Funções na FUVEST: o que cai e como resolver

Esta aula em 95 minutos: o índice

Soma de módulos: o módulo como distância e o primeiro mínimo

A primeira questão pede o valor mínimo de $f(x)=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }$, escrita no enunciado como o somatório ${\sum }_{k=1}^5\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }$. O professor lembra que, ao ver um somatório, o primeiro passo é abrir: trocar $k$ por $1,2,\dots ,5$ e escrever a soma por extenso.

A chave é a interpretação geométrica do módulo: $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ é a distância entre o número $x$ e o número $a$. O próprio $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ é $\mathrm{\mid }x-0\mathrm{\mid }$, a distância até a origem; por isso $\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }$ e $\mathrm{\mid }-3\mathrm{\mid }$ valem $3$, já que os dois estão a três unidades do zero. Na reta real, $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ vale $3$ tanto para $x=5$ quanto para $x=-1$, pois os dois pontos estão a três unidades do $2$. Distância nunca é negativa (deslocamento pode ter sinal, distância não), e é por isso que o módulo nunca é negativo. Assim, o menor valor de $g(x)=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ é zero, atingido em $x=2$: o número que está a distância zero do $2$ é o próprio $2$.

Com essa leitura, $f(x)$ é a soma das distâncias de $x$ até os pontos $1,2,3,4$ e $5$. Máximo não existe: quanto mais $x$ se afasta (um milhão, dois milhões, ...), maior a soma. Para o mínimo, a intuição é ficar no meio do caminho, em $x=3$, o ponto central dos cinco. Substituindo: $2+1+0+1+2=6$. O professor chegou a $x=3$ de cabeça e propôs justificar com o desenho, porque quem enxerga a distância resolve geometricamente, sem abrir cada módulo em casos.

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Gráfico de |x-2|, simetria e a definição de módulo por partes

Para visualizar a função, o professor desenha $g(x)=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ usando apenas a ideia de distância. Em $x=2$ a distância é zero, então $y=0$ nesse ponto, e nada fica abaixo do eixo $x$, porque distância não é negativa. Andando para a direita, a distância cresce; para a esquerda, também. Pontos simétricos em relação ao $2$, como $-1$ e $5$, ficam à mesma distância (três unidades) e dão o mesmo valor de $y$: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical $x=2$. O professor chama a função de "quase par" (é par em relação a essa reta, não ao eixo $y$), e diz que o conceito será reaproveitado em outra questão.

Para quem prefere o caminho algébrico, vale a definição: se o número dentro do módulo é positivo ou zero, o módulo é o próprio número; se é negativo, troca-se o sinal (multiplica-se por $-1$). Logo $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=x-2$ para $x\ge 2$ e $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=-x+2$ para $x<2$. Cada pedaço é uma reta: $y=x-2$, crescente, que cortaria o eixo $y$ em $-2$, mas só vale à direita do $2$; e $y=-x+2$, decrescente, passando por $2$ no eixo $y$, válida só à esquerda. As duas se encontram em $x=2$ e formam um V.

Para a soma de cinco módulos, esse caminho exige dividir a reta em vários pedaços (um para cada ponto de quebra), montar um quadro de sinais e escrever a expressão de cada região. O professor considera que isso não vale a pena e que quem não tem a visão geométrica gasta muito mais tempo e erra mais. Por isso a leitura por distância e o método do barbante.

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Método do barbante: onde a soma de distâncias é mínima

Imagine estacas fixadas em $1,2,3,4$ e $5$ na reta e um barbante infinito amarrado em cada uma, todos presos a uma pessoa na posição $x$. O comprimento do barbante da estaca $k$ é $\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }$, e $f(x)$ é o comprimento total desenrolado. Com $x=8$, por exemplo, o barbante da estaca $5$ mede $3$ e o da estaca $4$ mede $4$.

Fora do intervalo das estacas, andar para longe aumenta todos os barbantes: por isso não há máximo. No meio, é preciso comparar. A partir de $x=3$, andar um pouco para a esquerda diminui os barbantes das estacas $1$ e $2$, mas aumenta os das estacas $3$, $4$ e $5$. Como as estacas são simétricas em torno do $3$, dois que diminuem cancelam dois que aumentam, e sobra um barbante crescendo. Assim, o ponto $x=3$, exatamente o central, é onde a soma é mínima e $f(3)=6$. O formato do gráfico sai da mesma contagem: à direita do $5$, todos os cinco crescem (inclinação $5$); entre $4$ e $5$, quatro crescem e um diminui (inclinação $3$); entre $3$ e $4$, inclinação $1$; e o lado esquerdo é o espelho. A função é decrescente até $x=3$ e crescente depois.

O professor testa a ideia retirando o último termo: a função $G(x)=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$, com estacas em $1,2,3,4$ (a legenda diz "o somatório até quatro"). O ponto de simetria passa a ser $x=2,5$, no meio entre as estacas $2$ e $3$. Em qualquer ponto entre $2$ e $3$, andar um pouco para um lado diminui um barbante e aumenta o simétrico, então a variação é zero e a função é constante. Em $x=2$: $1+0+1+2=4$. Em $x=3$: $2+1+0+1=4$. O mínimo é $4$, atingido em todo o intervalo $[2,3]$ (um degrau de mínimo, e não um único ponto). O professor comenta que nunca viu essa variação em prova e sugere questões desse tipo para o simulado.

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Módulo no expoente: inverter a base e construir o gráfico por camadas

A segunda questão pergunta em que intervalo a função é crescente. Reconstruída da fala, a função é $f(x)=\mid 2^{-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}-\frac{1}{2}\mid$: tem módulo no expoente, um sinal de menos e um módulo por fora. O professor diz que a escolheu justamente porque o módulo, a essa altura, já não assusta.

Primeiro passo: eliminar o sinal negativo do expoente. Como $2^{-u}={\left(\frac{1}{2}\right)}^u$ para qualquer $u$ (o menos inverte a base, seja $u$ um número ou um módulo), a função vira $\mid {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}-\frac{1}{2}\mid$. O professor aconselha deixar o módulo sempre positivo e inverter a base, em vez de lidar com um módulo negativo, e diz que isso já resolve a maior parte da dificuldade.

Segundo passo: construir o gráfico por camadas. Começa-se com $y=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$. O módulo não altera $x$ positivo, então para $x\ge 0$ o gráfico é o de $2^x$; para $x<0$ ele é a reflexão da parte direita no eixo vertical, porque $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ é uma função par. Em $x=0$ vale $2^0=1$ e cresce para os dois lados. A dica geral é que, com módulo no expoente, basta trabalhar com metade do gráfico e refletir.

Agora a base $\frac{1}{2}$. A exponencial ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ é decrescente (base entre $0$ e $1$); com o módulo, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$ vale $1$ em $x=0$ e decai para os dois lados, aproximando-se de zero (assíntota no eixo $x$), formando um morro com pico em $(0,1)$. Por fim, $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$ é a distância até o $1$, então o gráfico se desloca uma unidade para a direita: o pico fica em $(1,1)$ e a simetria passa a ser em torno de $x=1$. Conferência: em $x=0$ o valor é ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$.

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Subtrair 1/2 e módulo por fora: refletir o que está abaixo do eixo

Subtrair $\frac{1}{2}$ desloca tudo meia unidade para baixo. O pico passa a $(1,\frac{1}{2})$ e a assíntota deixa de ser $y=0$ e passa a ser $y=-\frac{1}{2}$. A curva continua dentro de uma faixa de altura de uma unidade, agora entre $-\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$. As raízes saem de ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}=\frac{1}{2}$, isto é, $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1$, logo $x=0$ e $x=2$. Em $x=0$ o valor é zero: a curva passa pela origem.

Resta o módulo de fora. Regra geral, válida para qualquer função: onde o valor é positivo ou zero, o módulo não muda nada; onde é negativo, troca o sinal, o que no gráfico equivale a refletir o trecho que está abaixo do eixo $x$ para cima ($-3$ vira $3$, $-10$ vira $10$, $-1$ milhão vira $1$ milhão). O professor ilustra com $y=x^2-4$: em $x=\pm 3$ vale $5$ e o módulo mantém $5$; em $x=1$ vale $-3$, e o módulo dá $3$. A parte da parábola entre as raízes $-2$ e $2$, que ficava embaixo, é refletida e vira um "morrinho"; o trecho antigo abaixo do eixo deixa de existir.

Na função da questão, o trecho com $x<0$ (onde a curva ia de $-\frac{1}{2}$ até $0$) e o trecho com $x>2$ (também abaixo do eixo) são refletidos para cima. A leitura final: a função decresce para $x<0$, cresce de $0$ a $1$ (até o pico $\frac{1}{2}$), decresce de $1$ a $2$ (até zero) e volta a crescer para $x>2$, aproximando-se de $\frac{1}{2}$ por baixo. Resposta: crescente em $0<x<1$ e em $x>2$.

O professor deixa um alerta: se aparecer outro módulo por fora, nada muda, pois o resultado já é sempre não negativo. Pode colocar 30 módulos que a função é a mesma.

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Transformações de gráfico: o papel de a, b, c e d em a + b·f(cx + d)

A terceira questão trata de transformações de gráficos. O professor lembra que a FUVEST cobrou o tema de forma totalmente conceitual (e literal) em simulado: dava uma função $f$ e escrevia $g(x)=a+bf(cx+d)$, e as alternativas diziam coisas como "a função subiu $a$ unidades" ou "foi esticada verticalmente". Para a aula ele faz a versão numérica, pois acha que, quanto mais conceitual a questão, mais difícil ela é.

O papel de cada letra, tomando como referência o seno: $a$ (soma fora da função) desloca na vertical, para cima se positivo e para baixo se negativo. $b$ (multiplica fora) estica ou comprime na vertical: com $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }>1$ estica, com $0<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1$ comprime, e $b$ negativo reflete o gráfico em relação ao eixo horizontal; no seno, passa-se de valores entre $-1$ e $1$ para valores entre $-b$ e $b$. $c$ (multiplica dentro) estica ou comprime na horizontal; em ondas, equivale à frequência angular $\omega$, e aumentá-la comprime o gráfico. $d$ (soma dentro) desloca na horizontal.

A regra de bolso do professor: o que acontece fora da função é intuitivo (soma desloca, multiplicação estica); o que acontece dentro é contraintuitivo. Um $c$ positivo maior que $1$ comprime, em vez de esticar, e um $d$ positivo desloca para a esquerda, em vez de direita.

Exemplo de reflexão: multiplicar $f(x)=x^2-4$ por $-1$ dá $-x^2+4$, a parábola de concavidade para baixo e máximo $4$. O que estava para cima vai para baixo e vice-versa, espelhado no eixo horizontal. Esse raciocínio mostra que, com $b=-1$, o gráfico apenas inverte, sem esticar nem comprimir.

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Achando a, b, c e d: distância entre raízes, igualdade de polinômios e o deslocamento d/c

Os dados: $f(x)=x^2-4$, $g(x)=a+bf(cx+d)$, a informação de que "os pontos de $g$ vindos das raízes de $f$ distam duas unidades" e a lei $g(x)=-4x^2+24x-31$. Pede-se $a,b,c$ e $d$.

Primeiro o $c$, pelo raciocínio geométrico: as raízes de $f$ ($x=\pm 2$) distavam $4$, e os pontos correspondentes em $g$ distam $2$. A distância horizontal foi dividida por $2$, logo $c=2$. Sem essa informação, a igualdade de polinômios deixaria incógnitas demais.

Depois, $g(x)=a+b[(2x+d{)}^2-4]=4b{x}^2+4bdx+(a+b{d}^2-4b)$. Igualando os coeficientes a $-4x^2+24x-31$: $4b=-4$, logo $b=-1$; $4bd=24$, logo $d=-6$; e $a-36+4=-31$, logo $a=1$. Resposta: $a=1$, $b=-1$, $c=2$, $d=-6$. O gráfico sobe uma unidade, é refletido em relação ao eixo horizontal sem esticar e é comprimido pela metade na horizontal (dobra a frequência).

O passo em que o aluno toma o tombo é perguntar quantas unidades o gráfico se deslocou na horizontal. Quem vê $d=-6$ responde "6 para a direita" (ou, pior, "6 para a esquerda"). Mas o deslocamento só aparece quando o $c$ é posto em evidência: $cx+d=c(x+\frac{d}{c})$, ou seja, deslocamento $-\frac{d}{c}$. Aqui, $2x-6=2(x-3)$: são $3$ unidades para a direita. Conferência: o argumento vale $0$ em $x=3$. O professor reforça com a raiz quadrada: $\sqrt{x-1}$ começa em $x=1$, e para o argumento valer $3$ é preciso $x=4$. Ele fecha lembrando que o bloco cobre todas as transformações: translação vertical e horizontal, dilatação e compressão vertical e horizontal, e reflexão.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:15:00)

Função composta com inversa: h(x) = g(f⁻¹(x)) com exponenciais

A quarta questão trabalha função inversa. Reconstruída da fala: $f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$, $g(x)=e^x$ e $h(x)=g(f^{-1}(x))$; pede-se $h\left(\frac{1}{2}\right)$. O professor simplificou o enunciado original (que pedia a lei de $h$) para pedir apenas o valor.

O que é a inversa: a função que desfaz o que $f$ fez, e desfazer costuma dar mais trabalho que fazer. A técnica é trocar $x$ por $y$ e isolar o novo $y$. Exemplo simples: $y=2x+1$ vira $x=2y+1$, de onde $f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-1}{2}}$. Conferência: $x=3$ dá $7$ em $f$, e $x=7$ dá $3$ em $f^{-1}$.

Aplicando a $f$: troca-se por $x={\displaystyle \frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}}$. Multiplicando numerador e denominador por $e^y$ (o professor recomenda tirar o expoente negativo assim), obtém-se $x={\displaystyle \frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}}$. Multiplicando em cruz: $x{e}^{2y}+x=e^{2y}-1$; juntando os termos com $y$: $e^{2y}(1-x)=1+x$; logo $e^{2y}={\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$ e, como $e^y>0$, $e^y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}}$.

O professor nota que não é necessário isolar $y$ com logaritmo (que daria $f^{-1}(x)=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$), porque $g(x)=e^x$ já "desfaz" o logaritmo: $g(f^{-1}(x))=e^{f^{-1}(x)}$, e $e^y$ com $y=f^{-1}(x)$ é exatamente a expressão encontrada. Portanto $h(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}}$ e $h\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{3\mathrm{/}2}{1\mathrm{/}2}}}=\sqrt{3}$. Ele insiste também em um ponto conceitual: $f$ de qualquer coisa é a regra aplicada a essa coisa (a $f(\mathrm{△})=2\mathrm{△}+1$ do exemplo), não só ao $x$. Aplicar logaritmo seria "dar um nó para ter que desatar o nó".

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As fórmulas desta aula

Fichas completas: potencias de mesma base produtos notaveis radiciacao vertice da parabola

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · FUVEST? (ano não citado; professor associa o tema ao simulado)

Questão 02 · variação do professor (não é de prova conhecida)

Questão 03 · FUVEST? (ano não citado; a lei da função foi reconstruída da fala)

Questão 04 · FUVEST (simulado oficial?) — versão numérica adaptada pelo professor

Questão 05 · FUVEST? (ano não citado; lei de f reconstruída da fala)

Erros que derrubam nota em funções

1. 01

   Abrir cada módulo em casos e montar quadro de sinais em soma

   Abrir cada módulo em casos e montar quadro de sinais em soma de vários módulos, em vez de usar a interpretação de distância.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar um único ponto de mínimo quando o número de estacas é

   Achar um único ponto de mínimo quando o número de estacas é par: o mínimo é constante entre as duas centrais.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Deixar módulo negativo no expoente em vez de inverter a base

   Deixar módulo negativo no expoente em vez de inverter a base.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer o módulo por fora ao ler o crescimento

   Esquecer o módulo por fora ao ler o crescimento: o trecho abaixo do eixo é refletido e inverte o sentido.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Achar que um módulo extra por fora altera a função; módulo

   Achar que um módulo extra por fora altera a função; módulo de módulo é o mesmo módulo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Inverter a regra do que acontece dentro da função

   Inverter a regra do que acontece dentro da função: c maior que 1 comprime e d positivo desloca para a esquerda.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Dizer que o deslocamento horizontal de f

   Dizer que o deslocamento horizontal de f(cx+d) é d; o correto é -d/c.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
8. 08

   Achar que f

   Achar que f(x) = regra só vale para a letra x: f de qualquer coisa aplica a mesma regra a essa coisa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
9. 09

   Isolar o logaritmo da inversa quando a composição com

   Isolar o logaritmo da inversa quando a composição com a exponencial já desfaz o passo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
10. 10

    Tentar achar a, b, c e d só por igualdade de polinômios, sem

    Tentar achar a, b, c e d só por igualdade de polinômios, sem usar a informação geométrica que dá o fator c.

    Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Funções na FUVEST