Função do Segundo Grau - Propriedades no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 24 minutos: o índice

Como o ENEM cobra função do segundo grau - propriedades

O professor diz que a relação entre delta e o número de pontos em que a parábola toca o eixo x "já apareceu várias vezes nas provas". Na prática, a aula mostra a forma típica de cobrança: um contexto cotidiano (aqui, o graveto) que se traduz em uma função quadrática da qual se pede o valor máximo ou mínimo. A pegadinha é perceber que se pede a área máxima, e não o valor de x que a produz.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Fórmula de Bhaskara
• Perímetro e área do retângulo
• Distributiva e equação do primeiro grau simples

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• f(x) = ax² + bx + c com a ≠ 0; a>0 concavidade para cima, a<0 para baixo
• Δ = b² − 4ac: Δ>0 duas raízes, Δ=0 uma (tangencia o eixo x), Δ<0 nenhuma
• Raízes por Bhaskara; se Δ=0 o ponto de contato é o vértice, no eixo de simetria
• x do vértice = −b/2a, e vale sempre
• Questão do graveto: A(x) = −x² + 50x, xv = 25
• Retângulo de área máxima é o quadrado de lado 25: A máx = 625 cm²

O problema do graveto: de um perímetro fixo à área do retângulo

A aula parte de uma questão modelo. Amarildo brinca com o cachorro, lança um graveto de 1 m de comprimento e, quando o amigo o traz de volta, pensa em quebrá-lo em quatro pedaços para formar um retângulo. A pergunta é qual a área do maior retângulo que ele consegue formar, em centímetros quadrados. Como a resposta é pedida em cm², o professor já converte o graveto para 100 cm.

Os quatro pedaços são os quatro lados do retângulo, de modo que o perímetro tem de ser 100. Chamando de $x$ os dois lados verticais e de $y$ os dois horizontais, vale $2x+2y=100$. Dividindo tudo por 2, obtém-se $x+y=50$, ou seja, $y=50-x$. Com isso, o retângulo passa a depender de uma única incógnita.

O professor chama atenção para a liberdade e a restrição do problema: é possível desenhar infinitos retângulos, mais esticados ou mais próximos de um quadrado, mas a altura e a largura estão amarradas. Aumentar a altura obriga a diminuir a largura, para que o perímetro continue 100.

A área de um retângulo é base vezes altura. Com base $50-x$ e altura $x$, tem-se $A(x)=x(50-x)$. Aplicando a distributiva, $A(x)=-x^2+50x$. É uma função do segundo grau, e o objetivo da questão passa a ser achar o valor máximo dela. Antes de calcular, ele propõe recapitular os conceitos de função quadrática que sustentam a solução.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:56:30)

A função do segundo grau e o que o sinal de a diz sobre a parábola

A função do segundo grau tem a forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$, com $a\mathrm{\ne }0$. A condição é essencial: se $a$ fosse zero, o termo em $x^2$ desapareceria e a função seria do primeiro grau, um objeto matemático diferente.

O coeficiente $a$, que acompanha o $x^2$, define a concavidade da parábola. Com $a>0$, a concavidade é voltada para cima, qualquer que seja a posição da parábola: mais à direita, mais à esquerda, mais alta ou mais baixa. Com $a<0$, a concavidade é voltada para baixo, também em todas as posições possíveis.

Dessa concavidade decorre a existência de máximo ou mínimo. Parábola com concavidade para cima admite um ponto mínimo, o ponto mais baixo. Parábola com concavidade para baixo admite um ponto máximo, o topo do morro. O professor pede que esse fato seja memorizado, pois é a base de toda questão de máximo e mínimo.

No problema do graveto, $A(x)=-x^2+50x$ tem $a=-1$, negativo. A concavidade é para baixo, e por isso a função tem valor máximo, que é exatamente o que a questão procura.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:01:00)

O discriminante: delta e a quantidade de raízes reais

As raízes são os pontos em que a parábola corta o eixo x, e se calculam pela fórmula de Bhaskara: $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, com $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. O delta, chamado discriminante, informa quantas raízes reais a função tem, sem que seja preciso resolver a equação.

Se $\mathrm{\Delta }>0$, há duas raízes reais distintas, uma obtida somando $\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ e outra subtraindo. A parábola corta o eixo x em dois pontos diferentes, tanto com concavidade para cima quanto para baixo. O professor alerta para não confundir: o sinal do delta nada tem a ver com o sinal de $a$, que só decide a concavidade.

Se $\mathrm{\Delta }=0$, somar ou subtrair zero dá o mesmo resultado, e há uma única raiz real (ou duas raízes iguais). Geometricamente, uma raiz é um ponto de contato com o eixo x. Como a parábola não pode atravessar o eixo em um só ponto (ao descer, teria de voltar a cruzá-lo), ela só pode tangenciá-lo, "beijá-lo". O professor afirma que esse conceito já apareceu várias vezes nas provas.

Se $\mathrm{\Delta }<0$, a fórmula exigiria raiz quadrada de número negativo, que não existe nos reais. Não há raízes reais e a parábola nunca toca o eixo x, esteja ela toda acima ou toda abaixo dele. Em resumo: delta positivo, dois pontos; delta zero, um ponto; delta negativo, nenhum.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:04:00)

O x do vértice nasce de Bhaskara quando delta é zero

O professor chega ao ponto central: o vértice. No caso em que $\mathrm{\Delta }=0$, a parábola tangencia o eixo x, e esse ponto de contato é, ao mesmo tempo, a raiz e o vértice (o ponto mínimo, se a concavidade é para cima). Logo, o $x$ do vértice coincide com a raiz.

Pela fórmula de Bhaskara com $\mathrm{\Delta }=0$, a parcela com a raiz some e sobra $x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$. Esse é o $x$ do vértice. Assim, quem sabe Bhaskara não precisa decorar uma fórmula separada: ela é o caso particular em que delta vale zero.

O professor faz questão de esclarecer que a fórmula vale sempre. Ela foi construída a partir do caso $\mathrm{\Delta }=0$ apenas por ser um caminho intuitivo, mas serve para qualquer parábola, tenha ela duas raízes, uma ou nenhuma.

O vértice também define o eixo de simetria: uma reta vertical que passa por ele divide a parábola em dois pedaços idênticos, como um espelho. Toda parábola é simétrica em relação a esse eixo.

Quanto ao $y$ do vértice, ele recusa decorar a fórmula $-\mathrm{\Delta }\mathrm{/}4a$. Conhecido o $x$ do vértice, basta substituí-lo na função e calcular. É a mensagem da aula: conectar conhecimentos em vez de acumular fórmulas.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:10:00)

Resolvendo a questão: área máxima de 625 cm² e o retângulo que é um quadrado

De volta ao graveto, a função é $A(x)=-x^2+50x$, com $a=-1$, concavidade para baixo e, portanto, um valor máximo. O $x$ do vértice é $x_v={\displaystyle \frac{-b}{2a}}={\displaystyle \frac{-50}{2\cdot (-1)}}=25$.

O professor lembra que o enunciado pede a área máxima, não o valor de $x$. Em vez de decorar a fórmula do $y$ do vértice, basta substituir $x=25$ na expressão da área. Usando a forma fatorada, $A=25\cdot (50-25)=25\cdot 25=625$. Pela forma expandida, o resultado é o mesmo. A área máxima é 625 cm², a alternativa E.

O cálculo revela uma propriedade geométrica: com $x=25$, a largura é $50-25=25$ também. O retângulo de maior área com perímetro fixo é, portanto, um quadrado de lado 25 cm. O professor observa que, se o aluno percebesse isso de antemão, bastaria calcular $L^2=25\cdot 25=625$, mas que, sem notar, a substituição de $x=25$ resolve do mesmo jeito.

O fechamento é que, além de recapitular os conceitos fundamentais (concavidade, delta e número de raízes, vértice), a aula mostrou que a fórmula do $x$ do vértice pode ser construída a partir de Bhaskara.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:15:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: vertice da parabola bhaskara

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em função do segundo grau - propriedades

1. 01

   Confundir o sinal de delta com o sinal de a

   Confundir o sinal de delta com o sinal de a: o delta decide quantas raízes existem, o a decide a concavidade.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que a concavidade para baixo muda o efeito do delta

   Achar que a concavidade para baixo muda o efeito do delta: com delta positivo a parábola corta o eixo x em dois pontos, seja a positivo ou negativo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que a fórmula −b/2a só vale quando a parábola toca

   Achar que a fórmula −b/2a só vale quando a parábola toca o eixo x; ela vale para qualquer parábola.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Parar no x do vértice quando a pergunta pede o valor máximo

   Parar no x do vértice quando a pergunta pede o valor máximo da função (a área).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Decorar a fórmula do y do vértice em vez de substituir o x

   Decorar a fórmula do y do vértice em vez de substituir o x do vértice na função.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Função do Segundo Grau - Propriedades no ENEM