(2t)+215, limites −4600 e 5030, t_máx=π/4 e t_mín=3π/4

A questão da ação: o que se pede e por que a aula vira uma revisão de gráficos

A aula abre dizendo que funções trigonométricas é um tema clássico e mais simples do que parece: ler o gráfico de uma função seno ou cosseno e escrever sua equação, ou o caminho inverso, e entender como cada termo da equação mexe no gráfico. A questão inédita da aula foi pensada para costurar tudo isso, e o professor pede, como sempre, que o aluno pause o vídeo e tente resolver antes.

O enunciado fala de um analista da bolsa de valores que montou um modelo para o preço de uma ação: $f(t)=4815\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2t)+215$, com $t$ em horas. O primeiro valor de $t$ que dá o preço máximo é chamado de tempo máximo primário, e o primeiro valor de $t$ que dá o preço mínimo é o tempo mínimo primário. Pergunta-se qual é a diferença entre os tempos mínimo e máximo primário, no intervalo em que a função descreve bem o comportamento da ação.

O professor resume o que é preciso: achar o primeiro $t$ em que a função assume o máximo, o primeiro $t$ em que assume o mínimo, e subtrair. Ele avisa que a questão, em si, nem exigiria discutir gráficos e levaria uns três minutos, mas que vai aproveitar para fazer uma revisão completa: os valores máximo e mínimo e a influência de cada termo no gráfico de seno e de cosseno.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:55:00)

O gráfico do seno e o ciclo trigonométrico

O gráfico mais básico que o aluno precisa conhecer é $f(x)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ (e o do cosseno, que é o mesmo gráfico arrastado de $\pi \mathrm{/}2$). Os pontos principais são: o seno vale $1$ (máximo) em $90^{\circ }$, ou $\pi \mathrm{/}2$; vale $0$ em $180^{\circ }$, ou $\pi$; vale $-1$ (mínimo) em $3\pi \mathrm{/}2$; e fecha um ciclo em $2\pi$, depois do qual tudo se repete. Por isso a função é periódica, com período $2\pi$.

O ponto mais importante é que o seno é uma função limitada: o gráfico nunca passa da faixa entre $-1$ e $1$. Nas palavras do professor, o seno de qualquer expressão tem de ser um número entre $-1$ e $1$, e o mesmo vale para o cosseno.

Todas essas informações do gráfico saem do ciclo trigonométrico, que tem raio $1$. O eixo vertical é o eixo dos senos e o horizontal é o dos cossenos. Para achar o seno de um ângulo, projeta-se a extremidade do ângulo no eixo vertical: o tamanho da projeção é o seno. Com $30^{\circ }$ a projeção mede $\frac{1}{2}$. Com $90^{\circ }$ ela ocupa o raio inteiro e vale $1$, o maior valor possível; o menor, $-1$, está embaixo.

Com $180^{\circ }$ (meia volta, $\pi$ radianos) a extremidade cai sobre o eixo horizontal: a projeção vira um ponto, o seno vale $0$ e o cosseno vale $-1$. O professor insiste em que o aluno saiba ligar as três representações da mesma ideia: o ciclo, o gráfico e a desigualdade $-1\le \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\le 1$.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:57:00)

Efeitos verticais: multiplicar e somar fora do seno

Como obter o gráfico de $2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ ou de $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+1$? O professor parte da desigualdade $-1\le \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\le 1$ e manipula os três lados, como em qualquer inequação. Multiplicando tudo por $2$, obtém-se $-2\le 2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\le 2$. O gráfico mantém a mesma forma e os mesmos pontos de máximo ($\pi \mathrm{/}2$), zero ($\pi$) e mínimo ($3\pi \mathrm{/}2$), mas fica esticado: vai de $-2$ a $2$ em vez de $-1$ a $1$. Multiplicando por $15$, a função ficaria entre $-15$ e $15$.

Se o número multiplicador está entre $0$ e $1$, o gráfico é contraído. Com $\frac{1}{2}$, a função $\frac{1}{2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ fica entre $-\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$. Com $3$, ela vai de $-3$ a $3$.

Somar um número fora do seno faz outra coisa. Somando $1$ aos três lados da desigualdade, resulta $0\le \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+1\le 2$: o gráfico não é esticado nem contraído, apenas deslocado uma unidade para cima, como se o eixo $x$ tivesse vindo parar na base da curva. Com $+7$, os limites passam a $6$ e $8$ e o gráfico sobe sete unidades; subtrair desloca para baixo.

As duas operações podem ser combinadas. Para $2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+2$, parte-se do gráfico esticado, entre $-2$ e $2$, e desloca-se duas unidades para cima: ele fica entre $0$ e $4$. Tudo vale do mesmo jeito para o cosseno. A conclusão do professor é que tudo o que se faz fora do argumento produz efeitos verticais.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:03:00)

Efeitos horizontais: multiplicar o x e a ideia de período e frequência

Quando se mexe dentro do argumento do seno, o efeito é horizontal. Comparando $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ com $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$, a função continua limitada entre $-1$ e $1$: nada foi esticado, contraído ou deslocado na vertical. O que muda é que o gráfico fica comprimido pela metade na horizontal. O que a função original levava um ciclo inteiro para fazer, a nova faz em meio ciclo, e uma oscilação completa dela corresponde à metade de uma oscilação da original.

O professor usa o vocabulário da física. Período é o tempo (aqui, o comprimento no eixo $x$) que a função leva para completar um ciclo; frequência é quantos ciclos acontecem num mesmo intervalo, e é o inverso do período. O período do seno comum é $2\pi$. Em $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$ o período cai pela metade, para $\pi$, e a frequência dobra. Multiplicar por $3$ triplica a frequência, por $4$ quadruplica, por $16$ deixa a onda muito rápida. Com $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}$, a frequência cai pela metade e o gráfico é esticado: quando a função comum já fez um ciclo, essa só chegou ao máximo.

Para mostrar por quê, ele compara onde cada função chega ao máximo. O seno vale $1$ quando o ângulo é $90^{\circ }$. Em $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$, isso acontece em $x=90^{\circ }$. Em $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$, o ângulo é $2x$, então $2x=90^{\circ }$ e $x=45^{\circ }$, ou seja, o máximo chega na metade do caminho. É por isso que a função oscila mais rápido.

O professor chama a atenção para a diferença entre os dois lados: $2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ estica o gráfico por um fator $2$, enquanto $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$ o comprime por um fator $2$. Na horizontal, o efeito é o contrário do que a intuição vertical sugere.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:20:00)

Deslocamento horizontal e o resumo "ouro" da revisão

Somar ou subtrair um número dentro do argumento desloca o gráfico na horizontal, mas, de novo, ao contrário do que se espera. Para $g(x)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x-\frac{\pi }{2})$, quem subtrai desloca para a direita; quem soma desloca para a esquerda. Cada ponto do gráfico é arrastado em $90^{\circ }$ ($\pi \mathrm{/}2$): o ponto que estava em $90^{\circ }$ passa a $180^{\circ }$, e a curva toda é só transladada. O professor deixa o motivo para o aluno refletir, mas diz que faz sentido, pois na horizontal tudo é meio inverso do que foi construído na vertical.

Então ele fecha com o resumo que chama de "ouro" e de creme de la creme das funções trigonométricas. Fora do seno: multiplicar espicha ou contrai verticalmente (maior que $1$ espicha, entre $0$ e $1$ contrai) e somar ou subtrair desloca para cima ou para baixo. Dentro do argumento: multiplicar contrai ou espicha horizontalmente, de modo inverso (multiplicar por $2$ contrai por $2$), e somar ou subtrair desloca na horizontal, também de modo inverso (subtrair vai para a direita).

Com isso o aluno consegue tanto desenhar o gráfico de uma equação quanto, no caminho contrário, escrever a equação de um gráfico dado, que é o que o ENEM costuma pedir quando mostra uma curva e as alternativas trazem expressões.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:30:00)

Voltando à questão: limites da função e o primeiro máximo e mínimo

Para a função $f(t)=4815\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2t)+215$, o professor começa com $-1\le \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}t\le 1$. Multiplicar $t$ por $2$ dentro do seno não altera nada na vertical: $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2t$ continua entre $-1$ e $1$. Só o $2$ de fora esticaria.

Multiplicando tudo por $4815$, a desigualdade vira $-4815\le 4815\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2t\le 4815$. Somando $215$ aos três lados, obtém-se $-4600\le f(t)\le 5030$. O menor valor da função é $-4600$ e o maior é $5030$. O professor ressalta que isso só responderia a uma questão que pedisse o valor máximo ou mínimo, o que não é o caso aqui, e que o objetivo foi fazer uma revisão mais rica do que a questão exigia.

O que a questão pede é o valor de $t$. Como $4815$ e $215$ são constantes, o preço é máximo quando $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2t=1$, e mínimo quando $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2t=-1$. O seno vale $1$ quando o ângulo é $\pi \mathrm{/}2$, então $2t=\pi \mathrm{/}2$ e o primeiro máximo ocorre em $t=\pi \mathrm{/}4$ ($45^{\circ }$), o que combina com o gráfico de $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$ (frequência dobrada, máximo na metade do caminho).

O seno vale $-1$ quando o ângulo é $3\pi \mathrm{/}2$, o ponto médio entre $\pi$ e $2\pi$ (a média de $\pi$ e $2\pi$ é $3\pi \mathrm{/}2$). A aula, no trecho disponível, termina quando o professor chega a este ponto, com $2t=3\pi \mathrm{/}2$. O passo seguinte, $t=3\pi \mathrm{/}4$ e a diferença $3\pi \mathrm{/}4-\pi \mathrm{/}4=\pi \mathrm{/}2$, não aparece na legenda e foi completado a partir da regra dada na aula.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:36:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: periodo e frequencia

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em funções trigonométricas

1. 01

   Achar que multiplicar o $x$ dentro do seno

   Achar que multiplicar o $x$ dentro do seno (como $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$) muda os limites verticais: o gráfico continua entre $-1$ e $1$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que subtrair dentro do argumento desloca o gráfico

   Achar que subtrair dentro do argumento desloca o gráfico para a esquerda: desloca para a direita.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que $\mathrm{sen}\,2x$ estica o gráfico por $2$

   Achar que $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2x$ estica o gráfico por $2$ na horizontal: ele comprime por $2$, o período cai pela metade e a frequência dobra.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Confundir o valor máximo da função com o valor de $t$ em

   Confundir o valor máximo da função com o valor de $t$ em que ele ocorre.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer que somar um número fora do seno só desloca

   Esquecer que somar um número fora do seno só desloca o gráfico, sem esticar nem contrair.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Funções Trigonométricas no ENEM