Combinação completa: a fórmula da escolha com repetição

Q: Qual é a fórmula da combinação completa?

CR = (k+p−1)!/(k!(p−1)!) = C(k+p−1, k).

Q: O que é o método das estrelas e barras?

Uma tradução em que elementos viram estrelas e separações viram barras, reduzindo o problema a uma combinação simples.

Q: Quando usar combinação completa em vez da simples?

Quando a repetição de elementos é permitida.

Q: A ordem importa na combinação completa?

Não: a ordem das escolhas é irrelevante.

Q: Como resolver "soluções inteiras não negativas de x+y+z = 10"?

É CR com k=10 e p=3, dando C(12,10) = 66.

Q: Quantas barras são necessárias no método?

p−1 barras, para criar p compartimentos.

Q: Qual a diferença para o arranjo com repetição?

O arranjo considera a ordem e dá p^k.

Qual é a fórmula da combinação completa?

Para escolher k elementos entre p tipos disponíveis, com repetição permitida e sem importar a ordem:

Combinação completa (com repetição)

C R_{k}^{p} = \frac{(k + p - 1)!}{k! (p - 1)!} = (\binom{k + p - 1}{k})

É uma combinação simples disfarçada — de k elementos entre k+p−1 posições. O método das barras mostra por quê.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Atenção à leitura: k é quanto você escolhe, p é de quantos tipos:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$k$	quantidade de elementos a escolher	natural
$p$	número de tipos disponíveis	natural
$C R_{k}^{p}$	número de escolhas possíveis	natural

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: como chegamos nessa fórmula estranha? Pelo método das estrelas e barras, um dos truques mais bonitos da combinatória — e que vale para muito mais do que este problema.

A ideia é representar a escolha por um desenho. Use uma estrela (★) para cada elemento escolhido e uma barra (|) para separar um tipo do seguinte. Com p tipos, você precisa de $p - 1$ barras para criar p compartimentos.

Escolher 3 sorvetes entre 5 sabores vira, por exemplo, ★★|★||| — que significa dois do sabor 1, um do sabor 2, e nenhum dos outros três. Ou |★|★|★|, que é um de cada dos sabores 2, 3 e 4.

Agora repare no que aconteceu: toda escolha vira um desenho, e todo desenho vira uma escolha. A correspondência é perfeita. E contar desenhos é fácil — basta decidir, entre as $k + p - 1$ posições totais, quais $k$ serão estrelas:

Estrelas e barras · a tradução que resolve

\underset{estrelas}{\underset{⏟}{k}} + \underset{barras}{\underset{⏟}{(p - 1)}} = k + p - 1 posi \overset{¸}{c} \tilde{o} es \Rightarrow C R = (\binom{k + p - 1}{k})

Escolher onde ficam as estrelas determina o desenho inteiro. É uma combinação simples sobre o total de posições.

Esse é o padrão de raciocínio que vale levar: quando um problema de contagem parece difícil, procure uma tradução para outro problema que você já sabe contar. Aqui, a tradução transformou “escolher com repetição” em “posicionar estrelas”, que é combinação simples. Você pode estar pensando: “quando eu uso esta fórmula em vez da combinação simples?” A pergunta que separa as duas é: posso repetir? Combinação simples: escolher 3 pessoas de um grupo de 5 — ninguém pode ser escolhido duas vezes. Dá $C (5, 3) = 10$ . Combinação completa: escolher 3 bolas de sorvete entre 5 sabores — pode repetir. Dá $C R = C (7, 3) = 35$ . O mesmo método resolve outra família de problemas: de quantas formas distribuir k objetos idênticos entre p pessoas? É exatamente a mesma contagem, e a resposta é a mesma fórmula. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando a ordem não importa MAS a repetição é permitida: sabores de sorvete, distribuição de objetos idênticos, soluções inteiras não negativas de equações do tipo $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{p} = k$ .

Esse último caso é o disfarce mais comum em prova: “quantas soluções inteiras não negativas tem $x + y + z = 10$ ?” A resposta é $C R_{10}^{3} = C (12, 10) = 66$ .

Não confunda com arranjo com repetição. Aqui a ORDEM NÃO IMPORTA — escolher chocolate, morango, chocolate é a mesma casquinha que chocolate, chocolate, morango.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: sem repetição seriam apenas C(5,3) = 10 combinações. Permitir repetição tem que aumentar bastante esse número — algo em torno de três a quatro vezes mais:

🪖 IntermediárioA casquinha de três bolas

Uma sorveteria tem 5 sabores. Quantas casquinhas diferentes de 3 bolas é possível montar, podendo repetir sabores e sem importar a ordem das bolas?

$k = 3$ bolas a escolher, $p = 5$ sabores disponíveis.
Estrelas e barras: 3 estrelas e $5 - 1 = 4$ barras, num total de 7 posições.
$C R_{3}^{5} = \frac{(3 + 5 - 1)!}{3! (5 - 1)!} = \frac{7!}{3! 4!}$ .
$= \frac{5040}{6 \cdot 24} = 35$ .

35

casquinhas diferentes

Verificação: bateu com a previsão — 35 é 3,5 vezes as 10 combinações sem repetição. E confere com a leitura das barras: $(\binom{7}{3}) = 35$ ✓. Uma verificação exaustiva por enumeração dos multiconjuntos de tamanho 3 sobre 5 tipos também dá exatamente 35. E com 4 bolas? Seria $(\binom{8}{4}) = 70$ — o dobro, porque cada bola a mais amplia muito o leque.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar combinação simples quando há repetição
$C (5, 3) = 10$ conta só as casquinhas com três sabores distintos. Permitindo repetição, são 35.
Como evitar: pergunte se um elemento pode ser escolhido mais de uma vez.
02
Confundir k com p na fórmula
k é quanto você escolhe; p é quantos tipos existem. Trocá-los muda completamente o resultado.
Como evitar: escreva os dois valores separadamente antes de substituir.
03
Achar que a ordem importa
Na combinação completa a ordem é irrelevante. Se a ordem importasse, seria arranjo com repetição, que dá $p^{k}$ .
Como evitar: pergunte se trocar a ordem produz um resultado diferente. Numa casquinha, não produz.

FAQ: perguntas sobre a combinação completa

Qual é a fórmula da combinação completa?

$C R_{k}^{p} = \frac{(k + p - 1)!}{k! (p - 1)!} = (\binom{k + p - 1}{k})$ , onde k é a quantidade escolhida e p o número de tipos.

O que é o método das estrelas e barras?

Uma tradução do problema: cada elemento escolhido vira uma estrela e cada separação entre tipos vira uma barra. Contar os desenhos possíveis é uma combinação simples.

Quando usar combinação completa em vez da simples?

Quando a repetição é permitida. A simples proíbe repetir elementos; a completa permite.

A ordem importa na combinação completa?

Não. Escolher chocolate, morango, chocolate é a mesma coisa que chocolate, chocolate, morango. Se a ordem importasse, seria arranjo com repetição.

Quantas casquinhas de 3 bolas com 5 sabores existem?

35, contra apenas 10 se não fosse permitido repetir sabores.

Como resolver "soluções inteiras não negativas de x+y+z = 10"?

É o mesmo problema: $C R_{10}^{3} = (\binom{12}{10}) = 66$ . Distribuir 10 unidades entre 3 variáveis é escolher 10 elementos entre 3 tipos.

Quantas barras são necessárias no método?

Sempre $p - 1$ , uma a menos que o número de tipos, porque é isso que cria p compartimentos.

Qual a diferença para o arranjo com repetição?

O arranjo com repetição considera a ordem e dá $p^{k}$ . A combinação completa ignora a ordem e dá um número bem menor.

Cursos

Física

Matemática

Fórmulas

Combinação completa: escolher com repetição

Qual é a fórmula da combinação completa?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar combinação simples quando há repetição

Confundir k com p na fórmula

Achar que a ordem importa

FAQ: perguntas sobre a combinação completa

Continue no Guia de Fórmulas

Guia de Fórmulas Explicadas

Combinação simples

Permutação com repetição

Princípio da contagem

Fórmulas de Matemática