Arcos e Ângulos (Trigonometria) no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 18 minutos: o índice

Como o ENEM cobra arcos e ângulos (trigonometria)

O professor diz que o conceito de ângulo, em graus e em radianos, é fundamental para toda a geometria e a trigonometria seguintes, e também para a Física. Na prática, a aula mostra o ENEM cobrando o tema de forma contextualizada, com um gráfico de pizza em que o ângulo do setor é proporcional ao valor, e com contas de números pouco redondos em que vale estimar e eliminar alternativas.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Regra de três e proporcionalidade
• Comprimento da circunferência ($2\pi R$)
• Operações com frações e porcentagem

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Radiano: θ = S/R rad (arco sobre raio)
• Grau: 1° = 1/360 da circunferência; volta = 360°
• 180° corresponde a π rad
• Arcos com R = 2 m: 2 m = 1 rad, 4 m = 2 rad, 6 m = 3 rad, 6,28 m = π rad (3,14 rad)
• Questão: gasolina R$450detotalR$ 1.230, θ = 450/1230 ≈ 131°, letra D (130)

Por que o ângulo importa e o que a questão pede

Antes de qualquer trigonometria ou geometria, o professor destaca um conceito fundamental: o ângulo. É preciso entender o que significa um ângulo em radiano, como ele é medido, o que é um ângulo em grau e como converter de um para o outro. Nada disso é complexo, mas tudo o que vem depois em geometria e trigonometria depende dessa base.

A questão da aula serve de motivação. Pedro monta uma planilha de gastos e organiza os valores em uma tabela. Em seguida, ele representa esses dados em um gráfico de pizza, isto é, um gráfico circular. Pergunta-se qual é, em graus e aproximadamente, o ângulo do setor referente aos gastos com gasolina, que custam R$ 450.

O professor desenha uma circunferência dividida em setores e chama de $\theta$ o ângulo do setor da gasolina. Os outros setores (academia e demais gastos) não interessam para a resposta. O conhecimento exigido é o de circunferência, arcos e ângulos.

O plano da aula é, portanto, primeiro rever as definições de radiano e de grau, depois a conversão entre elas, e só então voltar à questão. Ele avisa que o radiano é indispensável também em Física, onde ângulos aparecem quase sempre nessa unidade.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:43:00)

O que é um ângulo em radiano

Para medir ângulos usa-se uma circunferência como base. Pega-se uma circunferência de raio $R$ e escolhe-se uma abertura angular qualquer, chamada $\theta$. O ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco que o ângulo enxerga e o raio da circunferência: $\theta ={\displaystyle \frac{\text{arco}}{R}}$.

Exemplo do professor: se o arco mede 8 m e o raio é 2 m, então $\theta =8\mathrm{/}2=4$. Os metros se cancelam, de modo que o resultado não tem dimensão. Para não ficar estranho dizer que o ângulo vale apenas 4, acrescenta-se o nome "radianos" (rad). Quatro radianos significam que cabem quatro raios esticados ao longo daquele arco.

Com a mesma circunferência de raio 2 m, um arco de 2 m dá $\theta =1$ rad: cabe exatamente um raio no arco. Um arco de 4 m dá 2 rad, e um arco de 6 m dá 3 rad. Em cada caso o ângulo diz quantos raios cabem no comprimento do arco.

Com 3 rad, a abertura é quase um ângulo raso, e falta só um pequeno pedaço para completar a meia volta. Esse pedaço é aproximadamente 0,14 rad, e é isso que levará ao número $\pi$ na próxima etapa.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:45:00)

Meia volta é pi radianos

Para a meia volta (ângulo raso, 180°), o arco é metade da circunferência. Com raio de 2 m, a circunferência inteira mede cerca de 6,28 m, e o arco de meia volta mede cerca de 3,14 m. Dividindo o arco pelo raio, obtém-se aproximadamente 3,14 rad, o que reproduz o resultado da etapa anterior: três raios e mais um pequeno pedaço. Esse valor é $\pi$, aproximadamente 3,14159.

A interpretação geométrica é a seguinte: em meia circunferência cabem $\pi$ raios esticados, ou seja, um raio, dois raios, três raios e mais 0,14 de raio. Por isso uma abertura de meia volta vale exatamente $\pi$ radianos. O pequeno pedaço que faltava depois de 3 rad é justamente o que completa $\pi$.

A volta inteira é o dobro: $2\pi$ rad, aproximadamente 6,28 rad. O professor ressalta que essas relações são a base de qualquer conversão e que é importante saber o que cada uma significa geometricamente, e não só decorá-las.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:50:00)

O grau e a conversão entre graus e radianos

O grau é mais simples: divide-se a circunferência em 360 partes iguais, como uma pizza de 360 fatias, e cada fatia tem abertura de 1°, isto é, $1\mathrm{/}360$ da circunferência. Juntando as 360 partes tem-se a volta completa, então 360° corresponde a uma volta inteira.

As duas unidades ficam assim relacionadas: meia volta é $180^{\circ }=\pi$ rad, e a volta completa é $360^{\circ }=2\pi$ rad. Todas as conversões saem dessa equivalência, usando uma regra de três.

Para converter, monta-se a proporção: $\pi$ rad está para $180^{\circ }$ assim como $x$ está para o ângulo dado. Para 30°, por exemplo, escreve-se $\pi \mathrm{/}180=x\mathrm{/}30$ e resolve-se. O mesmo vale para 50° ou qualquer outro valor, e também no sentido inverso, de radianos para graus.

O professor conclui que, para o início de geometria e trigonometria, é preciso trabalhar muito bem com ângulos em graus e em radianos e entender como a medida se relaciona com a circunferência. Segundo ele, nada disso é sofisticado.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:52:00)

Resolvendo a questão do gráfico de pizza

Num gráfico de pizza, quanto maior a abertura angular, maior o arco e maior a área do setor. O ângulo é, portanto, diretamente proporcional ao valor associado ao setor. O total dos gastos corresponde à volta completa, 360°, e cada gasto ocupa a fração correspondente.

O professor soma os gastos da tabela, fazendo a conta de cabeça separando centenas, dezenas e unidades (780 + 450 = 1230), e encontra o total de R$\mathrm{1.230.}Apizzainteira,360\mathrm{°},equivaleaR$ 1.230, e o setor da gasolina equivale a R$450.O\widehat{a}ngulo\acute{e}ent\tilde{a}o$\theta = \dfrac{450}{1230}\cdot 360^\circ \approx 131^\circ$.

Antes da conta exata, ele mostra uma estimativa: com 400 sobre 1200 daria 1/3, e um terço de 360° é 120°. Como o numerador foi arredondado mais do que o denominador, o valor real deveria ser um pouco maior, mas as alternativas próximas (110°, 130°, 150°) tornam essa estimativa insegura. O professor recomenda, nesses casos, fazer a conta certa.

A conta exata dá aproximadamente 131°, e a resposta é a letra D. A dica geral é aproximar números feios para contas redondas e eliminar alternativas distantes, com cuidado quando as opções estão próximas.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:55:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em arcos e ângulos (trigonometria)

1. 01

   Tratar o radiano como medida com dimensão, esquecendo

   Tratar o radiano como medida com dimensão, esquecendo que metros se cancelam na razão arco/raio.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Decorar 180° = pi sem entender que em meia circunferência

   Decorar 180° = pi sem entender que em meia circunferência cabem pi raios.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Estimar com números arredondados demais quando

   Estimar com números arredondados demais quando as alternativas estão próximas, e marcar a letra vizinha.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Arcos e Ângulos (Trigonometria) no ENEM