Exponencial e Logaritmos na FUVEST: revisão e questões

Q: Como resolver uma equação exponencial com soma de potências de mesma base?

Separe cada termo com a propriedade a^(m+n)=a^m a^n, coloque a potência com x em evidência e some os números que sobram. Por exemplo, 2^(x+3)+2^(x+2)+2^(x+1)=14· 2^x=28, logo 2^x=2 e x=1.

Q: Quando usar mudança de variável em equação exponencial?

Quando aparecem a²x e a^x (ou bases que são potências uma da outra, como 25 e 5). Chame y=a^x para obter uma equação do segundo grau e, depois de achar y, volte a x resolvendo a^x=y.

Q: Posso aplicar logaritmo nos dois lados de uma equação exponencial?

Sim. O expoente cai multiplicando, e x fica isolado em função de logaritmos de números como 2 e 3. O resultado pode precisar de manipulação para simplificar, pois a calculadora não revela se o valor é exato (como -3/2).

Q: Como lembrar da fórmula da mudança de base?

Pense na cadeia \log_b a·\log_c b=\log_c a: o b "corta" e sobram a em cima e c embaixo. Equivale a \log_b a=\log_c a/\log_c b. A base nova pode ser qualquer uma válida; use a dos dados do problema.

Q: Como escrever log 5 em função de log 2 e log 3 na base 10?

Não dá em função de \log 3, mas pode ser escrito só em função de \log 2: \log 5=\log(10)/(2)=1-\log 2. Isso funciona porque a base é 10. Tentar 5=2+3 não ajuda, pois não há propriedade para o logaritmo de uma soma.

Q: Quando o sinal da desigualdade se inverte em uma inequação exponencial?

Quando a base está entre 0 e 1. Nesse caso a função é decrescente, e (1/2)^x>1/8 vira x<3. Se a base é maior que 1, a função é crescente e o sinal se mantém: 2^x>8 dá x>3.

Q: E em uma inequação logarítmica?

A regra é a mesma. Com base maior que 1, o logaritmo é crescente e o sinal se mantém; com base entre 0 e 1, é decrescente e o sinal se inverte ao passar para a potência. Em \log_1/5u<-2, obtém-se u>25.

Esta aula em 81 minutos: o índice

Atualizado em set/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. Esta página é o capítulo de Exponencial e Logaritmos da aula, em texto, com o minuto de cada passo. Sem resumo de legenda: é a explicação do professor, editada.

No vídeo	O que acontece
08:57:00	Tema do bloco: exponenciais e logaritmos
08:58:00	Logaritmo como operação inversa da exponenciação
09:02:00	Equação versus função
09:04:00	Equações exponenciais: mesma base e soma de potências
09:10:00	Mudança de variável: 25^x - 6·5^x + 5 = 0
09:12:00	Equação de bases 3 e 4 (nível FUVEST)
09:27:00	Segundo caminho: 4^α = 3^α só vale com α = 0
09:31:00	Terceiro caminho: log dos dois lados
09:36:00	Questão de log na base 15 em função de a e b
09:39:00	Fórmula da mudança de base
09:52:00	Inequação exponencial e log: base maior ou menor que 1
10:10:00	Condição de existência e discriminante negativo

Logaritmo como operação inversa e a diferença entre equação e função

O capítulo é dedicado exclusivamente a exponenciais e logaritmos, dividido em equações e, depois, funções. Antes de começar, o professor propõe uma reflexão: quando se define uma operação, quase sempre existe outra que a desfaz. A subtração desfaz a soma, a divisão desfaz a multiplicação e o logaritmo desfaz a exponenciação. Se $2^{x}$ é a exponenciação, extrair $\log_{2}$ é o caminho de volta.

O professor observa que desfazer costuma dar mais trabalho do que fazer, o que ajuda a entender por que logaritmo assusta mais do que potência. A mesma ideia vale para derivada e integral.

Em seguida, esclarece uma confusão comum entre equação e função. Equação é uma igualdade em que se procura um valor: em $x + 2 = 3$ o objetivo é descobrir quanto vale $x$ (aqui, $x = 1$ ). Função é uma regra que, para cada valor de $x$ , gera um resultado: em $f (x) = x + 2$ não há um valor de $x$ a descobrir, qualquer $x$ serve e cada um produz um $f (x)$ . O professor lembra que a notação $f (x)$ é atribuída a Euler e significa o valor resultante de colocar $x$ dentro da função $f$ .

O bloco começa pelas equações, e as funções ficam para o capítulo seguinte.

▶ Ver este trecho no vídeo (08:58:00)

Equações exponenciais: soma de potências de mesma base e mudança de variável

O primeiro nível é a equação com uma única potência de cada lado. Em $4^{x} = 32$ , reescreve-se tudo na base $2$ : $(2^{2})^{x} = 2^{5}$ , logo $2^{2 x} = 2^{5}$ . Com bases iguais, os expoentes são iguais: $2 x = 5$ e $x = 5 / 2$ .

O segundo nível aparece quando há soma de potências de mesma base com expoentes diferentes: $2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 28$ . A dificuldade é que agora há três termos somados de um lado, e não um de cada lado. O professor observa que os expoentes com soma vêm do produto de potências de mesma base, e que essa ideia é a mesma por trás da propriedade do logaritmo que transforma produto em soma.

Reescreve-se cada termo separando o fator comum: $2^{x} \cdot 2^{3} + 2^{x} \cdot 2^{2} + 2^{x} \cdot 2^{1} = 28$ . Coloca-se $2^{x}$ em evidência: $2^{x} (8 + 4 + 2) = 28$ , ou seja, $14 \cdot 2^{x} = 28$ . Dividindo por $14$ , $2^{x} = 2$ e $x = 1$ .

O professor chama a atenção para um fato curioso: muitos alunos não colocam $2^{x}$ em evidência, embora somassem sem hesitar se o termo fosse $y$ (oito $y$ mais quatro $y$ mais dois $y$ dá catorze $y$ ). A potência $2^{x}$ deve ser tratada como uma única "coisa", exatamente como $y$ .

O terceiro nível é $2 5^{x} - 6 \cdot 5^{x} + 5 = 0$ . As bases $25$ e $5$ são diferentes, mas $25$ é potência de $5$ . Escreve-se $2 5^{x} = (5^{2})^{x} = (5^{x})^{2}$ . Chamando $y = 5^{x}$ , a equação vira $y^{2} - 6 y + 5 = 0$ .

É uma equação do segundo grau com soma das raízes $6$ e produto $5$ , portanto $y = 1$ ou $y = 5$ .

O professor alerta para um erro frequente: parar em $y$ . A variável $y$ foi inventada na resolução e a pergunta é sobre $x$ , por isso é preciso voltar à variável original. Com $y = 5^{x}$ : se $5^{x} = 1$ , então $x = 0$ ; se $5^{x} = 5$ , então $x = 1$ . O conjunto solução é $x \in {0, 1}$ .

O professor situa os três níveis: o primeiro e o segundo estão abaixo do ENEM, a mudança de variável é nível ENEM, a equação seguinte seria FUVEST do ano anterior (essa classificação é falada rápido na gravação, ver dúvidas) e o último exercício é o nível da FUVEST atual.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:04:00)

A equação de bases 3 e 4: reorganizar até chegar em 2^(2x+3) = 3^(x+3/2)

A equação apresentada tem bases diferentes (potências de $3$ e de $4$ , com expoentes que envolvem $\pm 1 / 2$ e $2 x - 1$ ). A reconstrução, conferida com a resolução do professor, é $4^{x} - 6 \cdot 3^{x - 1 / 2} = 3^{x + 1 / 2} - 14 \cdot 2^{2 x - 1}$ (confirmar na tela). O que mais incomoda são os expoentes somados e subtraídos.

O primeiro passo é separar as potências com a mesma base. Escreve-se $3^{x - 1 / 2} = 3^{x} / \sqrt{3}$ , $3^{x + 1 / 2} = 3^{x} \sqrt{3}$ e $2^{2 x - 1} = 4^{x} / 2$ , de modo que $14 \cdot 2^{2 x - 1} = 7 \cdot 4^{x}$ . Todo mundo de base $4$ vai para um lado e todo mundo de base $3$ para o outro: $4^{x} + 7 \cdot 4^{x} = 3^{x} \sqrt{3} + \frac{6 \cdot 3^{x}}{\sqrt{3}}$ .

O professor comenta que quem não é veterano precisa apenas "ter fé" e dar o primeiro passo: a lógica de separar $3^{x}$ de $4^{x}$ é natural. À esquerda, $(1 + 7) \cdot 4^{x} = 8 \cdot 4^{x}$ . À direita, racionalizando $6 / \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ , obtém-se $3^{x} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) = 3 \sqrt{3} \cdot 3^{x}$ . Assim: $8 \cdot 4^{x} = 3 \sqrt{3} \cdot 3^{x}$ .

Escrevendo tudo como potência: $8 = 2^{3}$ , $4^{x} = 2^{2 x}$ e $3 \sqrt{3} = 3^{3 / 2}$ . A equação fica $2^{2 x + 3} = 3^{x + 3 / 2}$ .

Passar tudo para a mesma base não funciona, porque $2$ e $3$ não são potências um do outro. Dividindo por $3^{x}$ e por $8$ , obtém-se $(4 / 3)^{x} = 3 \sqrt{3} / 8$ , que pode ser escrito como $(3 / 4)^{- x} = (3 / 4)^{3 / 2}$ , de onde $- x = 3 / 2$ e $x = - 3 / 2$ . Essa é a única solução.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:12:00)

Dois caminhos finais para x = -3/2: expoentes iguais e logaritmo nos dois lados

Depois da forma $2^{2 x + 3} = 3^{x + 3 / 2}$ , surge uma discussão sobre a justificativa. Uma ideia é igualar separadamente os expoentes de $2$ e de $3$ : $2 x + 3 = 0$ e $x + 3 / 2 = 0$ . O professor admite que essa justificativa seria clara com números naturais (pela fatoração em primos), mas não é um argumento rigoroso para expoentes reais. Funciona aqui porque as duas equações dão o mesmo resultado, $x = - 3 / 2$ . Se dessem valores diferentes, a solução seria menos trivial e exigiria logaritmo.

O professor propõe um argumento mais sólido. Escreve $2^{2 x + 3} = 4^{x + 3 / 2}$ , já que $2^{2 x + 3} = (2^{2})^{x + 3 / 2}$ . Chamando $α = x + 3 / 2$ , a equação é $4^{α} = 3^{α}$ . Pelos gráficos, $4^{t}$ e $3^{t}$ só se encontram em $t = 0$ : toda exponencial passa por $(0, 1)$ , a de base $4$ cresce mais depressa para $t > 0$ e decresce mais depressa para $t < 0$ , de modo que o único cruzamento é em $t = 0$ . Logo $α = 0$ e $x = - 3 / 2$ .

A solução "ignorante", nas palavras do professor, é aplicar logaritmo nos dois lados de $2^{2 x + 3} = 3^{x + 3 / 2}$ . A propriedade usada é a de que o expoente "cai multiplicando": $(2 x + 3) \log 2 = (x + \frac{3}{2}) \log 3$ .

O problema é que $\log 2$ e $\log 3$ são números que não se sabe calcular de cabeça, então a resposta ficará em função deles. O professor trata esses logaritmos como constantes e isola $x$ . Expandindo: $2 x \log 2 + 3 \log 2 = x \log 3 + \frac{3}{2} \log 3$ . Reunindo o que tem $x$ : $x (2 \log 2 - \log 3) = \frac{3}{2} \log 3 - 3 \log 2$ .

Dividindo, $x = \frac{\frac{3}{2} \log 3 - 3 \log 2}{2 \log 2 - \log 3}$ . Em uma prova de múltipla escolha, a expressão com logaritmos pode não aparecer nas alternativas. É preciso massagear: no numerador, coloca-se $\frac{3}{2}$ em evidência, ficando $\frac{3}{2} (\log 3 - 2 \log 2)$ . Esse parêntese é exatamente o denominador multiplicado por $- 1$ . Cortando, sobra $x = - \frac{3}{2}$ .

O professor conta que são três jeitos de finalizar a mesma questão e reforça que a aula de "massageamento" algébrico é o que permite ver que os logaritmos se anulam. Quem apenas calcula na calculadora pode não perceber que o resultado é exato.

▶ Ver este trecho no vídeo (09:21:00)

Logaritmo na base 15 em função de a = log 2 e b = log 3

A questão pede o logaritmo, na base $15$ , de $\sqrt[5]{11, 25}$ , dados $\log 2 = a$ e $\log 3 = b$ (logaritmos decimais, base $10$ ). O enunciado exato é parcialmente lido pelo professor; ver dúvidas. Chamando de $x$ o valor pedido, o primeiro passo é passar a raiz para expoente fracionário: $x = \log_{15} ⁣ (11, 2 5^{1 / 5}) = \frac{1}{5} \log_{15} 11, 25$ .

O professor dá uma regra prática: se foram dados logaritmos em uma determinada base, é preciso ir para essa base, sem inventar outra. A mudança de base usada é $\log_{15} 11, 25 = \frac{\log 11, 25}{\log 15}$ . Ele alerta contra três erros: tratar $\log (11, 25 / 15)$ como se fosse o quociente, transformar a divisão de logaritmos em diferença, ou cancelar os logaritmos.

Depois, cada um é escrito em termos de $a$ e $b$ . Para o denominador: $\log 15 = \log 5 + \log 3$ , com $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - a$ . Logo $\log 15 = 1 - a + b$ .

O professor chama a atenção para a parte criativa: em vez de pensar $5 = 2 + 3$ , que não leva a nenhuma propriedade, escreve-se $5 = 10 / 2$ , aproveitando que a base é $10$ . Para o numerador, $11, 25 = 45 / 4$ , e $\log \frac{45}{4} = \log 45 - \log 4 = (\log 15 + \log 3) - 2 \log 2 = (1 - a + b) + b - 2 a = 1 + 2 b - 3 a$ .

O resultado é $x = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 + 2 b - 3 a}{1 + b - a}$ .

▶ Ver este trecho no vídeo (09:36:00)

Fórmula da mudança de base e como lembrar dela

A mudança de base de $\log_{b} a$ para uma base $c$ é $\log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}$ : o logaritmando e a base passam a ser logaritmados na base nova, o de cima dividido pelo de baixo. O professor considera essa a propriedade menos trivial do logaritmo e diz que, no ano anterior, a FUVEST não cobrou mudança de base, mas pode cobrar.

Para não esquecer, ele escreve de um jeito que lembra a notação de Leibniz do cálculo, com aspecto de fração que cancela: $\log_{b} a = \log_{c} a \cdot \frac{1}{\log_{c} b}$ , ou melhor, $\log_{b} a \cdot \log_{c} b = \log_{c} a$ . A leitura mnemônica é: o $b$ de dentro do primeiro logaritmo "corta" com o $b$ da base do segundo, sobrando $a$ em cima e $c$ embaixo. De forma geral, $\log_{y} x = \log_{w} x \cdot \log_{y} w$ para qualquer base $w$ válida, escolhida de forma que sobre $x$ em cima e $y$ embaixo.

O professor se mostra satisfeito com esse jeito de enxergar e diz que o colega, que o apresentou, fez com que ele aprendesse algo de novo. A escolha da base nova é livre, respeitando as condições de existência. Na prática, o preço de mudar de base é que aparece outro logaritmo, mas na base conveniente, que costuma ser a $10$ quando os dados do problema são $\log 2$ e $\log 3$ .

▶ Ver este trecho no vídeo (09:39:00)

Inequação exponencial: quando o sinal se inverte, e a resolução de 16 < (1/4)^α

A última questão mistura exponencial e logaritmo em uma inequação. O professor aproveita para revisar o conceito central: ao comparar expoentes, o sentido da desigualdade depende da base.

Com base maior que $1$ , como em $2^{x} > 8$ , a função é crescente: o resultado só cresce se o expoente cresce, então $x > 3$ e o sinal se mantém. Com base entre $0$ e $1$ , como em ${(\frac{1}{2})}^{x} > \frac{1}{8}$ , a função é decrescente: quanto maior o expoente, menor o resultado. Para o resultado ser maior que $1 / 8$ , o expoente precisa ser menor que $3$ , então $x < 3$ e o sinal se inverte.

O professor destaca que o "aluno médio" tende a trocar tudo por maior sem pensar, e que o jeito de entender é com o gráfico: em $2^{x}$ , estar acima de $8$ significa estar à direita de $x = 3$ . Em $(1 / 2)^{x}$ , que é decrescente, estar acima de $1 / 8$ significa estar à esquerda de $x = 3$ .

A regra geral: ao isolar a incógnita em uma inequação exponencial de base entre $0$ e $1$ , inverte-se o sinal. Em base maior que $1$ , mantém-se. Para não depender da regra, ele sugere levar tudo para a mesma base (a base $2$ ) e conferir pelo gráfico.

A inequação da aula é $16 < {(\frac{1}{4})}^{α}$ , onde $α = \log_{1 / 5} (x^{2} - x + 19)$ é o logaritmo que incomodava; o professor o substitui por $α$ para simplificar.

Para resolver $16 < (1 / 4)^{α}$ , escolhe-se a base $2$ : $16 = 2^{4}$ e $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ , então $(1 / 4)^{α} = 2^{- 2 α}$ . A inequação fica $2^{4} < 2^{- 2 α}$ . Como a base $2$ é maior que $1$ , mantém-se o sinal: $4 < - 2 α$ . Passando $2 α$ para a esquerda e $4$ para a direita, evita-se dividir por número negativo: $2 α < - 4$ , logo $α < - 2$ . O professor recomenda, como dica geral, evitar passar dividindo em inequações, para não esquecer de inverter.

É possível usar outra base. Escrevendo $16 = (1 / 4)^{- 2}$ , tem-se $(1 / 4)^{- 2} < (1 / 4)^{α}$ . Agora a base está entre $0$ e $1$ , o sinal se inverte e $- 2 > α$ , isto é, $α < - 2$ . Os dois caminhos dão o mesmo resultado.

O professor usa um exemplo numérico simples para mostrar o perigo de multiplicar por um número negativo sem inverter: de $- 1 / 3 < 2$ , multiplicando por $- 3$ sem inverter, chegaria ao absurdo $1 < - 6$ .

▶ Ver este trecho no vídeo (09:52:00)

Inequação logarítmica na base 1/5 e a condição de existência

Voltando ao logaritmo, a condição é $\log_{1 / 5} (x^{2} - x + 19) < - 2$ . A regra é a mesma da exponencial: o logaritmo de base maior que $1$ é crescente (mantém o sentido da desigualdade) e o de base entre $0$ e $1$ é decrescente (inverte).

Como a base é $1 / 5$ , o sinal inverte: $x^{2} - x + 19 > {(\frac{1}{5})}^{- 2} = 25$ . Assim, $x^{2} - x - 6 > 0$ . As raízes pela soma e produto são $x = 3$ e $x = - 2$ . A parábola tem concavidade para cima, portanto a desigualdade vale para $x < - 2$ ou $x > 3$ . (Na gravação, o professor diz "x menor que 3" ao ler o lado direito; o correto é $x > 3$ .)

O professor insiste que, em toda questão de logaritmo, é preciso conferir a condição de existência: o logaritmando deve ser positivo e a base, positiva e diferente de $1$ . Como a base $1 / 5$ já está dada, resta $x^{2} - x + 19 > 0$ . O discriminante é $1 - 4 \cdot 19 = - 75 < 0$ , então a parábola nunca toca o eixo e fica sempre acima dele, e a condição vale para qualquer $x$ .

A resposta final é $x < - 2$ ou $x > 3$ . O professor diz que foi "bondoso" ao escolher uma condição que não restringe nada, mas que, em geral, a conferência deve sempre ser feita porque pode eliminar parte do conjunto.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:05:00)

As fórmulas desta aula

Operação inversa: definição de logaritmo

\log_{b} a = c ⟺ b^{c} = a, a > 0, b > 0, b \neq 1

Para desfazer uma exponenciação e para converter uma igualdade ou desigualdade com logaritmo em potência.

Igualdade de potências de mesma base

a^{m} = a^{n} ⟺ m = n, a > 0, a \neq 1

Depois de reescrever os dois lados da equação exponencial na mesma base, iguala-se os expoentes.

Soma de expoentes

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

Para separar $2^{x+3}$ em $2^x\cdot 2^3$ e colocar a potência em evidência.

Mudança de variável

a^{2 x} = (a^{x})^{2}, y = a^{x}

Em equação exponencial com $a^{2x}$ e $a^x$, para virar equação do segundo grau em $y$; depois voltar a $x$.

Raiz como expoente fracionário

\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m / n}

Para escrever $\sqrt3 = 3^{1/2}$ e juntar expoentes, ou levar a raiz do logaritmando para fora do logaritmo.

Logaritmo da potência (expoente cai multiplicando)

\log (a^{k}) = k \log a

Ao aplicar logaritmo nos dois lados de uma equação exponencial, ou para tirar a raiz quinta do logaritmando.

Logaritmo do produto e do quociente

\log (a b) = \log a + \log b, \log \frac{a}{b} = \log a - \log b

Para escrever $\log 15$, $\log 45$ e $\log 5$ em função de $\log 2$ e $\log 3$.

Mudança de base

\log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}

Quando a base não é conveniente: passa-se para a base dos dados (aqui a base 10).

Cadeia de logaritmos (regra do corte)

\log_{b} a \cdot \log_{c} b = \log_{c} a

Como mnemônico da mudança de base: o $b$ "corta" e sobra $a$ em cima e $c$ embaixo.

Monotonia da exponencial

a > 1 : a^{m} < a^{n} ⟺ m < n; 0 < a < 1 : a^{m} < a^{n} ⟺ m > n

Para resolver inequação exponencial: mantém o sinal se a base é maior que 1 e inverte se está entre 0 e 1.

Monotonia do logaritmo

b > 1 : \log_{b} u < k ⟺ u < b^{k}; 0 < b < 1 : \log_{b} u < k ⟺ u > b^{k}

Para resolver inequação logarítmica: o logaritmo de base entre 0 e 1 é decrescente e inverte o sinal.

Condição de existência do logaritmo

\log_{b} a : a > 0, b > 0, b \neq 1

Toda questão com logaritmo, para descartar valores de $x$ que tornam o logaritmando não positivo ou a base inválida.

Discriminante

Δ = b^{2} - 4 a c

Para saber se $x^2-x+19$ tem raízes: se $\Delta<0$ e $a>0$, é sempre positivo.

Fichas completas: potencias de mesma base radiciacao bhaskara vertice da parabola

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor (aquecimento)

Resolvida na aulaexemplo do professor (aquecimento)

Resolver $2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 28$ .

Separar o fator comum: $2^{x} \cdot 2^{3} + 2^{x} \cdot 2^{2} + 2^{x} \cdot 2^{1} = 28$ .
Colocar $2^{x}$ em evidência: $2^{x} (8 + 4 + 2) = 28$ , isto é, $14 \cdot 2^{x} = 28$ .
Dividir por $14$ : $2^{x} = 2$ , logo $x = 1$ .

Resposta: $x = 1$

Armadilha: Não colocar $2^{x}$ em evidência (tratá-lo como uma "coisa" única, como o $y$ de $8 y + 4 y + 2 y$ ).

▶ Ver no vídeo (09:05:00)

Questão 02 · exemplo do professor (nível ENEM)

Resolvida na aulaexemplo do professor (nível ENEM)

Resolver $2 5^{x} - 6 \cdot 5^{x} + 5 = 0$ .

Escrever $2 5^{x} = (5^{2})^{x} = (5^{x})^{2}$ .
Chamar $y = 5^{x}$ : $y^{2} - 6 y + 5 = 0$ , com soma $6$ e produto $5$ , então $y = 1$ ou $y = 5$ .
Voltar para $x$ : $5^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ e $5^{x} = 5 \Rightarrow x = 1$ .

Resposta: $x = 0$ ou $x = 1$

Armadilha: Parar em $y = 1$ e $y = 5$ : o $y$ foi inventado na resolução e é preciso voltar para $x$ .

▶ Ver no vídeo (09:09:00)

Questão 03 · FUVEST? (a aula diz que o exercício é de nível FUVEST; ano não citado com clareza)

Resolvida na aulaFUVEST? (a aula diz que o exercício é de nível FUVEST; ano não citado com clareza)

Reconstruído a partir da resolução (conferir na tela): resolver $4^{x} - 6 \cdot 3^{x - 1 / 2} = 3^{x + 1 / 2} - 14 \cdot 2^{2 x - 1}$ .

Reescrever os termos: $3^{x - 1 / 2} = 3^{x} / \sqrt{3}$ , $3^{x + 1 / 2} = 3^{x} \sqrt{3}$ e $14 \cdot 2^{2 x - 1} = 7 \cdot 4^{x}$ .
Separar bases: $4^{x} + 7 \cdot 4^{x} = 3^{x} \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{x} / \sqrt{3}$ , isto é, $8 \cdot 4^{x} = 3 \sqrt{3} \cdot 3^{x}$ (pois $6 / \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ ).
Escrever como potências: $2^{2 x + 3} = 3^{x + 3 / 2}$ .
Caminho 1: $2^{2 x + 3} = 4^{x + 3 / 2}$ ; com $α = x + 3 / 2$ , $4^{α} = 3^{α}$ só vale com $α = 0$ , logo $x = - 3 / 2$ .
Caminho 2: dividir por $3^{x}$ e por $8$ : $(4 / 3)^{x} = (3 / 4)^{3 / 2}$ , isto é, $- x = 3 / 2$ .
Caminho 3: logaritmo dos dois lados: $x (2 \log 2 - \log 3) = \frac{3}{2} \log 3 - 3 \log 2 = - \frac{3}{2} (2 \log 2 - \log 3)$ , logo $x = - 3 / 2$ .

Resposta: $x = - \frac{3}{2}$ (única solução)

Armadilha: Igualar separadamente os expoentes de $2$ e de $3$ sem justificar: funciona aqui porque ambos dão $- 3 / 2$ , mas em geral não é válido e exigiria logaritmo.

▶ Ver no vídeo (09:12:00)

Questão 04 · FUVEST? (ano não citado)

Resolvida na aulaFUVEST? (ano não citado)

Dados $\log 2 = a$ e $\log 3 = b$ (base $10$ ), escrever $\log_{15} \sqrt[5]{11, 25}$ em função de $a$ e $b$ (enunciado reconstruído; ver dúvidas).

Passar a raiz para expoente: $\log_{15} \sqrt[5]{11, 25} = \frac{1}{5} \log_{15} 11, 25$ .
Mudar para a base $10$ : $\log_{15} 11, 25 = \frac{\log 11, 25}{\log 15}$ .
$\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - a$ , então $\log 15 = \log 5 + \log 3 = 1 - a + b$ .
$11, 25 = \frac{45}{4}$ , então $\log 11, 25 = \log 15 + \log 3 - 2 \log 2 = (1 - a + b) + b - 2 a = 1 + 2 b - 3 a$ .
Montar: $\frac{1}{5} \cdot \frac{1 + 2 b - 3 a}{1 + b - a}$ .

Resposta: $\frac{1}{5} \cdot \frac{1 + 2 b - 3 a}{1 + b - a}$

Armadilha: Transformar $\log (11, 25 / 15)$ em quociente de logaritmos ou diferença; e escrever $\log 5 = \log 2 + \log 3$ (não existe propriedade assim). O correto é $5 = 10 / 2$ .

▶ Ver no vídeo (09:36:00)

Questão 05 · FUVEST? (ano não citado)

Resolvida na aulaFUVEST? (ano não citado)

Resolver a inequação $16 < {(\frac{1}{4})}^{\log_{1 / 5} (x^{2} - x + 19)}$ (reconstruída a partir da resolução).

Chamar $α = \log_{1 / 5} (x^{2} - x + 19)$ : $16 < (1 / 4)^{α}$ .
Base $2$ : $2^{4} < 2^{- 2 α}$ ; base maior que $1$ mantém o sinal: $4 < - 2 α \Rightarrow α < - 2$ .
$\log_{1 / 5} (x^{2} - x + 19) < - 2$ ; base entre $0$ e $1$ inverte: $x^{2} - x + 19 > (1 / 5)^{- 2} = 25$ .
$x^{2} - x - 6 > 0$ , com raízes $- 2$ e $3$ e concavidade para cima: $x < - 2$ ou $x > 3$ .
Condição de existência: $x^{2} - x + 19 > 0$ ; $Δ = 1 - 76 = - 75 < 0$ , sempre positivo, sem restrição adicional.

Resposta: $x < - 2$ ou $x > 3$

Armadilha: Manter o sinal ao passar de $\log_{1 / 5}$ para a potência (a base está entre $0$ e $1$ , o sinal inverte); esquecer a condição de existência; e dividir por número negativo sem inverter.

▶ Ver no vídeo (09:52:00)

Erros que derrubam nota em exponencial e logaritmos

01
Não colocar a potência $2^x$ em evidência em uma soma
Não colocar a potência $2^{x}$ em evidência em uma soma de potências de mesma base (tratar como "coisa" igual a $y$ ).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
02
Parar na variável auxiliar
Parar na variável auxiliar ( $y = 5^{x}$ ) e esquecer de voltar para $x$ .
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
03
Trocar "tudo por maior" sem pensar em inequação exponencial
Trocar "tudo por maior" sem pensar em inequação exponencial ou logarítmica com base entre $0$ e $1$ (o sinal inverte).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
04
Multiplicar ou dividir por número negativo sem inverter
Multiplicar ou dividir por número negativo sem inverter a desigualdade.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
05
Escrever $\log
Escrever $\log (a / b)$ como $\log a / \log b$ ou $\log a - \log b$ como quociente (e vice-versa).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
06
Fatorar $5 = 2+3$ em questão de logaritmo
Fatorar $5 = 2 + 3$ em questão de logaritmo: não há propriedade para a soma; usar $5 = 10 / 2$ quando a base é $10$ .
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
07
Inventar uma base nova quando os logaritmos dados estão
Inventar uma base nova quando os logaritmos dados estão em outra base: é preciso ir para a base dos dados.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
08
Esquecer a condição de existência do logaritmo
Esquecer a condição de existência do logaritmo (logaritmando positivo, base positiva e diferente de $1$ ).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
09
Assumir que $4^x=3^x\cdot c$ pode ser quebrado em duas
Assumir que $4^{x} = 3^{x} \cdot c$ pode ser quebrado em duas equações para os primos sem justificar.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Exponencial e Logaritmos na FUVEST

Como resolver uma equação exponencial com soma de potências de mesma base?

Separe cada termo com a propriedade $a^{m + n} = a^{m} a^{n}$ , coloque a potência com $x$ em evidência e some os números que sobram. Por exemplo, $2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 14 \cdot 2^{x} = 28$ , logo $2^{x} = 2$ e $x = 1$ .

Quando usar mudança de variável em equação exponencial?

Quando aparecem $a^{2 x}$ e $a^{x}$ (ou bases que são potências uma da outra, como $25$ e $5$ ). Chame $y = a^{x}$ para obter uma equação do segundo grau e, depois de achar $y$ , volte a $x$ resolvendo $a^{x} = y$ .

Posso aplicar logaritmo nos dois lados de uma equação exponencial?

Sim. O expoente cai multiplicando, e $x$ fica isolado em função de logaritmos de números como $2$ e $3$ . O resultado pode precisar de manipulação para simplificar, pois a calculadora não revela se o valor é exato (como $- 3 / 2$ ).

Como lembrar da fórmula da mudança de base?

Pense na cadeia $\log_{b} a \cdot \log_{c} b = \log_{c} a$ : o $b$ "corta" e sobram $a$ em cima e $c$ embaixo. Equivale a $\log_{b} a = \log_{c} a / \log_{c} b$ . A base nova pode ser qualquer uma válida; use a dos dados do problema.

Como escrever log 5 em função de log 2 e log 3 na base 10?

Não dá em função de $\log 3$ , mas pode ser escrito só em função de $\log 2$ : $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - \log 2$ . Isso funciona porque a base é $10$ . Tentar $5 = 2 + 3$ não ajuda, pois não há propriedade para o logaritmo de uma soma.

Quando o sinal da desigualdade se inverte em uma inequação exponencial?

Quando a base está entre $0$ e $1$ . Nesse caso a função é decrescente, e $(1 / 2)^{x} > 1 / 8$ vira $x < 3$ . Se a base é maior que $1$ , a função é crescente e o sinal se mantém: $2^{x} > 8$ dá $x > 3$ .

E em uma inequação logarítmica?

A regra é a mesma. Com base maior que $1$ , o logaritmo é crescente e o sinal se mantém; com base entre $0$ e $1$ , é decrescente e o sinal se inverte ao passar para a potência. Em $\log_{1 / 5} u < - 2$ , obtém-se $u > 25$ .

Preciso sempre conferir a condição de existência do logaritmo?

Segundo o professor, via de regra sim. O logaritmando deve ser positivo e a base, positiva e diferente de $1$ . Na questão do capítulo, $x^{2} - x + 19$ tem $Δ = - 75 < 0$ e é sempre positivo, então nada muda, mas em outras questões a condição pode cortar parte da resposta.

Esta aula em 81 minutos: o índice

Logaritmo como operação inversa e a diferença entre equação e função

Equações exponenciais: soma de potências de mesma base e mudança de variável

A equação de bases 3 e 4: reorganizar até chegar em 2^(2x+3) = 3^(x+3/2)

Dois caminhos finais para x = -3/2: expoentes iguais e logaritmo nos dois lados

Logaritmo na base 15 em função de a = log 2 e b = log 3

Fórmula da mudança de base e como lembrar dela

Inequação exponencial: quando o sinal se inverte, e a resolução de 16 < (1/4)^α

Inequação logarítmica na base 1/5 e a condição de existência

As fórmulas desta aula

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor (aquecimento)

Questão 02 · exemplo do professor (nível ENEM)

Questão 03 · FUVEST? (a aula diz que o exercício é de nível FUVEST; ano não citado com clareza)

Questão 04 · FUVEST? (ano não citado)

Questão 05 · FUVEST? (ano não citado)

Erros que derrubam nota em exponencial e logaritmos

Não colocar a potência $2^x$ em evidência em uma soma

Parar na variável auxiliar

Trocar "tudo por maior" sem pensar em inequação exponencial

Multiplicar ou dividir por número negativo sem inverter

Escrever $\log

Fatorar $5 = 2+3$ em questão de logaritmo

Inventar uma base nova quando os logaritmos dados estão

Esquecer a condição de existência do logaritmo

Assumir que $4^x=3^x\cdot c$ pode ser quebrado em duas

FAQ: Exponencial e Logaritmos na FUVEST

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