Fórmula da PG: termo geral aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ explicado

Q: Qual é a fórmula do termo geral da PG?

an = a1·q^(n−1): o primeiro termo multiplicado por q elevado a n−1.

Q: Por que o expoente é n−1 e não n?

Porque entre n termos há n−1 saltos multiplicativos. Do 1º ao 7º termo são 6 multiplicações por q.

Q: Como achar a razão de uma PG?

Dividindo termos consecutivos: q = a2/a1.

Q: Qual a fórmula da soma da PG?

Finita: Sn = a1(q^n − 1)/(q − 1), com q ≠ 1. Infinita, com |q| < 1: S∞ = a1/(1 − q).

Q: Onde a PG aparece na vida real?

Em tudo que cresce por fator: juros compostos, decaimento radioativo, contágio. Se multiplica, é PG.

Q: Por que a PG cresce tão mais rápido que a PA?

Porque a PA soma sempre a mesma quantidade e a PG multiplica, aplicando o crescimento sobre o total acumulado.

Q: Uma PG com termos negativos pode ser crescente?

Pode: com a1 < 0 e 0 < q < 1, os termos ficam menos negativos (−8, −4, −2…) e a sequência cresce.

Q: Por que a soma infinita só existe com |q| < 1?

Porque só assim os termos tendem a zero e a soma converge. Com |q| ≥ 1 a soma cresce sem limite.

Qual é a fórmula do termo geral da PG?

Pra uma PG de primeiro termo $a_{1}$ e razão $q$ :

Termo geral da PG

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Do primeiro termo até a posição n são n−1 multiplicações por q. O que na PA era coeficiente, na PG vira expoente.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

Mesma lógica da PA, trocando soma por multiplicação:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a_{n}$	o termo da posição n	—
$a_{1}$	o primeiro termo	—
$n$	a posição na sequência	inteiro ≥ 1
$q$	a razão: «K: a_{n+1}/a_n », constante	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é a mesma da PA: quantos saltos existem do 1º ao enésimo termo? n−1. A diferença é que aqui cada salto MULTIPLICA por q em vez de somar r. Empilha a recorrência $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ :

Dedução · empilhando multiplicações

a_{2} = a_{1} q, a_{3} = a_{1} q^{2}, \dots a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

Cada linha carrega um q a mais no expoente. Na posição n, acumularam-se n−1 fatores.

Você pode estar pensando: “por que a PG cresce tão mais rápido que a PA?” Porque a PA soma a mesma quantidade a cada passo, enquanto a PG multiplica — e multiplicar aplica o crescimento sobre o total já acumulado. A PA anda em linha reta; a PG anda sobre si mesma. É essa diferença que separa o salário que sobe R$ 100 por ano do investimento que rende 10% ao ano.

E repara na simetria com a PA: mesmo esqueleto, operação trocada. É por isso que o logaritmo transforma PG em PA — ele troca multiplicação por soma. Selo Demonstrável.

Progressão geométrica: fórmulas, soma e exercícios

Quando usar (e quando não)?

Use pra saltar direto a um termo distante, achar a razão entre termos afastados ( $q^{q - p} = a_{q} / a_{p}$ ) ou modelar crescimento multiplicativo: juros compostos, meia-vida, contaminação.

Com $∣ q ∣ < 1$ , a soma infinita converge: $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ — a fórmula por trás da dízima periódica e do paradoxo de Aquiles.

Com q negativo a PG alterna sinais — e o expoente n−1 decide se o termo é positivo ou negativo. E a soma infinita SÓ existe com |q| < 1: aplicá-la com q = 2 produz um número finito pra uma soma que explode. Absurdo na certa.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê: são 6 saltos multiplicando por 3. Como $3^{6}$ está entre 700 e 800, e o primeiro termo é 2, o resultado deve ficar perto de 1.500. Se sair 486 ou 4.374, o número de saltos foi contado errado:

🪖 BásicoDireto ao 7º termo

Na PG (2, 6, 18, …), qual é o 7º termo?

Identifica: $a_{1} = 2$ , razão $q = 6 / 2 = 3$ .
Termo geral: $a_{7} = 2 \cdot 3^{7 - 1} = 2 \cdot 3^{6}$ .
$3^{6} = 729$ , logo $a_{7} = 1458$ .

a_{7} = 1458

Verificação: bateu com a previsão de ~1.500. Conferindo pelo vizinho: a₆ = 2·3⁵ = 486, e 486 × 3 = 1458 — a recorrência fecha com a fórmula fechada. E se a razão fosse 1/3 em vez de 3? A PG minguaria (2; 0,67; 0,22…) e a soma infinita existiria: $S_{\infty} = 2 / (1 - 1 / 3) = 3$ . Infinitos termos somando um número finito — só possível porque |q| < 1.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar n no expoente em vez de n−1
a₇ = 2·3⁷ multiplica um salto a mais e TRIPLICA o resultado — na PG, o erro de índice custa um fator q inteiro.
Como evitar: mesma cerca da PA: n termos, n−1 saltos. Só que aqui cada vão multiplica.
02
Achar a razão subtraindo
q vem de DIVIDIR termos consecutivos. Subtrair (6 − 2 = 4) inventa uma PA que não existe nos dados.
Como evitar: teste da natureza da sequência: quociente constante → PG; diferença constante → PA.
03
Usar a soma infinita com |q| ≥ 1
S∞ = a₁/(1−q) só vale quando os termos MÍNGUAM (|q| < 1). Com q = 2 a fórmula dá negativo pra uma soma que cresce sem limite.
Como evitar: antes de S∞, pergunte: os termos estão indo pra zero? Se não, a soma infinita não existe.

FAQ: perguntas sobre o termo geral da PG

Qual é a fórmula do termo geral da PG?

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ : o primeiro termo multiplicado por q elevado a n−1. São n−1 multiplicações do primeiro termo até a posição n.

Por que o expoente é n−1 e não n?

Porque entre n termos há n−1 saltos multiplicativos. Do 1º ao 7º termo são 6 multiplicações por q.

Como achar a razão de uma PG?

Dividindo termos consecutivos: q = a₂/a₁. Entre termos afastados, $q^{q - p} = a_{q} / a_{p}$ — o quociente acumula um q por salto.

Qual a fórmula da soma da PG?

Finita: $S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ (q ≠ 1). Infinita, com |q| < 1: $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ .

Onde a PG aparece na vida real?

Em tudo que cresce por fator: juros compostos (q = 1 + i), decaimento radioativo (q = 1/2 por meia-vida), contágio, pirâmides financeiras. Se multiplica, é PG.

Por que a PG cresce tão mais rápido que a PA?

Porque a PA soma sempre a mesma quantidade, enquanto a PG multiplica — aplicando o crescimento sobre o total já acumulado. A PA anda em linha reta; a PG anda sobre si mesma.

Uma PG com termos negativos pode ser crescente?

Pode. Com $a_{1} < 0$ e $0 < q < 1$ , os termos são negativos e vão ficando menos negativos: −8, −4, −2, −1… — a sequência cresce. Sinal e crescimento são coisas independentes.

Por que a soma infinita só existe com |q| < 1?

Porque só assim os termos míngua até zero e a soma converge. Com |q| ≥ 1 os termos não diminuem, a soma cresce sem limite, e aplicar $S_{\infty} = a_{1} / (1 - q)$ devolve um número sem significado — às vezes até negativo.

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Fórmula da PG: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹

Qual é a fórmula do termo geral da PG?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar n no expoente em vez de n−1

Achar a razão subtraindo

Usar a soma infinita com |q| ≥ 1

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