Dos dois produtos cruzados que aparecem ao distribuir (a+b)(a+b).

Produtos notáveis: (a±b)² = a² ± 2ab + b² com dedução

Q: Qual é a fórmula do quadrado da soma?

(a+b)² = a² + 2ab + b². O termo do meio é o dobro do produto.

Q: Por que (a+b)² não é a² + b²?

Porque a potência não distribui sobre a soma; faltariam os dois retângulos ab. Com 3 e 4: 49 contra 25.

Q: No quadrado da diferença, por que só o meio é negativo?

Porque (−b)² é positivo; só o termo cruzado fica negativo.

Q: Como reconhecer um trinômio quadrado perfeito?

Se o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos e o do meio é o dobro do produto das raízes deles.

Q: Para que serve reconhecer produto notável?

Para fatorar, simplificar frações algébricas e completar quadrados, base da dedução de Bhaskara.

Q: Existe produto notável do cubo?

Sim: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, com coeficientes do Triângulo de Pascal.

Q: Qual a relação com a diferença de quadrados?

(a+b)(a−b) = a² − b²: ali os termos cruzados se cancelam em vez de somar.

Quais são os produtos notáveis?

Os dois mais cobrados são o quadrado da soma e o da diferença — que são, na verdade, a mesma fórmula com sinais:

Quadrado da soma e da diferença

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

O termo do meio é o dobro do produto — e o sinal dele acompanha o sinal de dentro do parêntese. O b² é sempre positivo.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Duas letras, e um sinal que muda só o termo do meio:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a$	o primeiro termo	número ou expressão
$b$	o segundo termo	número ou expressão
$2 a b$	o dobro do produto — o termo esquecido	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: como chegamos aqui? Aplicando a distributiva, que você já tem. Elevar ao quadrado é multiplicar por si mesmo — então $(a + b)^{2}$ é $(a + b) (a + b)$ , e basta distribuir tudo em tudo:

Repara que aparecem dois termos $a b$ — um de cada multiplicação cruzada. Somados, dão $2 a b$ . O termo do meio não foi inventado: ele é o par de produtos cruzados.

Dedução · distribuindo tudo em tudo

(a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Quatro produtos. Os dois do meio são iguais e se somam — daí o 2ab.

A figura torna isso visual: um quadrado de lado $a + b$ se divide em quatro pedaços — um quadrado $a^{2}$ , um quadrado $b^{2}$ e dois retângulos $a b$ . Os dois retângulos são exatamente o 2ab. Quem escreve $a^{2} + b^{2}$ está jogando fora dois pedaços da figura. Você pode estar pensando: “por que no quadrado da diferença só o termo do meio fica negativo?” Porque o $b^{2}$ vem de $(- b) \cdot (- b)$ , e menos com menos dá mais. Já o termo cruzado é $a \cdot (- b)$ , negativo, e aparece duas vezes. Selo Demonstrável: sai inteiro da distributiva, que é Postulado.

Fatoração: os 5 casos explicados do zero

Quando usar (e quando não)?

Use para expandir rápido (sem armar a multiplicação) e, principalmente, para reconhecer no sentido inverso: ver $x^{2} + 6 x + 9$ e enxergar $(x + 3)^{2}$ é o que resolve equação, simplifica fração algébrica e completa quadrado.

O reconhecimento tem um teste rápido: o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? O do meio é o dobro do produto das raízes deles? Se sim, é quadrado perfeito.

O erro $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ é o mais caro da álgebra escolar. Um teste de dez segundos desmonta: com a = 3 e b = 4, o correto dá 49 e o errado dá 25. Sempre que duvidar, teste com números.

Exemplo resolvido

Antes de tudo, um teste numérico rápido para fixar: com a = 3 e b = 4, $(3 + 4)^{2} = 49$ , enquanto $3^{2} + 4^{2} = 25$ . A diferença, 24, é exatamente o 2ab = 2·3·4. Guarde isso:

🪖 BásicoExpandir e reconhecer

(a) Expanda $(2 x + 5)^{2}$ . (b) Fatore $x^{2} + 10 x + 25$ .

(a) $a = 2 x$ e $b = 5$ : $(2 x)^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 5 + 5^{2}$ .
$= 4 x^{2} + 20 x + 25$ .
(b) Teste: 25 é $5^{2}$ ✓, e o do meio é $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ ✓.
Logo $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$ .

(2 x + 5)^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25

x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}

Verificação: confere em (a) substituindo x = 1: $(2 + 5)^{2} = 49$ e $4 + 20 + 25 = 49$ ✓. E se o termo do meio fosse 11x em vez de 10x? Não seria quadrado perfeito — nenhum número ao quadrado dá 25 com dobro 11. Aí a fatoração pediria Bhaskara ou soma e produto.

Quais os erros mais comuns?

01
Escrever (a+b)² = a² + b²
O erro mais comum da álgebra. Faltam os dois retângulos da figura, que somam 2ab.
Como evitar: teste com números: 3 e 4 dão 49 pelo certo e 25 pelo errado. Dez segundos e a dúvida acaba.
02
Errar o sinal do b² na diferença
Em $(a - b)^{2}$ , o $b^{2}$ é POSITIVO, porque $(- b)^{2}$ é positivo. Só o termo do meio fica negativo.
Como evitar: o sinal de dentro do parêntese vai só para o termo do meio. Os extremos são sempre positivos.
03
Esquecer de elevar o coeficiente junto
Em $(2 x)^{2}$ , o resultado é $4 x^{2}$ , não $2 x^{2}$ — o expoente pega o 2 também.
Como evitar: escreva o termo entre parênteses antes de elevar: $(2 x)^{2} = 2^{2} x^{2}$ .

FAQ: perguntas sobre os produtos notáveis

Qual é a fórmula do quadrado da soma?

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . O termo do meio é o dobro do produto dos dois termos.

De onde vem o 2ab?

Dos dois produtos cruzados. Distribuindo $(a + b) (a + b)$ aparecem quatro termos, e os dois do meio, ab e ba, são iguais — somados dão 2ab.

Por que (a+b)² não é a² + b²?

Porque a potência não distribui sobre a soma. Geometricamente, faltariam os dois retângulos ab do quadrado maior. Teste com 3 e 4: 49 contra 25.

No quadrado da diferença, por que só o meio é negativo?

Porque $(- b)^{2}$ é positivo — menos com menos dá mais. Só o termo cruzado $a (- b)$ fica negativo, e ele aparece duas vezes.

Como reconhecer um trinômio quadrado perfeito?

Verifique se o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos e se o do meio é o dobro do produto das raízes deles. Se as três condições valem, é quadrado perfeito.

Para que serve reconhecer produto notável?

Para fatorar, simplificar frações algébricas, resolver equações e completar quadrados — que é justamente como se deduz a fórmula de Bhaskara.

Existe produto notável do cubo?

Existe: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Os coeficientes 1, 3, 3, 1 vêm do Triângulo de Pascal, e a lógica é a mesma da distributiva.

Qual a relação com a diferença de quadrados?

São primos: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ . Ali os termos cruzados se CANCELAM em vez de somar, e por isso não sobra termo do meio.

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Produtos notáveis: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Quais são os produtos notáveis?

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Quais os erros mais comuns?

Escrever (a+b)² = a² + b²

Errar o sinal do b² na diferença

Esquecer de elevar o coeficiente junto

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