Porque é a única definição que mantém a regra: a^n · a^0 = a^n exige que a^0 seja 1.

Potências de mesma base: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ e por que é postulado

Q: Qual é a regra do produto de potências de mesma base?

a^m · a^n = a^(m+n): conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Q: Essa regra é demonstrável ou postulado?

Depende do domínio: demonstrável nos naturais, postulado nos reais, onde a definição de expoente real é construída para mantê-la.

Q: Por que expoente negativo vira fração?

Porque a^n · a^(−n) = a^0 = 1, logo a^(−n) = 1/a^n.

Q: E se as bases forem diferentes?

A regra não se aplica; é preciso calcular cada potência.

Q: Qual a regra para divisão de potências?

Subtrair os expoentes: a^m / a^n = a^(m−n).

Q: Como isso aparece em notação científica?

Multiplicando os números e somando os expoentes de 10.

Qual é a regra do produto de potências de mesma base?

Para uma base a e expoentes m e n:

Produto de potências de mesma base

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Mesma base: multiplicar potências vira somar expoentes. É a propriedade que define o comportamento das potências.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Postulado: é ponto de partida aceito sem demonstração — a pergunta certa é "o que se constrói a partir disso?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

A base precisa ser a MESMA — é a condição que o nome já anuncia:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a$	a base (a mesma nas duas potências)	número real
$m, n$	os expoentes	números reais

De onde vem a fórmula?

Comece pelo caso fácil. Se m e n são naturais, a prova é quase visual: potência é multiplicação repetida, então basta contar quantos fatores existem ao todo.

Nesse território, a regra é Demonstrável: não há nada a postular, o resultado decorre do que “potência” significa quando o expoente é um número de contagem.

Mas e quando o expoente é $1 / 2$ , ou $- 3$ , ou $\sqrt{2}$ ? A ideia de “multiplicar por si mesmo meia vez” não significa nada. O conceito precisa ser estendido — e a pergunta que guia a extensão é: qual a maneira mais natural de definir $a^{x}$ para x real, de modo que as propriedades que já conhecemos continuem valendo?

Nos naturais · basta contar os fatores

a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m}{\underset{⏟}{a \dots a}} \cdot \underset{n}{\underset{⏟}{a \dots a}} = \underset{m + n}{\underset{⏟}{a \dots a}} = a^{m + n}

m fatores vezes n fatores dão m+n fatores. Demonstração completa — enquanto os expoentes forem naturais.

E aqui está a virada. A resposta é: definimos $a^{x}$ para x real precisamente para que $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ continue valendo. A propriedade deixa de ser consequência e passa a ser a exigência que orienta a definição. O que era Demonstrável no domínio dos naturais vira o próprio Postulado que inaugura o domínio dos reais. É por isso que esta ficha leva o selo Postulado: o Guia trabalha com números reais desde o início, e é nesse território que a classificação é feita. Você pode estar pensando que isso é filosofia demais para uma prova — mas é justamente essa lógica que explica por que $a^{0} = 1$ e por que $a^{- n} = 1 / a^{n}$ . Essas não são regras decoradas: são as únicas definições que mantêm a soma de expoentes funcionando.

Potenciação: propriedades e exercícios com exemplos

Quando usar (e quando não)?

Use sempre que houver multiplicação de potências de mesma base — e principalmente para simplificar antes de calcular. $2^{10} \cdot 2^{- 7}$ é $2^{3} = 8$ , muito mais rápido que calcular as duas potências.

A família de regras que vem junto: divisão subtrai expoentes $a^{m} / a^{n} = a^{m - n}$ ; potência de potência multiplica $(a^{m})^{n} = a^{m n}$ ; e a notação científica vive dessas regras.

A regra exige BASES IGUAIS. $2^{3} \cdot 3^{2}$ não vira $6^{5}$ nem nada parecido — não há como somar expoentes de bases diferentes. E cuidado com $0^{0}$ e potências negativas de zero: são indefinidas.

Exemplo resolvido

Antes de tudo, prevê: em (a), somar 3 com 4 dá 7, então esperamos 2⁷ = 128. Em (b), o expoente negativo vai reduzir bastante. Simplificar primeiro é sempre mais rápido que calcular cada potência:

🪖 BásicoSimplificar antes de calcular

Calcule: (a) $2^{3} \cdot 2^{4}$ (b) $5^{6} \cdot 5^{- 4}$ (c) $(3 \times 1 0^{4}) (2 \times 1 0^{- 6})$ .

(a) $2^{3 + 4} = 2^{7} = 128$ .
(b) $5^{6 - 4} = 5^{2} = 25$ .
(c) Separa números e potências: $(3 \cdot 2) \times (1 0^{4} \cdot 1 0^{- 6}) = 6 \times 1 0^{- 2}$ .
$= 0, 06$ .

128

25

6 \times 1 0^{- 2} = 0, 06

Verificação: (a) bateu com a previsão: 2⁷ = 128 — e confere pela conta longa, 8 × 16 = 128. Repara como (b) ficou trivial: calcular 5⁶ = 15.625 e dividir por 625 daria o mesmo 25, com dez vezes mais trabalho. E se as bases fossem diferentes, como $2^{3} \cdot 3^{2}$ ? Não há regra: é 8 × 9 = 72, e ponto. A soma de expoentes exige base igual.

Quais os erros mais comuns?

01
Somar expoentes com bases diferentes
$2^{3} \cdot 3^{2}$ não vira $6^{5}$ . A regra só vale com a MESMA base — o nome da propriedade já avisa.
Como evitar: confira as bases antes de mexer nos expoentes. Diferentes? Calcule cada potência.
02
Multiplicar os expoentes em vez de somar
$a^{m} \cdot a^{n}$ soma; $(a^{m})^{n}$ multiplica. Trocar as duas é o deslize mais comum do assunto.
Como evitar: lembre da contagem de fatores: multiplicar potências junta os fatores, então os expoentes se SOMAM.
03
Errar o sinal com expoente negativo
$5^{6} \cdot 5^{- 4}$ é $5^{6 + (- 4)} = 5^{2}$ , não $5^{10}$ . O expoente negativo entra somando com o sinal dele.
Como evitar: escreva a soma com parênteses: $6 + (- 4)$ . O parêntese evita o erro.

FAQ: perguntas sobre as potências de mesma base

Qual é a regra do produto de potências de mesma base?

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ : conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Por que os expoentes se somam?

Porque potência é multiplicação repetida: m fatores vezes n fatores dão m+n fatores. Essa é a demonstração — válida quando os expoentes são naturais.

Essa regra é demonstrável ou postulado?

Depende do domínio. Nos naturais é demonstrável (basta contar fatores). Nos reais é postulado: $a^{1 / 2}$ não é multiplicar meia vez, e a definição de expoente real é construída justamente para que a regra continue valendo.

Por que a⁰ = 1?

Porque é a única definição que mantém a regra funcionando: $a^{n} \cdot a^{0} = a^{n + 0} = a^{n}$ , então $a^{0}$ tem que ser o elemento neutro da multiplicação, isto é, 1.

Por que expoente negativo vira fração?

Pelo mesmo motivo: $a^{n} \cdot a^{- n} = a^{0} = 1$ , logo $a^{- n}$ só pode ser $1 / a^{n}$ . Não é regra decorada — é consequência.

E se as bases forem diferentes?

A regra não se aplica. $2^{3} \cdot 3^{2}$ é simplesmente 8 × 9 = 72; não existe forma de somar esses expoentes.

Qual a regra para divisão de potências?

Subtrair os expoentes: $a^{m} / a^{n} = a^{m - n}$ . É a mesma propriedade, já que dividir é multiplicar pelo inverso.

Como isso aparece em notação científica?

Em toda multiplicação: $(3 \times 1 0^{4}) (2 \times 1 0^{- 6}) = 6 \times 1 0^{- 2}$ . Multiplica-se os números e somam-se os expoentes de 10.

Cursos

Física

Matemática

Fórmulas

Potências de mesma base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Qual é a regra do produto de potências de mesma base?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Somar expoentes com bases diferentes

Multiplicar os expoentes em vez de somar

Errar o sinal com expoente negativo

FAQ: perguntas sobre as potências de mesma base

Continue no Guia de Fórmulas

Guia de Fórmulas Explicadas

Radiciação

Propriedade distributiva

Juros compostos

Fórmulas de Matemática