Geometria Analítica na FUVEST: o que cai e como resolver

Esta aula em 100 minutos: o índice

Sistema de coordenadas oblíquo: o ponto é absoluto, as coordenadas dependem do sistema

A primeira questão do capítulo, que o professor chama de aquecimento, usa um sistema de coordenadas cujos eixos $x$ e $y$ não são perpendiculares: eles formam um ângulo $\theta$. O padrão é o mesmo do plano cartesiano comum. Para representar um ponto, informam-se duas coordenadas, e cada uma é medida caminhando paralelamente ao outro eixo: a coordenada $x$ vem de uma paralela ao eixo $y$, e a coordenada $y$ vem de uma paralela ao eixo $x$.

O professor explica que o ângulo de $90^{\circ }$ é adotado apenas por simplicidade. O objetivo de um sistema de coordenadas é localizar um ponto, e qualquer sistema que faça isso com duas informações é válido. Como curiosidade, cita as coordenadas polares: em vez de $(x,y)$, dá-se a distância $r$ até a origem e o ângulo $\theta$; por exemplo, $r=3$ e $60^{\circ }$ localizam um ponto, e $r=3$ e $180^{\circ }$ localizam outro.

Uma distinção central: o ponto é algo absoluto, mas as suas coordenadas dependem do sistema escolhido. O mesmo ponto $B$ pode ser $(0,1)$ no sistema oblíquo $xy$ e ter outros valores no sistema cartesiano $x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}$. O professor faz a analogia com a física: o movimento de um carro é um só, mas referenciais diferentes enxergam velocidades diferentes e escrevem equações diferentes. Ele comenta que muita gente trava justamente por confundir o ponto com as suas coordenadas.

O enunciado da primeira parte dá $A=(1,0)$ e $B=(0,1)$ nesse sistema e informa que a distância entre eles é $\sqrt{3}$. Se o sistema fosse perpendicular, a distância seria $\sqrt{2}$, a diagonal de um quadrado de lado $1$. O valor maior, $\sqrt{3}$, indica que o eixo $y$ está inclinado de modo a afastar os pontos, e a tarefa é descobrir o ângulo (na verdade, o seu cosseno).

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Distância entre dois pontos no sistema oblíquo: Pitágoras dá lugar à lei dos cossenos

Para chegar à fórmula, o professor primeiro recorda de onde vem a distância no plano cartesiano. Com dois pontos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$, a paralela horizontal e a vertical formam um triângulo retângulo de catetos $\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }y$, e Pitágoras dá $d=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$. Ele insiste que isso não é uma verdade absoluta: vale apenas se os eixos forem perpendiculares. É essa a grande vantagem de adotar eixos perpendiculares.

No sistema oblíquo, desenha-se o mesmo esquema. O $\mathrm{\Delta }x$ é transportado paralelamente ao eixo $x$ e o $\mathrm{\Delta }y$ paralelamente ao eixo $y$, o que forma um paralelogramo em vez de um retângulo. O triângulo que contém a distância procurada tem os lados $\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }y$ e o ângulo entre eles igual a $180^{\circ }-\theta$ (o ângulo externo do triângulo é $\theta$, igual ao ângulo entre os eixos). Como o triângulo já não é retângulo, usa-se a lei dos cossenos:

$d^2=\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2-2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\cos (180^{\circ }-\theta )$.

Como $\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$, a fórmula final fica $d^2=\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2+2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\cos \theta$. O professor sugere, na dúvida, desenhar o ciclo ou abrir $\cos (180^{\circ }-\theta )$ pela fórmula do cosseno da diferença.

Ele observa que o único ângulo que zera o termo extra é $90^{\circ }$, pois $\cos 90^{\circ }=0$, e a fórmula volta a ser a de Pitágoras. Os dois sistemas são igualmente válidos; o perpendicular é apenas mais simples.

Um cuidado importante: com o termo $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$ presente, a ordem da subtração importa. Trocar o sinal de apenas um dos deltas muda o resultado. O correto é manter a mesma ordem nos dois, de $A$ para $B$ ou de $B$ para $A$, como no cálculo do coeficiente angular.

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Aplicando a fórmula: cos θ = -1/2 e a distância entre C e D

Com a fórmula pronta, o professor volta à questão. Para $A(1,0)$ e $B(0,1)$, a ordem de $A$ para $B$ dá $\mathrm{\Delta }x=-1$ e $\mathrm{\Delta }y=1$ (ou $\mathrm{\Delta }x=1$ e $\mathrm{\Delta }y=-1$, se invertida a ordem dos dois). O produto $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$ vale $-1$ de qualquer modo. A distância é $\sqrt{3}$, então:

$3=1+1+2(-1)\cos \theta$, ou seja, $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

O ângulo entre os eixos seria $120^{\circ }$, mas o professor lembra que o ângulo em si é dispensável: o que a fórmula de distância pede é o cosseno. Ele comenta que o desenho que fez não está condizente com $120^{\circ }$, e que isso não prejudica a resolução.

A segunda parte pede a distância entre dois outros pontos, $C$ e $D$, no mesmo sistema. Os pontos são $D(-1,3)$ e $C(2,1)$, segundo a leitura mais coerente da legenda; o resultado final confirma essa leitura. Mantendo a ordem de $D$ para $C$: $\mathrm{\Delta }x=3$ e $\mathrm{\Delta }y=-2$. Então:

$d^2=3^2+(-2{)}^2+2\cdot 3\cdot (-2)\cdot (-\frac{1}{2})=9+4+6=19$.

A distância vale $\sqrt{19}$.

O professor comenta ainda que a distância independe do sistema de coordenadas: a posição dos pontos é absoluta e só as coordenadas mudam. Em qualquer sistema bem calculado, o resultado seria $\sqrt{19}$. Um caminho alternativo, que ele considera infinitamente mais trabalhoso, seria converter as coordenadas para o sistema cartesiano usando o ângulo de $120^{\circ }$ e aplicar Pitágoras.

Ele avalia que a dificuldade da questão está na abstração: perceber que as coordenadas pertencem a um sistema não perpendicular e entender que a fórmula da distância vem de Pitágoras, que deixa de valer e dá lugar à lei dos cossenos.

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Segunda questão: reconhecer a circunferência e completar quadrados

A segunda questão tem contexto de jardim circular em um sistema cartesiano comum, e a circunferência $\lambda$ é dada por uma equação com os produtos notáveis abertos: $x^2-6x+y^2+2y+5=0$ (leitura dos coeficientes feita a partir do que o professor escreve e do resultado final). Existe uma parede representada por uma reta $S$, e o enunciado pede a reta $T$ (um caminho) que seja perpendicular a $S$, tangente à circunferência e que não passe pela origem. A reta $S$ aparece na forma $x-2y+4=0$, que o professor reescreve como $y=\frac{x}{2}+2$.

O professor lembra que, numa live da véspera da prova do ano anterior, uma questão quase igual (achar o centro de uma circunferência dada na forma geral) foi tachada pelo chat como assunto de prova militar. Ele defende que a mudança da FUVEST tem justamente o efeito de punir quem se acha livre de estudar certos assuntos.

O primeiro passo é completar quadrados, desfazendo os produtos notáveis para chegar à forma reduzida $(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=R^2$. Para o termo em $x$: o coeficiente $-6$ é $-2\cdot 3\cdot x$, então soma-se e subtrai-se $9$ para formar $(x-3{)}^2$. Para o termo em $y$: o coeficiente $2$ é $2\cdot 1\cdot y$, então soma-se e subtrai-se $1$ para formar $(y+1{)}^2$. A conta fica $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2-9-1+5=0$, isto é:

$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=5$.

Daí saem o centro $C(3,-1)$ e o raio $R=\sqrt{5}$. O professor alerta para o sinal: o centro tem $y_C=-1$, porque a forma reduzida traz $y-y_C$. Ele faz um esboço aproximado do centro e do raio (pouco maior que $2$) apenas para ter noção da figura.

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Reta perpendicular e tangente: o método da força bruta com o discriminante

Reescrita, a reta é $y=\frac{x}{2}+2$, com coeficiente angular $\frac{1}{2}$. Duas retas perpendiculares têm produto dos coeficientes angulares igual a $-1$, então a reta $T$ tem coeficiente angular $-2$ e equação $y=-2x+k$, sendo $k$ o coeficiente linear (onde corta o eixo $y$). Existem infinitas retas com esse coeficiente angular; a que também tangencia a circunferência dá duas possibilidades, uma de cada lado. Pelo esboço, o professor desconfia de que uma delas passa pela origem, e é por isso que o enunciado exige que o caminho não passe por ela.

O primeiro caminho, que ele chama de força bruta (e o que o "aluno médio" faria), é substituir a equação da reta na da circunferência para achar a interseção. Substituindo $y=-2x+k$ em $x^2+y^2-6x+2y+5=0$ e arrumando, obtém-se uma equação do segundo grau em $x$:

$5x^2-(10+4k)x+(k^2+2k+5)=0$.

Uma reta pode ter dois pontos, nenhum ou um ponto em comum com a circunferência, o que corresponde a $\mathrm{\Delta }>0$, $\mathrm{\Delta }<0$ ou $\mathrm{\Delta }=0$. A tangência exige um único ponto, logo $\mathrm{\Delta }=0$. Não se resolve a equação em $x$; impõe-se a condição para achar $k$:

$(4k+10{)}^2-4\cdot 5(k^2+2k+5)=0$, que se simplifica em $-4k^2+40k=0$, ou seja, $-4k(k-10)=0$.

Os valores são $k=0$ ou $k=10$. O professor destaca que obter dois valores de $k$ era esperado: existem duas retas tangentes com esse coeficiente angular. Com $k=0$ a reta passa pela origem, que o enunciado exclui. A reta pedida é $y=-2x+10$. Ele reconhece que o método é trabalhoso, mas sempre funciona para qualquer tangência.

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A sacada do raio e o caminho alternativo com distância de ponto a reta

O segundo caminho que o professor mostra é mais elegante e dispensa a conta do discriminante. Como a reta é tangente, o raio que chega ao ponto de tangência é perpendicular a $T$. Se $T$ é perpendicular a $S$, o raio tem a direção de $S$ (é paralelo a ela). Basta então caminhar do centro $C(3,-1)$ a distância do raio, $\sqrt{5}$, na direção de $S$.

O coeficiente angular de $S$ é $\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, então andar $2$ unidades em $x$ e $1$ em $y$ percorre exatamente $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$ sobre a direção de $S$. Do centro, o ponto de tangência é $(3+2,-1+1)=(5,0)$. Caminhando no sentido oposto ($-2$ em $x$ e $-1$ em $y$) chega-se ao outro ponto de tangência, $(1,-2)$, que corresponde à reta que passa pela origem. Com o ponto $(5,0)$ na reta $y=-2x+k$: $0=-10+k$, logo $k=10$ e $y=-2x+10$.

O professor comenta que a sacada substitui toda a conta anterior, que pode ser feita de cabeça em poucos passos, e que muita gente não pensaria nisso.

Ele apresenta ainda uma terceira via, que considera pesada para a FUVEST, mas a faz para completar o quadro: a distância de ponto a reta. Escrevendo $T$ na forma geral $2x+y-k=0$, a distância do centro $(3,-1)$ à reta deve ser igual ao raio $\sqrt{5}$:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 3+1\cdot (-1)-k\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+1^2}}}=\sqrt{5}\Rightarrow \mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }=5$.

Os números a cinco unidades de distância do $5$ são $0$ e $10$, os mesmos valores achados pelo discriminante. O professor lembra que esse conteúdo costuma ficar na trilha militar e que ele próprio o considera um pouco "aloprado" para a FUVEST.

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Terceira questão: o câmera, a perpendicularidade e a circunferência de diâmetro AB

A terceira questão tem como contexto um câmera filmando uma cena de ação em um trilho. Há dois pontos, $A(-5,0)$ e $B(5,0)$, e o trilho está sobre a reta $y=x+1$ (a reta é inferida do desenvolvimento do professor). O câmera deve filmar de um ponto $P$ do trilho tal que $PA$ seja perpendicular a $PB$. Existem dois pontos assim, e pergunta-se a distância entre eles.

Pela geometria plana, o professor mostra que o problema tem uma leitura imediata: todo ângulo reto está inscrito em uma semicircunferência de diâmetro igual à hipotenusa. Logo, qualquer ponto $P$ sobre a circunferência de diâmetro $AB$ forma com $A$ e $B$ um triângulo retângulo em $P$. Ele pondera, porém, que quem não enxerga isso de cara pode chegar lá pela geometria analítica.

O caminho analítico usa a condição de perpendicularidade. Com $P(x,y)$, os coeficientes angulares são $m_{PA}={\displaystyle \frac{y-0}{x+5}}$ e $m_{PB}={\displaystyle \frac{y-0}{x-5}}$. O produto deve ser $-1$:

${\displaystyle \frac{y}{x+5}}\cdot {\displaystyle \frac{y}{x-5}}=-1\Rightarrow y^2=-(x^2-25)\Rightarrow x^2+y^2=25$.

Este é o lugar geométrico: a circunferência de centro na origem e raio $5$, o mesmo resultado da geometria plana. O professor chama a atenção para a beleza dessa dedução, que reúne definição de coeficiente angular, perpendicularidade e equação de circunferência, e diz que a parte mais difícil da questão é essa.

Resta achar a interseção com a reta do trilho. Substitui-se $y=x+1$: $x^2+(x+1{)}^2=25$, que dá $2x^2+2x-24=0$, ou $x^2+x-12=0$. As raízes são $x=3$ e $x=-4$ (produto $-12$ e soma $-1$). Os pontos são $P_1(-4,-3)$ e $P_2(3,4)$. A distância é $\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$. Se a reta passasse pela origem, a distância seria o diâmetro, mas aqui é preciso calcular os dois pontos.

▶ Ver este trecho no vídeo (06:37:00)

Quarta questão: o laser no espelho, o princípio de Fermat e o simétrico

A saideira é uma questão que mistura geometria plana, física e geometria analítica. Há um espelho representado por uma reta, um laser em um ponto $A$ e um ponto de destino. O raio sai de $A$, bate no espelho, reflete e chega ao outro ponto. Pergunta-se a distância total percorrida pela luz. O professor diz que o aluno precisa de um pouco de conhecimento de física: a lei da reflexão, segundo a qual o ângulo de incidência é igual ao de reflexão.

Ele aproveita para comentar o princípio de Fermat: a luz sempre percorre o caminho de menor tempo. A refração (lei de Snell) também sai desse princípio, e ele ilustra com um salva-vidas que corre mais rápido do que nada e por isso não segue a reta até o afogado. No caso da reflexão, o meio não muda, a velocidade é constante, e o caminho de menor tempo é o de menor distância.

A estratégia é refletir o ponto de destino pelo espelho, obtendo o simétrico $B^{\mathrm{\prime }}$. A distância de $A$ até $B^{\mathrm{\prime }}$ em linha reta, que corta o espelho no ponto onde a luz de fato bate, é igual à soma dos dois trechos do caminho real, porque o trecho do espelho a $B$ é o espelhado do trecho do espelho a $B^{\mathrm{\prime }}$. Assim, em vez de achar o ponto de reflexão e somar duas distâncias, calcula-se uma só: $A{B}^{\mathrm{\prime }}$. O professor deduz de passagem a própria lei da reflexão a partir dessa simetria, usando ângulos alternos internos e complementares.

Falta achar $B^{\mathrm{\prime }}$. O segmento $B{B}^{\mathrm{\prime }}$ é perpendicular ao espelho, e o ponto médio $M$ do segmento está sobre o espelho. Os dados, segundo o desenvolvimento, são espelho $y=2x$, $B(5,4)$ e $A(5,0)$ (a reta do espelho e as coordenadas de $A$ são inferidas).

▶ Ver este trecho no vídeo (06:52:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: lei dos cossenos pitagoras bhaskara produtos notaveis lei de snell

As 4 questões resolvidas na aula

Questão 01 · FUVEST? (ano não citado; o professor chama de nível FUVEST 2026/2027)

Questão 02 · FUVEST? (ano não citado)

Questão 03 · FUVEST? (ano não citado; contexto do câmera de cinema)

Questão 04 · FUVEST? (ano não citado; questão de reflexão num espelho)

Erros que derrubam nota em geometria analítica

1. 01

   Aplicar Pitágoras em sistema de coordenadas cujos eixos não

   Aplicar Pitágoras em sistema de coordenadas cujos eixos não são perpendiculares (cabe a lei dos cossenos).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Confundir o ponto com as suas coordenadas

   Confundir o ponto com as suas coordenadas: o ponto é absoluto, as coordenadas mudam com o sistema.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Trocar o sinal de apenas um dos deltas, o que muda o sinal

   Trocar o sinal de apenas um dos deltas, o que muda o sinal do termo com o cosseno ou do coeficiente angular.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Errar o sinal do centro ao ler a circunferência

   Errar o sinal do centro ao ler a circunferência: $(y+1{)}^2$ dá $y_C=-1$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Não descartar o valor de $k$ que dá a reta pela origem

   Não descartar o valor de $k$ que dá a reta pela origem quando o enunciado a proíbe.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Fazer a força bruta com contas longas quando uma sacada

   Fazer a força bruta com contas longas quando uma sacada geométrica (andar um raio na direção de $S$) resolve de cabeça.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Somar dois trechos de reflexão em vez de refletir o ponto

   Somar dois trechos de reflexão em vez de refletir o ponto e calcular uma só distância.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
8. 08

   Errar frações ao achar o simétrico $B'$; conferir o ponto

   Errar frações ao achar o simétrico $B^{\mathrm{\prime }}$; conferir o ponto médio de $B{B}^{\mathrm{\prime }}$ antes de seguir.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
9. 09

   Esquecer que $PA\perp PB$ define uma circunferência

   Esquecer que $PA\perp PB$ define uma circunferência de diâmetro $AB$ e tentar achar os pontos por tentativa.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Geometria Analítica na FUVEST