Seno e Cosseno (Trigonometria) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 52 minutos: o índice

Como o ENEM cobra seno e cosseno (trigonometria)

O professor diz que seno e cosseno não são o assunto mais importante da prova de Matemática do Enem, mas que importam no contexto de geometria, semelhança de triângulos e funções trigonométricas. A questão modelo da aula é um problema de altura de prédio visto de dois pontos, com ângulos de 60° e 45°, resolvido só com triângulos retângulos e a tabela dos ângulos notáveis. A pegadinha está em usar a razão certa em cada triângulo e perceber que a altura é comum aos dois.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Semelhança de triângulos (a aula revisa)
• Teorema de Pitágoras
• Soma dos ângulos internos de um triângulo (180°)
• Operações com frações e racionalização de raízes

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Três triângulos semelhantes com o mesmo ângulo θ: sen θ = b₁/a₁ = b₂/a₂ = b₃/a₃ (e igual para cos θ e tan θ)
• Definições no triângulo retângulo: sen θ = b/a, cos θ = c/a, tg θ = b/c, e sen θ / cos θ = tg θ
• Exemplo da semelhança: cos θ = 3/18 = 1/6, logo x = 6
• Triângulo equilátero de lado 1 cortado ao meio (Pitágoras, y = √3/2) e quadrado de lado 1 com diagonal √2
• Tabela de sen, cos e tan para 30°, 45° e 60°
• Questão modelo ENEM (Universo Narrado 2024): tg 60° = √3 = h/30, h = 30√3, x = 30(√3 − 1) ≈ 21 m

Por que seno e cosseno, e a questão que motiva a aula

O professor avisa de início que seno e cosseno não são o assunto mais importante da prova de Matemática do Enem, mas que aparecem em dois contextos relevantes. O primeiro é a geometria, principalmente a semelhança de triângulos. O segundo é o das funções trigonométricas: gráfico de seno e cosseno, modificações do gráfico e máximo e mínimo, tema que ele deixa para outra aula. O objetivo desta aula é entender como o conceito de seno e cosseno surge nos triângulos retângulos e para que ele serve.

Como de costume, a aula começa por uma questão que motiva o estudo. Uma pessoa está no ponto $A$, na base de um prédio. Ela caminha 30 metros para a esquerda até o ponto $B$, de onde vê o topo do prédio sob um ângulo de $60^{\circ }$. Depois caminha mais um trecho, que o professor chama de $x$, até o ponto $C$, de onde vê o topo sob um ângulo de $45^{\circ }$. Pergunta-se qual é a distância entre $B$ e $C$.

Na figura aparecem três triângulos retângulos: um pequeno, de $A$ até o topo passando por $B$; um grande, de $A$ até o topo passando por $C$; e um terceiro, mais "esquisitinho", formado pelo trecho $BC$ e os raios de visão. O professor deixa claro que o problema não é o mais difícil do mundo, mas que não quer que o aluno se satisfaça apenas em resolvê-lo. A ideia é aproveitar o problema para recapitular os conceitos que ele contém: seno, cosseno, tangente e os ângulos notáveis, com seus valores.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:02:00)

Revisão de semelhança de triângulos

A construção começa pela semelhança. Dois triângulos são semelhantes quando um é apenas uma reescala do outro: aumentando ou diminuindo a escala de um deles, é possível fazê-lo se sobrepor ao outro. Todos os triângulos de uma mesma família têm os três ângulos internos iguais. Como os três ângulos somam $180^{\circ }$, basta que dois deles coincidam (aqui, o ângulo reto e o ângulo $\theta$) para que o terceiro fique determinado.

O professor desenha um triângulo de outra família para mostrar o contraste: por mais que se aumente, diminua ou gire esse triângulo, ele nunca se sobrepõe aos demais, porque tem outra abertura angular.

Se o triângulo 2 é o dobro do triângulo 1, então $B_2=2B_1$, $C_2=2C_1$ e $A_2=2A_1$. A razão entre os lados correspondentes é a razão de semelhança, no exemplo igual a 2: ${\displaystyle \frac{B_2}{B_1}}={\displaystyle \frac{C_2}{C_1}}={\displaystyle \frac{A_2}{A_1}}$. Esse é o modo usual de escrever a semelhança, comparando um lado de um triângulo com o lado correspondente do outro.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:06:00)

Trocando de lado: a razão dentro do mesmo triângulo é a tangente

O passo central da aula é um simples rearranjo da igualdade anterior. Dividindo os dois lados por $C_2$ e multiplicando por $B_1$, obtém-se ${\displaystyle \frac{B_1}{C_1}}={\displaystyle \frac{B_2}{C_2}}$, e com o terceiro triângulo, ${\displaystyle \frac{B_1}{C_1}}={\displaystyle \frac{B_2}{C_2}}={\displaystyle \frac{B_3}{C_3}}$. O professor destaca a sutileza: antes se comparava um lado de um triângulo com um lado de outro; agora cada fração compara dois lados do mesmo triângulo.

A interpretação é que essa razão não depende do tamanho do triângulo. Se o triângulo 2 é o dobro do triângulo 1, o fator 2 aparece no numerador e no denominador e some. Logo, todos os triângulos retângulos da família, qualquer que seja o tamanho, têm a mesma razão entre o cateto oposto ao ângulo $\theta$ e o cateto adjacente.

O professor argumenta que essa razão é uma propriedade do ângulo, e não do triângulo. Se o ângulo é aberto, o cateto oposto cresce em relação ao adjacente e a razão muda; o triângulo passa a pertencer a outra família. Enquanto a abertura angular for a mesma, a razão é a mesma. Esse número recebe o nome de tangente do ângulo: $\tan \theta ={\displaystyle \frac{B}{C}}$, cateto oposto sobre cateto adjacente.

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Seno e cosseno: mais duas razões que só dependem do ângulo

O mesmo raciocínio vale para outras duas razões. Escolhendo as razões ${\displaystyle \frac{C_2}{C_1}}={\displaystyle \frac{A_2}{A_1}}$ (cateto adjacente e hipotenusa) e fazendo o mesmo rearranjo, chega-se a ${\displaystyle \frac{C_1}{A_1}}={\displaystyle \frac{C_2}{A_2}}={\displaystyle \frac{C_3}{A_3}}$. A razão entre o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ e a hipotenusa é a mesma em todos os triângulos da família. O professor diz que também ela mede, de certo modo, a abertura angular: aumentar o ângulo exige alterar essa razão.

Ele faz de propósito um pequeno teste de atenção ao nomear essa razão e depois corrige: a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa é o cosseno do ângulo $\theta$. Já a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ${\displaystyle \frac{B_1}{A_1}}={\displaystyle \frac{B_2}{A_2}}={\displaystyle \frac{B_3}{A_3}}$, é o seno de $\theta$. O professor conclui que seno e cosseno são propriedades do ângulo, não do triângulo.

O resumo que ele escreve, para um triângulo retângulo com hipotenusa $a$, cateto oposto $b$ e cateto adjacente $c$ ao ângulo $\theta$, é: $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta ={\displaystyle \frac{b}{a}}$, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{c}{a}}$ e $\tan \theta ={\displaystyle \frac{b}{c}}$. Três propriedades do ângulo, todas nascidas da semelhança de triângulos.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:19:00)

Tangente = seno / cosseno, e para que serve uma tabela

Uma relação decorre direto das definições. Dividindo o seno pelo cosseno, ${\displaystyle \frac{b\mathrm{/}a}{c\mathrm{/}a}}$, dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso, ${\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{c}}$, e o $a$ se cancela, restando ${\displaystyle \frac{b}{c}}$, que é a tangente. Portanto $\tan \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta }{\cos \theta }}$.

A seguir o professor responde à dúvida natural: se tudo isso veio da semelhança, por que não continuar usando só semelhança? Porque seno, cosseno e tangente são propriedades do ângulo, e isso poupa um triângulo. Ele dá um exemplo: um triângulo grande com hipotenusa 18 e cateto adjacente 3, e um triângulo pequeno com cateto adjacente 1 e hipotenusa $x$. Por semelhança, ${\displaystyle \frac{x}{18}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, logo $3x=18$ e $x=6$.

Pelo cosseno, calcula-se uma vez no triângulo grande: $\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{18}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Todo triângulo retângulo com esse ângulo tem hipotenusa seis vezes o cateto adjacente. No triângulo pequeno, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ e, de novo, $x=6$. Se o aluno tivesse uma tabela de cossenos, saberia esse valor sem precisar do triângulo grande.

A ideia resumida pelo professor é que usar seno, cosseno e tangente é fazer a semelhança de forma implícita: calcula-se a razão uma vez, anota-se e usa-se pelo resto da vida em qualquer triângulo da família. Ele chama isso de "um passo no grau de abstração" e pede que o aluno faça sinapse entre geometria, semelhança e trigonometria.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:29:00)

A tabela dos ângulos notáveis: 30°, 60° e 45° construídos do zero

Os ângulos que o aluno precisa saber de cor são $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ e $60^{\circ }$, e o professor mostra que não é preciso decorar: dá para construí-los. Para $30^{\circ }$ e $60^{\circ }$, parte-se de um triângulo equilátero de lado 1, com os três ângulos de $60^{\circ }$. Traça-se a altura, que também é mediana e bissetriz: ela divide a base em dois pedaços de $\frac{1}{2}$ e o ângulo do topo em dois de $30^{\circ }$.

O triângulo retângulo formado tem hipotenusa 1, cateto $\frac{1}{2}$ e outro cateto $y$. Por Pitágoras, $1^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+y^2$, de onde $y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ e $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (a raiz positiva, pois é uma altura).

Daí: $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$; $\cos 30^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$; e $\tan 30^{\circ }={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ depois de racionalizar. Para $60^{\circ }$ os valores se trocam: o seno de $60^{\circ }$ é igual ao cosseno de $30^{\circ }$, o que o professor lembra valer para ângulos complementares.

Para $45^{\circ }$, usa-se um quadrado de lado 1. A diagonal vale $\sqrt{2}$ (Pitágoras) e a divide o ângulo reto em dois de $45^{\circ }$. Então $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}45^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, igual ao $\cos 45^{\circ }$, e a tangente é 1.

Para preencher a tabela rapidamente, o professor dá um atalho: para o seno, escreva $1,2,3$ nos numeradores (de $30^{\circ }$ a $60^{\circ }$), divida tudo por 2 e ponha raiz em cada numerador; o cosseno é o mesmo, na ordem $3,2,1$. A tangente é seno dividido por cosseno, então não precisa ser decorada.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:39:00)

Voltando à questão do prédio

Com a tabela construída, o professor retorna à questão do começo. O triângulo menor, formado pela base $AB=30$, a altura $h$ do prédio e o raio de visão de $60^{\circ }$, é um triângulo retângulo $30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$, semelhante ao que acabou de ser construído. Não é preciso refazer a semelhança: basta usar a informação já guardada, que vale para qualquer triângulo com esse ângulo.

Nesse triângulo, a tangente de $60^{\circ }$ é $\sqrt{3}$. A tangente é o cateto oposto sobre o adjacente, e o cateto oposto ao ângulo de $60^{\circ }$ é a altura $h$ do prédio, enquanto o adjacente é 30. Portanto $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}={\displaystyle \frac{h}{30}}$ e $h=30\sqrt{3}$.

O professor então diz que agora é possível pegar o triângulo grande, formado pelo ponto $C$, e a transcrição do capítulo termina nesse ponto. O desfecho consta no mapa mental da aula: no triângulo de $45^{\circ }$, a altura é igual ao cateto da base, que vale $x+30$, pois a tangente de $45^{\circ }$ é 1. Assim $30\sqrt{3}=x+30$, $x=30(\sqrt{3}-1)$ e, com $\sqrt{3}\approx 1,7$, $x\approx 30\cdot 0,7\approx 21$ metros, alternativa d.

▶ Ver este trecho no vídeo (07:51:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em seno e cosseno (trigonometria)

1. 01

   Confundir seno e cosseno

   Confundir seno e cosseno: seno é cateto oposto sobre hipotenusa; cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que seno, cosseno e tangente dependem do tamanho

   Achar que seno, cosseno e tangente dependem do tamanho do triângulo, e não do ângulo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer de racionalizar $\tfrac{1}{\sqrt3}$

   Esquecer de racionalizar $\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ao montar a tabela.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer de tomar apenas a raiz positiva ao calcular

   Esquecer de tomar apenas a raiz positiva ao calcular a altura do triângulo equilátero.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Trocar os valores de 30° e 60°

   Trocar os valores de 30° e 60°: o seno de 60° é o cosseno de 30°.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Decorar a tabela da tangente em vez de dividir seno

   Decorar a tabela da tangente em vez de dividir seno por cosseno.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Seno e Cosseno (Trigonometria) no ENEM