Função do Segundo Grau no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 28 minutos: o índice

Como o ENEM cobra função do segundo grau

O professor apresenta o tema como ideia que aparece mesmo em questões que não falam explicitamente de função do segundo grau, aqui disfarçada em um problema de física (força constante, MUV). A pegadinha da questão é o raciocínio da média aritmética, que supõe relação linear. Ele não cita estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Equação do segundo grau e fórmula de Bhaskara
• Gráfico de uma função e leitura de pontos
• Ideia de movimento uniformemente variado (opcional, só para o contexto)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0): a > 0 concavidade para cima, a < 0 para baixo
• Soma e produto: f(x) = x² − Sx + P; exemplos x² − 6x + 8 (raízes 4 e 2) e x² + 2x − 15 (raízes 3 e −5)
• Fatoração f(x) = a(x − r₁)(x − r₂), com a = 1 desenvolvida até x² − Sx + P
• Questão ENEM: força constante (F = m·a, a constante) implica MUV, logo parábola
• S(t) = a·t·(t − 2); S(1) = 20 dá a = −20; S(t) = −20t(t − 2)
• S(3/2) = −30·(−1/2) = 15 m

A questão da posição em t = 1,5 s e o erro da média aritmética

A aula abre com uma questão no modelo ENEM, com um toque de interdisciplinaridade. Um estudante anotou a posição de uma partícula ao longo do tempo, sob a ação de uma força constante, e registrou os dados em uma tabela. Em $t=0$ a partícula está na posição $0$; em $t=1$ s, na posição $20$; em $t=2$ s, de volta à posição $0$. Pergunta-se a posição em $t=1,5$ s.

O raciocínio tentador é perceber que $1,5$ está exatamente no meio do caminho entre $1$ e $2$ e concluir que a posição também está no meio entre $20$ e $0$. A média aritmética dá $10$, e o aluno corre para marcar essa alternativa. O professor diz que esse é o erro em que o aluno cai "deliciosamente": o enunciado foi feito para atrair essa conta.

O erro de fundo é supor, sem dizer, que a relação entre tempo e posição é linear, isto é, que as grandezas são diretamente proporcionais. Para mostrar isso, ele desenha um gráfico de posição por tempo com uma curva qualquer, que sobe depressa entre $t=1$ e $t=2$. O ponto da curva em $t=1,5$ não fica na metade da altura entre os dois pontos conhecidos, ainda que $1,5$ esteja na metade do eixo do tempo.

O ponto médio só vale quando a relação é de reta. Nesse caso, uma semelhança de triângulos garante que a projeção do ponto médio divide o segmento em dois pedaços iguais. Fora disso, não há garantia nenhuma. Antes de calcular, portanto, é preciso descobrir que tipo de relação liga as duas grandezas, e é isso que o enunciado entrega ao mencionar a força constante.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:28:00)

Força constante, MUV e a parábola: por que é função do segundo grau

A pista está na expressão "força constante". Pela segunda lei de Newton, $F=ma$, e como a massa é constante, uma força constante implica aceleração constante. Movimento com aceleração constante é o movimento uniformemente variado (MUV).

No MUV, a posição não depende do tempo de forma linear: ela depende de $t^2$. A relação entre posição e tempo é, portanto, uma função do segundo grau, e seu gráfico é uma parábola. O professor lembra que a questão é de matemática e que não seria necessário decorar a equação horária da física, só reconhecer que a relação é quadrática. É por isso que a média aritmética está errada.

O próximo passo é esboçar a curva com os três pontos dados: $(0,0)$, $(1,20)$ e $(2,0)$. A parábola começa em zero, volta a zero em $t=2$ e, em $t=1$, bem no meio entre esses dois instantes, está no ponto mais alto, a $20$. O esboço não é obrigatório, mas ajuda a visualizar o problema, e $t=1,5$ cai entre o ponto mais alto e a segunda raiz.

Um aluno poderia perguntar como se sabe que a concavidade é para baixo. A resposta é que não existe parábola de concavidade para cima passando por esses três pontos: com dois pontos na altura $0$ e um terceiro acima deles, só uma curva aberta para baixo os conecta. Esse detalhe voltará na conta, no sinal do coeficiente $a$.

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Revisão: forma ax² + bx + c, concavidade e a relação de soma e produto

Uma função do segundo grau tem a forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$ com $a\mathrm{\ne }0$: se $a$ fosse zero, o termo quadrático desapareceria e a função cairia no primeiro grau. O sinal de $a$ define a concavidade: com $a>0$ a parábola abre para cima; com $a<0$, para baixo. A parábola desenhada na questão exige, portanto, um $a$ negativo.

Para achar as raízes, além da fórmula de Bhaskara, existe a relação de soma e produto. Quando $a=1$, a função se escreve como $x^2-Sx+P$, em que $S$ é a soma das raízes e $P$ é o produto. Repare no sinal: o termo que acompanha $x$ é $-S$, e por isso o coeficiente que aparece é a soma com o sinal trocado.

O professor dá dois exemplos. No primeiro, o termo independente é $8$ e a soma é $6$ (a função é $x^2-6x+8$): procuram-se dois números que multiplicados dão $8$ e somados dão $6$, e a resposta, de cabeça, é $4$ e $2$. No segundo, o produto é $-15$ e a soma é $-2$ (a função é $x^2+2x-15$, porque o coeficiente de $x$ é $-S=+2$): os números são $3$ e $-5$, pois $3\cdot (-5)=-15$ e $3+(-5)=-2$.

Ele garante que o resultado bate com o de Bhaskara e que o método economiza tempo, mesmo quem não o conhecia pode adotá-lo. A relação, porém, funciona de cabeça apenas quando as raízes são números inteiros simples.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:36:00)

A forma fatorada f(x) = a(x − r₁)(x − r₂) e por que ela vale

A parte que o professor considera mais interessante é a fatoração. Se $r_1$ e $r_2$ são as raízes de uma função do segundo grau, ela sempre pode ser escrita como $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, em que $a$ é o coeficiente que acompanha $x^2$.

A justificativa é a definição de raiz: valor de $x$ que zera a função. Se se coloca $x=r_1$, o primeiro fator vira $r_1-r_1=0$, e zero multiplicado por qualquer coisa dá zero. Com $x=r_2$, é o segundo fator que se anula, pois $r_2-r_2=0$. Logo, os dois valores são mesmo raízes. Além disso, o número $a$ pode ser qualquer um (3, 5, 10, 20) sem alterar essas raízes, já que quem zera a função são os parênteses.

Como extra, o professor faz a distributiva com $a=1$: $(x-r_1)(x-r_2)=x^2-r_{1}x-r_{2}x+r_1{r}_2$. Colocando $-x$ em evidência nos termos do meio, fica $x^2-(r_1+r_2)x+r_1{r}_2$. É exatamente $x^2-Sx+P$: a soma das raízes e o produto das raízes. Está aí a razão de a relação de soma e produto funcionar.

A conclusão é prática. Quando as duas raízes são conhecidas, a forma fatorada é um jeito muito simples de escrever a função, e sobra descobrir apenas o valor de $a$.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:41:00)

Resolvendo a questão: S(t) = −20·t·(t − 2) e a posição 15 m

Na questão, a posição é $S$ e a variável é $t$. As duas raízes são conhecidas: a posição vale zero em $t=0$ e em $t=2$. A função fica $S(t)=a(t-0)(t-2)=at(t-2)$, com $a$ ainda desconhecido.

Para achar $a$, usa-se o terceiro ponto: em $t=1$, a posição é $20$. Substituindo, $S(1)=a\cdot 1\cdot (1-2)=-a$, e isso vale $20$. Logo, $a=-20$. O sinal negativo é o esperado: a concavidade da parábola é para baixo, como no esboço. A função é $S(t)=-20t(t-2)$.

Agora calcula-se $S(1,5)$. O professor prefere trabalhar com a fração, $t=3\mathrm{/}2$, e, ao fazer a conta, esqueceu o fator $-20$ na lousa e o corrigiu logo depois, dizendo que testava a atenção do aluno. Com ele: $S(3\mathrm{/}2)=-20\cdot \frac{3}{2}\cdot (\frac{3}{2}-2)$. O primeiro produto, $-20\cdot \frac{3}{2}$, dá $-30$; o parêntese vale $-0,5$; e $-30\cdot (-0,5)=15$.

Em $t=1,5$ s, a posição é $15$ m, e a alternativa correta, segundo o professor, é a letra B. O valor está bem acima dos $10$ da média aritmética, o que confirma que a relação não é linear. O professor também avisa que o PDF da aula trazia o gabarito errado e pede a correção.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:48:00)

A vantagem da forma fatorada: uma incógnita em vez de três

Fechando a questão, o professor destaca o ganho de tempo. Escrevendo a função como $a{x}^2+bx+c$, é preciso descobrir três números: $a$, $b$ e $c$. Para isso seriam necessários três dados, e a conta de resolver o sistema que sairia deles é trabalhosa.

Na forma $a(x-r_1)(x-r_2)$ também há, em tese, três números a conhecer: $a$, $r_1$ e $r_2$. A diferença é que a questão já entrega as duas raízes, quando informa os dois instantes em que a posição é zero. Sobra então um único valor a determinar, o $a$, e um único ponto extra basta.

Troca-se, assim, um problema de três incógnitas por um problema de uma. Soma e produto, mais a forma fatorada, formam o que o professor chama de revisão rica, que otimiza a vida do aluno. Vale lembrar que, mesmo sem usar o método, Bhaskara continua funcionando; a forma fatorada é só o caminho mais curto quando as raízes aparecem no enunciado.

▶ Ver este trecho no vídeo (05:54:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: bhaskara vertice da parabola mruv segunda lei de newton produtos notaveis

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em função do segundo grau

1. 01

   Supor relação linear entre tempo e posição e usar a média

   Supor relação linear entre tempo e posição e usar a média aritmética (10 em vez de 15).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Esquecer o coeficiente $a$

   Esquecer o coeficiente $a$ (aqui $-20$) ao substituir na forma fatorada, como o professor fez de propósito na lousa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Errar o sinal na soma das raízes

   Errar o sinal na soma das raízes: no formato $x^2-Sx+P$, o termo que acompanha $x$ é $-S$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Trocar o sinal de $a$ e esboçar a concavidade errada

   Trocar o sinal de $a$ e esboçar a concavidade errada: três pontos com dois deles na altura zero e o terceiro acima exigem concavidade para baixo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Função do Segundo Grau no ENEM