Função Afim e Sistemas Lineares no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 23 minutos: o índice

Como o ENEM cobra função afim e sistemas lineares

O professor diz que função do primeiro grau e sistemas aparecem em diversos contextos e que o raciocínio da aula vai surgir de qualquer forma, em um tipo de questão ou em outro. Na prática, a questão modelo pede para traduzir uma situação (contagem de palitos) em duas equações e achar a relação entre as incógnitas, com alternativas já isoladas em uma forma específica. Convém conferir qual forma as alternativas pedem antes de rearranjar a resposta.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Equações do primeiro grau e operações com frações
• Plano cartesiano e gráfico de uma reta
• Função do primeiro grau (coeficientes angular e linear), vista na aula anterior

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Sistema 2y = 2x + 1 e y = 3x - 1, com solução x = 3/4 e y = 5/4
• 1ª forma: substituição, 2(3x - 1) = 2x + 1, 6x - 2 = 2x + 1, 4x = 3
• 2ª forma: multiplicar a equação de baixo por 2 e dividir uma equação pela outra, chegando a 6x - 2 = 2x + 1
• Geometricamente: as retas y = 3x - 1 e 2y = 2x + 1 (ou y = x + 1/2) se cruzam no ponto (3/4, 5/4)
• Palitos: x = 3n + 1 (quadrados) e x - 4 = 2m + 1 (triângulos); subtraindo, 4 = 3n - 2m, ou seja, 3n = 2m + 4

Função afim: o que cada coeficiente faz no gráfico

A aula chega ao fim de um exemplo de movimento retilíneo. O carro parte do quilômetro $80$ e anda a $100$ km/h, o que dá a função $f(x)=100x+80$, com o tempo no lugar de $x$. A posição inicial é o coeficiente linear, o $80$, e a velocidade é o coeficiente angular, o $100$. O professor avisa que esse $a$ não deve ser confundido com aceleração.

Ele aproveita para mostrar que o que a Física chama de função horária da posição é, na Matemática, uma função do primeiro grau, e que todo o conhecimento já discutido sobre ela continua valendo. No exemplo, bastava conhecer o coeficiente linear para resolver a questão.

O ponto que ele pede para guardar é o papel de cada coeficiente: o angular determina a inclinação do gráfico, e o linear determina onde a reta corta o eixo $y$. Segundo o professor, saber isso é imprescindível, porque aparece de um jeito ou de outro em qualquer prova.

Em seguida ele anuncia o raciocínio da aula: função do primeiro grau, resolução de sistemas e interpretação geométrica deles. A questão que motiva o estudo trata de palitos usados para montar quadrados e triângulos. Antes de resolvê-la, o professor vai revisar as formas de resolver sistemas, porque a questão desemboca em um.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:04:00)

O que é resolver um sistema e o método da substituição

O sistema de exemplo é formado por $2y=2x+1$ e $y=3x-1$. O professor diz que há pelo menos três formas de resolvê-lo e que convém dominar todas, porque cada contexto favorece uma.

Resolver o sistema significa achar um valor de $x$ e um valor de $y$ que façam as duas equações darem certo ao mesmo tempo. O mesmo $y$ que satisfaz a primeira satisfaz a segunda, e o mesmo vale para $x$.

A primeira forma é a substituição: isola-se uma variável em uma das equações e substitui-se na outra. Aqui a segunda equação já traz $y$ isolado, então basta trocar o $y$ da primeira por $3x-1$. Fica $2(3x-1)=2x+1$, ou seja, $6x-2=2x+1$. Subtraindo $2x$ dos dois lados, $4x=3$, e portanto $x=3\mathrm{/}4$.

Para achar $y$, substitui-se o valor de $x$ em qualquer uma das equações. Na de baixo, $y=3\cdot \frac{3}{4}-1=\frac{9}{4}-\frac{4}{4}=\frac{5}{4}$.

O professor recomenda conferir na outra equação, se sobrar tempo. Na de cima, $2y=2\cdot \frac{3}{4}+1=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}$. Como isso é o valor de $2y$, dividir por $2$ dá $y=\frac{5}{4}$, o mesmo resultado. Se os dois valores de $y$ não coincidissem, haveria erro de conta.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:06:00)

Segunda forma: manipular as equações (subtrair ou dividir)

A segunda forma consiste em operar com as próprias equações. Qualquer coisa feita de um lado da igualdade pode ser feita do outro, e os dois lados continuam iguais. Por isso é permitido multiplicar ou dividir uma equação inteira por um número.

No exemplo, o professor multiplica a equação de baixo por $2$ e obtém $2y=6x-2$. A escolha tem motivo: agora as duas equações têm $2y$, e isso permite fazer contas entre elas para que o $y$ desapareça.

Subtraindo as equações: $2y-2y=0$, e do outro lado $2x-6x=-4x$ e $1-(-2)=3$. O resultado é $0=-4x+3$, ou seja, $4x=3$, de modo que $x=3\mathrm{/}4$. Depois é só substituir em qualquer equação para obter $y=5\mathrm{/}4$.

Também é possível dividir uma equação pela outra. Então $2y\mathrm{/}2y=1$ e fica $1={\displaystyle \frac{2x+1}{6x-2}}$, isto é, $6x-2=2x+1$, que leva a $4x=3$ e ao mesmo $x=3\mathrm{/}4$.

O professor resume que as operações possíveis (somar, subtrair, multiplicar e dividir equações) dão infinitas maneiras de chegar ao resultado. Essa é a forma mais rica, mas exige criatividade e familiaridade com as regras da Matemática. O objetivo é sempre chegar a uma equação em que uma das incógnitas desapareça.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:11:00)

Terceira forma: interpretação geométrica e os três casos

A terceira forma é geométrica, e o professor diz que ela precisa ser entendida mesmo por quem não a use para resolver. Cada equação do sistema é uma reta. A equação $y=3x-1$ tem coeficiente linear $-1$, onde corta o eixo $y$, e coeficiente angular $3$, que indica a inclinação. A equação $2y=2x+1$, dividida por $2$, vira $y=x+\frac{1}{2}$, com coeficiente angular $1$, menos inclinada que a primeira.

As duas retas se cruzam em um único ponto. Resolver o sistema é encontrar esse ponto, cujas coordenadas servem às duas equações ao mesmo tempo. No exemplo, o ponto de interseção é $(3\mathrm{/}4,5\mathrm{/}4)$.

Daí saem as três possibilidades para um sistema de duas equações do primeiro grau. Se as retas são concorrentes, elas se cruzam em um só ponto e há solução única. Se são paralelas, nunca se encontram e o sistema não tem solução. Se são coincidentes, isto é, a mesma reta, todos os pontos são comuns e há infinitas soluções.

Resolver por desenho nem sempre é prático, mas saber o que significa o resultado ajuda a interpretar enunciados. Quando se resolve o sistema, o que se encontra é o ponto que pertence às duas retas.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:16:00)

Questão modelo: montando as equações dos quadrados e dos triângulos

Com os métodos revisados, o professor volta à questão dos palitos. João monta quadrados enfileirados e, com todos os seus palitos, consegue exatamente $n$ quadrados. Tiago usa os mesmos palitos para montar triângulos enfileirados e consegue exatamente $m$ triângulos, com $4$ palitos sobrando. Pede-se a relação entre $n$ e $m$. O professor chama de $x$ o número total de palitos.

Nos quadrados, o primeiro exige $4$ palitos, mas cada quadrado seguinte compartilha um lado com o anterior e custa só $3$ palitos novos. O raciocínio dele é: cada quadrado gasta $3$ palitos, e no final falta um palito para fechar a figura. Com $5$ quadrados, $3\cdot 5=15$, mais $1$, dá $16$ palitos. Portanto $x=3n+1$.

Nos triângulos, o raciocínio é o mesmo. Cada triângulo gasta $2$ palitos novos, porque um dos lados é compartilhado, e no fim falta um palito para fechar. Com $4$ triângulos, $2\cdot 4+1=9$ palitos. Portanto o número de palitos usados é $2m+1$.

Como sobram $4$ palitos, o que Tiago usou foi $x-4$. A segunda equação fica $x-4=2m+1$. O professor observa que, com $4$ palitos a mais, Tiago poderia montar mais dois triângulos, mas o enunciado diz que ele parou antes.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:20:00)

Resolvendo o sistema: a relação entre n e m

O sistema formado pelas duas equações é $x=3n+1$ e $x-4=2m+1$. São equações do primeiro grau, e o professor escolhe a forma mais direta: subtrair uma da outra, sem mexer em nada antes. Isso funciona porque $x$ e o $1$ aparecem nas duas e cancelam.

Subtraindo a segunda da primeira, o lado esquerdo dá $x-(x-4)=4$ e o lado direito dá $3n+1-(2m+1)=3n-2m$. Fica $4=3n-2m$, que é a relação entre o número de quadrados e o de triângulos.

As alternativas trazem a incógnita $3n$ isolada, então o professor rearranja: $3n=2m+4$. Durante a conta ele se confunde por um instante, chega a falar $2n$ no lugar de $2m$ e confere o sinal do $4$, que é positivo.

A resposta é a alternativa em que aparece $3n=4+2m$. A questão mostra o ponto da aula: o enunciado em palavras vira equação do primeiro grau, e a relação pedida sai de um sistema simples, resolvido por qualquer um dos métodos revisados.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:26:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: movimento uniforme distributividade

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em função afim e sistemas lineares

1. 01

   Confundir o coeficiente angular a com aceleração quando

   Confundir o coeficiente angular a com aceleração quando a função representa um movimento (a é a velocidade).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Esquecer o palito a mais que fecha a figura

   Esquecer o palito a mais que fecha a figura: o total é 3n + 1 e 2m + 1, não 3n e 2m.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Usar x no lugar de x - 4 na equação dos triângulos,

   Usar x no lugar de x - 4 na equação dos triângulos, ignorando os 4 palitos que sobram.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Não conferir o resultado do sistema na outra equação

   Não conferir o resultado do sistema na outra equação: o mesmo y precisa sair das duas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Errar o sinal ou a variável ao isolar

   Errar o sinal ou a variável ao isolar (o professor mesmo escreveu 2n no lugar de 2m e corrigiu): a relação final é 3n = 2m + 4.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Função Afim e Sistemas Lineares no ENEM