Esta aula em 45 minutos: o índice
Atualizado em set/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. Esta página é o capítulo de Gráficos e Tabelas (Estatística) da aula, em texto, com o minuto de cada passo. Sem resumo de legenda: é a explicação do professor, editada.
| No vídeo | O que acontece |
|---|---|
| 26:24:00 | O que é estatística e por que organizar dados |
| 26:25:00 | Tabela de frequência absoluta |
| 26:27:00 | Frequência relativa em porcentagem |
| 26:30:00 | Frequência acumulada |
| 26:35:00 | Gráfico de colunas e gráfico de setores |
| 26:37:00 | Histograma e faixas de valores |
| 26:42:00 | Moda e amostra bimodal |
| 26:44:00 | Mediana: número ímpar de dados |
| 26:51:00 | Mediana: número par de dados |
| 26:53:00 | Mediana em histograma pela área |
| 26:59:00 | Questão modelo: parafusos da Gertrudes |
| 27:05:00 | Metade dos parafusos: tirar 50 de 25 mm |
Como o ENEM cobra gráficos e tabelas (estatística)
O professor diz que estatística cai com certeza no ENEM, sempre com média, moda, mediana, desvio padrão e análise de gráficos e tabelas, e que historicamente as questões são mais tranquilas. A mediana em histograma, segundo ele, ainda não apareceu na prova até onde ele se lembra. A pegadinha da questão da aula é perceber que a mediana pedida (17,5) não está na tabela e, portanto, é média de dois valores vizinhos.
Antes desta aula, vale ter em dia:
- Regra de três e porcentagem
- Média aritmética de dois números
- Área do retângulo
- Leitura de tabelas e gráficos simples
O mapa mental da aula
O que o mapa destaca:
- Tabela de frequências com colunas absoluta, relativa e acumulada (25 crianças; mediana 10, a 13ª criança)
- Moda = valor mais frequente; exemplos Mo = 4 e amostra bimodal (5 e 8)
- Mediana = valor central: ímpar (81 termos, o 41º) e par (média dos dois centrais, 86 termos: 43º e 44º)
- Histograma com faixas 5 ⊢ 15 a 45 ⊢ 55 e mediana por área: 3x = 5, Me = 25 + 1,666... = 26,666...
- Questão modelo dos parafusos: retirar 50 de 25 mm para a mediana ser 17,5 mm
O material completo da aula, com os exercícios, para imprimir e revisar.
Tabela de frequência: absoluta e relativa
Estatística é o estudo de dados. O professor parte de uma situação concreta: ir a uma escola e perguntar a idade de cada criança. Se os números ficam soltos numa lista, nada fica claro; com 300 valores, ninguém consegue enxergar o que eles representam. A primeira etapa de organização é a tabela de frequência.
A frequência absoluta é o número de vezes que cada valor aparece. No exemplo, 4 crianças têm 8 anos, 8 têm 9 anos, 3 têm 10, 4 têm 11 e 6 têm 12. Só de olhar a coluna já se vê que a idade mais frequente é 9. A soma das frequências absolutas dá o total de entrevistados: 4 + 8 + 3 + 4 + 6 = 25.
Só o número absoluto, porém, não dá a dimensão: 25 alunos de 17 anos é muito numa turma de 30 e pouco numa escola de 1.000. Por isso existe a frequência relativa, que expressa cada valor como porcentagem (ou fração) do total. O total de 25 corresponde a 100%, logo cada criança vale 4%. Assim, 4 crianças são 16% (4 em 25), 8 são 32% (8 em 25), 3 são 12%, 4 são 16% e 6 são 24%.
Com a relativa, a leitura muda: a idade de 9 anos reúne 32% da turma, cerca de um terço, enquanto as idades de 8 e 11 anos reúnem 16%, cerca de um sexto. A soma das frequências relativas é sempre 100%.
Frequência acumulada e como recuperar as outras colunas
A frequência acumulada é o número de pessoas até aquele valor, contando todas as faixas anteriores. No exemplo, até 8 anos há 4 crianças; até 9 anos, 4 + 8 = 12; até 10 anos, 12 + 3 = 15; até 11 anos, 15 + 4 = 19; e até 12 anos, 19 + 6 = 25, que é o total.
O professor chama atenção para um ponto que muita gente desconhece: a acumulada carrega a mesma informação que as outras colunas. Se só houver a coluna acumulada (4, 12, 15, 19, 25), basta subtrair cada valor do anterior para voltar à absoluta: 12 - 4 = 8, 15 - 12 = 3, 19 - 15 = 4 e 25 - 19 = 6.
Por isso, qualquer coluna que a questão forneça permite achar as demais. Com a absoluta, calculam-se a relativa e a acumulada; com a relativa e o total, recupera-se a absoluta; com a acumulada, subtrai-se para chegar à absoluta e, daí, à relativa.
Essa ideia aparece no mapa mental como a tabela completa, com as colunas idade, frequência absoluta, relativa e acumulada, e a linha de total (25 e 100%). Na prova, o mais comum é a questão dar parte da tabela e pedir um valor que exige converter entre as colunas.
Gráfico de colunas, gráfico de setores e histograma
Os mesmos dados podem ser representados de forma mais visual em gráficos. No gráfico de colunas, o eixo horizontal traz as idades e o vertical, a frequência absoluta: cada barra tem a altura da frequência do valor (4, 8, 3, 4 e 6). Basta bater o olho para ver que a coluna mais alta é a de 9 anos, algo que na tabela exige mais atenção. É comum, embora opcional, escrever a frequência relativa (16%, 32%, 12%, 16%, 24%) sobre cada barra.
O gráfico de setores (pizza) representa o total como um círculo, e cada fatia corresponde a um valor, com percentual ou quantidade escritos dentro. A fatia maior, 32%, é a de 9 anos. Existem muitos tipos de gráfico, mas esses dois são os mais comuns, e é possível transformar qualquer um em tabela e vice-versa.
O histograma entra quando os valores variam muito. Perguntar a idade de pessoas de 5 a 55 anos exigiria cerca de 50 colunas; do mesmo modo, salários raramente se repetem. A solução é agrupar os dados em faixas. A notação 5 ⊢ 15 significa que o 5 entra na faixa e o 15 fica de fora (quem tem 15 anos vai para a faixa seguinte).
No exemplo do professor, as faixas 5 ⊢ 15, 15 ⊢ 25, 25 ⊢ 35, 35 ⊢ 45 e 45 ⊢ 55 têm 4, 8, 3, 4 e 6 pessoas. As barras ficam coladas e cobrem o intervalo inteiro, não um valor isolado. Num histograma não dá para saber a idade exata de ninguém: sabe-se apenas a faixa em que a pessoa está.
Moda: o valor mais frequente
As medidas de tendência central são média, moda e mediana. Nesta aula o professor trata das duas mais simples, moda e mediana, e deixa a média para a aula seguinte.
Moda é o valor que mais aparece na lista. Na amostra {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6}, o 4 aparece três vezes, mais que qualquer outro, então Mo = 4. É o conceito mais simples de toda a estatística: basta contar.
Pode acontecer de dois valores empatarem como os mais frequentes. Na amostra {3, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9}, o 5 e o 8 aparecem três vezes cada, e a moda são os dois: Mo = 5 e 8. Esse caso é chamado de amostra bimodal, e a moda é o conjunto dos valores empatados. Com três valores empatados a amostra é trimodal, e assim por diante, embora seja raro.
O professor alerta que moda não é média: a pergunta pelo valor que mais se repete não pede nenhuma conta. Numa tabela de frequências, a moda é simplesmente o valor de maior frequência absoluta, a barra mais alta do gráfico de colunas. A questão final da aula usa exatamente isso: a moda dos comprimentos dos parafusos é 15 mm.
Mediana: o valor central e a posição do termo
A mediana é o valor central, mas só depois de ordenar os dados, em ordem crescente ou decrescente (tanto faz). Há dois casos.
Quando o número de dados é ímpar, existe um termo exatamente no meio. Em {2, 3, 4} a mediana é 3; em {4, 4, 4, 5, 6} é 4. O professor ensina a achar a posição sem fórmula decorada: tira-se o termo central, o que sobra se divide igualmente entre os dois lados, e a posição do central é essa metade mais 1. Com 81 termos, sobram 80 sem o central, 40 de cada lado, então a mediana é o 41º termo. Com 275 termos, sobram 274, 137 de cada lado, e a mediana é o 138º.
Na tabela das 25 crianças, sobram 24, 12 de cada lado, então a mediana é a 13ª criança. Montando a lista, as 4 primeiras têm 8 anos, da 5ª à 12ª têm 9 anos e da 13ª à 15ª têm 10 anos. Logo a 13ª tem 10 anos e a mediana é 10 anos. Saber achar a posição é o que permite resolver o problema quando são 1.000 ou 1.755 dados, em que listar tudo é inviável.
Quando o número de dados é par, não há termo do meio: a mediana é a média dos dois termos centrais. Em {5, 7} a mediana é (5 + 7)/2 = 6. Com 4 termos, tomam-se o 2º e o 3º; com 6, o 3º e o 4º; com 86 termos, 43 de cada lado, tomam-se o 43º e o 44º.
Mediana em histograma: dividir a área ao meio
O professor avisa que este é um caso menos provável de cair e que não lembra de ter visto no ENEM, mas vale a revisão. O erro típico é achar a faixa da 13ª pessoa (aqui, 25 pessoas) e responder o ponto médio da faixa. Esse raciocínio vale para a média, não para a mediana.
No histograma, a mediana é o valor que divide a área do gráfico ao meio. As áreas das barras são base x altura: 10 x 4 = 40, 10 x 8 = 80, 10 x 3 = 30, 10 x 4 = 40 e 10 x 6 = 60. A área total é 40 + 80 + 30 + 40 + 60 = 250, então cada lado da mediana deve ter 125.
As duas primeiras barras acumulam 40 + 80 = 120, que ainda não chega a 125. Faltam 5 unidades de área, que devem ser tiradas da barra seguinte, a da faixa 25 ⊢ 35, de altura 3. Se x é a largura necessária, 3 · x = 5, logo x = 5/3 = 1,666...
A mediana está 1,666... à direita do 25: Me = 25 + 1,666... = 26,666... O valor não é o central da faixa e não precisa ser inteiro.
Questão modelo ENEM: os parafusos da Gertrudes
A questão inédita pergunta quantos parafusos de 25 mm a carpinteira deve retirar do estoque para que a mediana dos comprimentos passe a ser 17,5 mm. A tabela tem 200 parafusos de 10 mm, 300 de 15 mm, 150 de 20 mm, 250 de 25 mm e 150 de 30 mm, num total de 1.050.
Como aquecimento, o professor calcula a mediana atual. Com 1.050 termos (par), tomam-se o 525º e o 526º. Os 500 primeiros são os de 10 mm e 15 mm; do 501º ao 650º estão os de 20 mm. Logo os dois centrais valem 20 e a mediana atual é 20.
O passo-chave está no enunciado: 17,5 não aparece na tabela, então só pode ser a média de dois termos centrais vizinhos, e os únicos vizinhos com média 17,5 são 15 e 20. Portanto o último 15 da lista deve ser o termo central da primeira metade e o primeiro 20 deve abrir a segunda metade.
A primeira metade (10 mm e 15 mm) não muda e tem 500 parafusos, então a segunda metade também precisa ter 500. Ela tem hoje 150 + 250 + 150 = 550. É preciso retirar 50, e a questão pede que sejam do comprimento de 25 mm: 250 - 50 = 200, e 150 + 200 + 150 = 500. A resposta é 50 parafusos (alternativa a). A moda do estoque é 15 mm, que o mapa anota ao lado da tabela.
As fórmulas desta aula
Para converter uma frequência absoluta em porcentagem do total (com n = 25, cada unidade vale 4%).
Para saber quantos dados há até certo valor; subtrair acumuladas consecutivas devolve a frequência absoluta.
Para achar a posição do termo central quando o número de dados é ímpar (81 termos: 41º; 275 termos: 138º).
Quando não há termo central: média dos dois termos do meio (86 termos: o 43º e o 44º).
Em histograma, a mediana divide a área em duas partes iguais, não é o ponto médio da faixa.
Fichas completas: media aritmetica desvio padrao proporcao
As 3 questões resolvidas na aula
Questão 01 · exemplo do professor
Em uma tabela de frequências com 25 crianças (4 com 8 anos, 8 com 9, 3 com 10, 4 com 11 e 6 com 12), qual é a mediana das idades?
- Com 25 dados (ímpar), sobram 24 sem o central, 12 de cada lado: a mediana é a 13ª criança.
- Posições: 1ª a 4ª têm 8 anos; 5ª a 12ª têm 9 anos; 13ª a 15ª têm 10 anos.
- A 13ª criança tem 10 anos.
Armadilha: Pegar o valor do meio da lista de idades (10 por acaso, mas pelo motivo errado) em vez de contar a posição pelas frequências.
Questão 02 · exemplo do professor
Histograma de idades com faixas 5 ⊢ 15, 15 ⊢ 25, 25 ⊢ 35, 35 ⊢ 45 e 45 ⊢ 55 e frequências 4, 8, 3, 4 e 6 (25 pessoas). Qual é a mediana?
- Áreas das barras: 40, 80, 30, 40 e 60; área total 250; metade 125.
- As duas primeiras barras somam 120; faltam 5.
- Na barra de altura 3: 3x = 5, x = 5/3 = 1,666...
- Me = 25 + 1,666... = 26,666...
Armadilha: Tomar o ponto médio da faixa da 13ª pessoa; para a mediana vale a divisão da área ao meio.
Questão 03 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)
Gertrudes, uma carpinteira, fez uma relação quanto ao número de parafusos de cada comprimento ela tem em seu estoque. Os resultados estão na tabela (comprimento em mm: número de parafusos): 10: 200; 15: 300; 20: 150; 25: 250; 30: 150. Quantos parafusos de 25 mm ela precisa gastar para que a mediana dos comprimentos dos parafusos passe a ser 17,5 mm? a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
- Total de 1.050 parafusos (par); mediana atual: média do 525º e do 526º, ambos de 20 mm, logo 20.
- 17,5 não está na tabela, então é a média de 15 e 20: o último 15 e o primeiro 20 devem ser os termos centrais.
- A primeira metade (10 mm e 15 mm) fica com 500 parafusos e não muda, então a segunda deve ter 500.
- A segunda metade tem 150 + 250 + 150 = 550; retirando 50 de 25 mm sobram 200 e o total é 500.
Armadilha: Não notar que 17,5 só pode ser média de 15 e 20, ou retirar parafusos de outro comprimento (o enunciado pede os de 25 mm).
Erros que derrubam nota em gráficos e tabelas (estatística)
- 01
Achar que 25 alunos é muito ou pouco sem olhar o total
Achar que 25 alunos é muito ou pouco sem olhar o total: sem frequência relativa não há comparação.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar. - 02
Em histograma, pegar o valor central da faixa como mediana;
Em histograma, pegar o valor central da faixa como mediana; isso vale para a média, não para a mediana.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar. - 03
Esquecer de ordenar os dados antes de procurar a mediana
Esquecer de ordenar os dados antes de procurar a mediana.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar. - 04
Confundir moda com média
Confundir moda com média ('professor, é a média?').
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar. - 05
Com número par de dados, escolher um único termo em vez
Com número par de dados, escolher um único termo em vez da média dos dois centrais.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
FAQ: Gráficos e Tabelas (Estatística) no ENEM
Qual a diferença entre frequência absoluta, relativa e acumulada?
A absoluta é quantas vezes o valor aparece; a relativa é essa quantidade em porcentagem ou fração do total; a acumulada é a soma das absolutas até aquele valor. Qualquer uma permite recuperar as outras.
O que significa a notação 5 ⊢ 15 no histograma?
A faixa inclui o 5 e exclui o 15. Quem tem 15 anos é contado na faixa seguinte, 15 ⊢ 25.
O que é uma amostra bimodal?
É aquela em que dois valores empatam como os mais frequentes. A moda são os dois valores, como 5 e 8 em {3, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9}.
Como achar a posição da mediana com número ímpar de dados?
Tire o termo central, divida o restante por 2 e some 1. Com 81 termos, é o 41º; com 275, é o 138º.
E se o número de dados for par?
Pega-se a média dos dois termos centrais. Com 86 dados, são o 43º e o 44º; com 1.050, o 525º e o 526º.
Como calcular a mediana em um histograma?
Some as áreas das barras, divida por 2 e ache o ponto onde a área acumulada atinge essa metade, completando com parte da barra seguinte. Não use o ponto médio da faixa.
Por que a mediana de 17,5 exige 15 e 20 como centrais?
Porque 17,5 não está na tabela, então só pode ser a média de dois valores vizinhos, e os únicos com média 17,5 são 15 e 20.
Continue a revisão de Matemática do ENEM
Revisão de Matemática ENEM
A aula inteira, capítulo a capítulo, com o minuto de cada tema.
39. Combinação Simples (Análise Combinatória)
3 questões resolvidas, 37 min.
40. Combinação com Repetição (Análise Combinatória)
4 questões resolvidas, 36 min.
41. Probabilidade
3 questões resolvidas, 33 min.
42. Probabilidade - Aprofundamento
2 questões resolvidas, 48 min.
44. Médias (Estatística)
5 questões resolvidas, 46 min.
45. Medidas de Dispersão (Estatística)
2 questões resolvidas, 50 min.