Geometria Plana na FUVEST: revisão com questões resolvidas

Q: Por que dois segmentos de tangência a partir do mesmo ponto são iguais?

Ligando o centro O ao ponto externo P, formam-se dois triângulos retângulos com a hipotenusa OP em comum e um cateto igual ao raio. Pelo Pitágoras, os outros catetos, PA e PB, são iguais. Os triângulos são congruentes e OP é bissetriz do ângulo em P.

Q: Como saber se um quadrilátero é inscritível?

Basta que dois ângulos opostos somem 180^\circ; como a soma interna é 360^\circ, o outro par também soma 180^\circ. A razão: ângulos inscritos opostos enxergam arcos complementares, que juntos fecham 360^\circ.

Q: Como calcular a área de um hexágono equiângulo com lados diferentes?

Cada ângulo interno vale 120^\circ. Prolongando lados alternados, formam-se triângulos equiláteros nos cantos e um equilátero grande. Subtrai-se, da área do grande, as áreas dos pequenos, usando A=(L²√3)/(4).

Q: Preciso saber o teorema de Stewart ou dá para resolver só com a lei dos cossenos?

Dá para resolver com duas leis dos cossenos (ângulos θ e 180^\circ-θ, equações multiplicadas e somadas para eliminar o cosseno). O teorema de Stewart é o resultado final desse processo e encurta a conta: b² m+c² n=a(d²+mn).

Esta aula em 108 minutos: o índice

Atualizado em set/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. Esta página é o capítulo de Geometria Plana da aula, em texto, com o minuto de cada passo. Sem resumo de legenda: é a explicação do professor, editada.

No vídeo	O que acontece
10:14:00	Introdução: a geometria, as construções e as cinco questões sem desenho
10:16:00	Questão 1: circunferência inscrita no triângulo retângulo, tangentes 3 e 7
10:19:00	Bissetriz: a definição de gente grande (lugar geométrico)
10:30:00	Questão 2: triângulo equilátero inscrito, PB = 3 e PC = 5; ângulo inscrito e central
10:33:00	Medida do arco não é comprimento do arco
10:38:00	Lei dos cossenos: L = 7 (e por que o triângulo 3-5-8 não existe)
10:46:00	Teorema de Ptolomeu: AP = 8 e a área sem conhecer L
10:53:00	Quando um quadrilátero é inscritível: ângulos opostos somam 180°
10:59:00	Fórmulas de Heron e de Brahmagupta: 16√3 pela terceira vez
11:04:00	Questão 3: hexágono equiângulo e a construção do triângulo equilátero grande
11:23:00	Questão 4: incentro, reta paralela a BC e semelhança pelos perímetros
11:41:00	Questão 5: perímetros iguais, teorema de Stewart e a dedução por duas leis dos cossenos

Circunferência inscrita no triângulo retângulo: tangentes iguais e o truque do r² + 10r

A aula abre com a ideia de que a geometria desenvolve criatividade e senso de beleza (o professor cita Platão: a geometria atrai a alma para a verdade) e anuncia cinco questões, todas lidas sem desenho. Saber montar a figura a partir do texto já é parte da dificuldade.

Primeira questão: uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo tangencia a hipotenusa em um ponto que a divide em segmentos de $3$ e $7$ . Qual é a área do triângulo?

A propriedade central é esta: se de um ponto $P$ fora da circunferência saem duas retas tangentes, tocando-a em $A$ e $B$ , então $P A = P B$ . A razão é que, ligando o centro $O$ a $P$ , os raios $O A$ e $O B$ são perpendiculares às tangentes. Surgem dois triângulos retângulos com um cateto igual (o raio) e a hipotenusa $O P$ em comum; pelo Pitágoras, o outro cateto também é igual. Os dois triângulos são congruentes.

Na questão, o vértice do ângulo reto, o centro e os dois pontos de tangência formam um quadrado de lado $r$ . Nos outros dois vértices, os segmentos de tangência repetem o $3$ e o $7$ ao longo dos catetos. Os catetos medem então $r + 3$ e $r + 7$ , e a hipotenusa mede $10$ .

A área é $\frac{(r + 3) (r + 7)}{2} = \frac{r^{2} + 10 r + 21}{2}$ . Pelo Pitágoras, $1 0^{2} = (r + 3)^{2} + (r + 7)^{2}$ , que dá $100 = 2 r^{2} + 20 r + 58$ , ou seja, $r^{2} + 10 r = 21$ . Substituindo, a área é $\frac{21 + 21}{2} = 21$ .

O professor destaca a malandragem: resolver a quadrática para achar $r$ leva a uma raiz feia, que ainda teria de ser elevada ao quadrado e multiplicada por $10$ , com risco de erro de conta. Como a área só pede a combinação $r^{2} + 10 r$ , basta isolá-la direto da equação. Segundo ele, 90% da questão está na propriedade do ponto de tangência; o resto é um Pitágoras.

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Bissetriz como lugar geométrico: a definição que o professor cobra

Aproveitando que os triângulos congruentes da questão anterior mostram que $O P$ divide o ângulo ao meio, o professor faz uma digressão sobre o que é, de fato, uma bissetriz. Ele distingue duas versões. A versão infantil diz que a bissetriz é a semirreta que divide o ângulo no meio. A versão rigorosa diz que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos dois lados do ângulo.

Para entender, considere dois segmentos $P A$ e $P B$ que se encontram em $P$ . Escolhe-se um ponto qualquer e mede-se a distância até cada lado; distância, aqui, é sempre a menor, isto é, a perpendicular. O conjunto de todos os pontos cujas duas distâncias são iguais forma uma reta: se o ponto estiver mais para um lado, fica mais perto desse lado. Essa reta é a bissetriz. Repare que a definição nem menciona ângulo.

A divisão do ângulo ao meio é uma consequência. Os dois triângulos retângulos formados pelo ponto, o vértice e os pés das perpendiculares têm a mesma hipotenusa e um cateto igual (a distância); logo o outro cateto também é igual, os triângulos são congruentes e os ângulos opostos ao lado igual são iguais.

O professor brinca que esta é a pergunta número um para testar alguém: se a resposta for apenas "divide o ângulo no meio", a pessoa conhece a versão de menino; quem responde com o lugar geométrico passa para a próxima fase. Matematicamente, comenta, é condição necessária, mas não suficiente.

Essa definição reaparece duas vezes no capítulo: na questão 1, o centro da circunferência é equidistante (distância igual ao raio) das duas tangentes, portanto está na bissetriz; e na questão do incentro, em que a definição rigorosa é a chave.

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Triângulo equilátero inscrito: ângulo inscrito, arco e lei dos cossenos

Segunda questão: o triângulo equilátero $A B C$ está inscrito em uma circunferência e o ponto $P$ pertence ao arco $B C$ que não contém $A$ , com $P B = 3$ e $P C = 5$ . Qual é a área do quadrilátero $A B P C$ ?

O professor alerta para a leitura do texto: "arco $B C$ " pode ser qualquer um dos dois arcos entre $B$ e $C$ , e o enunciado especifica o que não contém $A$ , ou seja, o menor. O quadrilátero fica dividido em dois triângulos: o equilátero $A B C$ e o triângulo $B P C$ .

A propriedade fundamental é a do ângulo inscrito: se o ângulo central que enxerga um arco vale $2 θ$ , qualquer ângulo com vértice na circunferência que enxerga o mesmo arco vale $θ$ . O arco $B C$ mede $12 0^{\circ}$ (o ângulo inscrito $A$ vale $6 0^{\circ}$ , o dobro). O ponto $P$ enxerga o arco maior, de $24 0^{\circ}$ , então o ângulo $\hat{B P C}$ vale $12 0^{\circ}$ .

Cuidado com a linguagem: a medida de um arco (em graus) é a abertura do ângulo central e não depende do raio; o comprimento depende. Um arco de $3 0^{\circ}$ tem comprimento $d = \frac{30}{360} \cdot 2 π r$ (regra de três com a circunferência inteira). Dois arcos de $3 0^{\circ}$ em circunferências de raios diferentes têm a mesma medida e comprimentos distintos.

Primeira solução, pelo caminho mais comum: chamando o lado do equilátero de $L$ , a lei dos cossenos no triângulo $B P C$ dá $L^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 12 0^{\circ}$ . Como $\cos 12 0^{\circ} = - \cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , resulta $L^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ e $L = 7$ . Os lados $3$ , $5$ e $7$ formam o famoso triângulo $3$ - $5$ - $7$ , o que tem um ângulo de $12 0^{\circ}$ .

Na conversa, o apresentador chegou a dizer $3$ - $5$ - $8$ , e o professor aproveita para mostrar que esse triângulo não existe: o maior lado precisa ser menor que a soma dos outros dois. Imaginando barras articuladas de $3$ e $5$ sobre o lado de $8$ , só se fecha com as barras deitadas, o que não forma triângulo. Essa é a desigualdade triangular.

Área: $\frac{L^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot s e n 12 0^{\circ} = \frac{49 \sqrt{3}}{4} + \frac{15 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}$ , usando a fórmula da área com dois lados e o ângulo entre eles.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:30:00)

Teorema de Ptolomeu: segunda solução, sem precisar do lado L

Há uma segunda solução para a questão do equilátero inscrito, que usa o teorema de Ptolomeu. O professor reconhece que ele não é estritamente necessário para a FUVEST, mas é simples e pode ser uma carta na manga.

O teorema vale para quadrilátero inscritível, isto é, com os quatro vértices na circunferência: o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos. No quadrilátero $A B P C$ , as diagonais são $A P$ e $B C$ , e os pares de lados opostos são $B P$ com $A C$ , e $P C$ com $A B$ . Portanto $A P \cdot B C = B P \cdot A C + P C \cdot A B$ .

Como o triângulo $A B C$ é equilátero, $A B = A C = B C = L$ . A equação fica $A P \cdot L = 3 L + 5 L$ . Dividindo por $L$ (o lado desaparece), $A P = 3 + 5 = 8$ . O professor nota que foi esse $8$ que gerou a confusão do $3$ - $5$ - $8$ mais cedo: $8$ é a diagonal $A P$ , não um lado de triângulo.

Com $A P = 8$ a área sai sem conhecer $L$ . Divide-se o quadrilátero pela diagonal $A P$ em dois triângulos. No triângulo $A P C$ , o ângulo em $P$ enxerga o arco $A C$ de $12 0^{\circ}$ , logo vale $6 0^{\circ}$ ; no triângulo $A B P$ , o ângulo em $P$ enxerga o arco $A B$ , também de $12 0^{\circ}$ , e vale $6 0^{\circ}$ . Usando a área com dois lados e o ângulo entre eles:

$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot s e n 6 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot s e n 6 0^{\circ} = \frac{(40 + 24)}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3}$ .

Os dois caminhos dão o mesmo resultado e têm dificuldade parecida. A lição do professor: ao ver circunferência com triângulo inscrito, lembre dos ângulos inscritos; se aparecer um quadrilátero inscritível, lembre de Ptolomeu.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:46:00)

Quadriláteros inscritíveis, fórmula de Heron e fórmula de Brahmagupta

Já que o assunto é o quadrilátero inscritível, o professor pergunta quando um quadrilátero pode ser inscrito em uma circunferência. Um retângulo pode; um losango alongado, não, pois uma circunferência que passasse por três vértices deixaria o quarto de fora.

A razão está nos ângulos inscritos. Em um quadrilátero inscrito, dois ângulos opostos, $α$ e $β$ , enxergam arcos complementares, de $2 α$ e $2 β$ , que juntos fecham a circunferência: $2 α + 2 β = 36 0^{\circ}$ , logo $α + β = 18 0^{\circ}$ . Como a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ , o quadrilátero soma $36 0^{\circ}$ , e garantir um par de opostos somando $18 0^{\circ}$ garante o outro par. No exemplo, $6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

A fórmula de Heron calcula a área de um triângulo conhecendo só os três lados $a$ , $b$ , $c$ : $A = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , com $p$ o semiperímetro. É útil porque dispensa ângulo e altura; o triângulo é rígido (os três lados determinam a forma), então a área só depende deles.

A fórmula de Brahmagupta é a parente para quadrilátero inscritível de lados $a$ , $b$ , $c$ , $d$ : $A = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}$ , com $p$ o semiperímetro (sem o fator $p$ do lado de fora).

Aplicada à questão 2, com lados $7$ , $7$ , $3$ e $5$ : $p = \frac{22}{2} = 11$ , e $A = \sqrt{(11 - 7) (11 - 7) (11 - 3) (11 - 5)} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{768} = 16 \sqrt{3}$ . É a terceira solução para a mesma questão. O professor diz que não é estritamente necessário para a prova, mas que, na estrada que a FUVEST começou a trilhar, convém estar bem armado.

▶ Ver este trecho no vídeo (10:53:00)

Hexágono equiângulo: a construção do triângulo equilátero grande

Terceira questão: um hexágono convexo $A B C D E F$ tem todos os ângulos internos congruentes, com $A B = 2$ , $B C = 3$ , $C D = 4$ e $E F = 1$ . Qual é a sua área? O professor considera a mais difícil de montar do capítulo, porque o hexágono não é regular e não há simetria.

Primeiro passo: a soma dos ângulos internos de um hexágono é $(6 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 72 0^{\circ}$ , e como os seis são iguais, cada um mede $12 0^{\circ}$ , como no hexágono regular. Equiângulo não é o mesmo que equilátero; aqui os ângulos são iguais e os lados, não.

Segundo passo, a sacada: prolongar lados alternados. Cada ângulo externo é $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ , então os prolongamentos formam, em cada canto, um triângulo equilátero, e o conjunto delimita um triângulo equilátero grande. Para qualquer hexágono equiângulo essa construção sempre funciona.

O lado do triângulo grande é a soma de três pedaços, e os três lados são iguais. Pela figura da aula, o lado vale $11$ : um lado do grande é $3 + 4 + 4$ (triângulo de lado $3$ , lado $C D = 4$ , triângulo de lado $4$ ) e outro é $3 + 2 + x$ , o que dá $x = 6$ para o lado desconhecido. A conferência fecha: $6 + 1 + 4 = 11$ .

A área é calculada indiretamente: calcula-se o todo e subtrai-se o que não se quer. Com $A = \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}$ para cada triângulo equilátero, a área do hexágono é $\frac{\sqrt{3}}{4} (1 1^{2} - 6^{2} - 4^{2} - 3^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 60 = 15 \sqrt{3}$ . O professor compara com problemas de combinatória em que é mais fácil contar o total e tirar o que não interessa.

Ele apresenta ainda duas variantes. Na primeira, como os lados opostos continuam paralelos, atravessar a faixa entre duas paralelas pelos dois caminhos exige a mesma componente vertical, e a soma dos lados de um lado é igual à do outro ( $3 + 4 = x + 1$ , de novo $x = 6$ ). Na segunda, completa-se um retângulo e subtraem-se quatro triângulos $3 0^{\circ}$ - $6 0^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ . O método generaliza para o octógono equiângulo, com ângulos de $4 5^{\circ}$ .

▶ Ver este trecho no vídeo (11:04:00)

O incentro, a reta paralela e a razão de semelhança pelos perímetros

Quarta questão: no triângulo $A B C$ , com $A B = 8$ , $A C = 12$ e $B C = 10$ , seja $I$ o incentro. A reta que passa por $I$ e é paralela a $B C$ corta $A B$ em $M$ e $A C$ em $N$ . Qual é a medida de $M N$ ?

A chave é a definição de bissetriz como lugar geométrico. O incentro é o centro da circunferência inscrita. Se $I$ está na bissetriz de um vértice, então está a mesma distância dos dois lados desse vértice; repetindo para os vértices vizinhos, $I$ fica a mesma distância $r$ dos três lados. Isso mostra, ao mesmo tempo, que as três bissetrizes se encontram em $I$ e que existe uma circunferência de raio $r$ tangente aos três lados.

Agora, ligue $I$ aos vértices $B$ e $C$ : essas retas são bissetrizes. Chamando de $α$ o ângulo $\hat{I B C}$ , a paralela $M N$ forma com $B I$ o ângulo alterno interno $α$ também. Em $M B I$ , os ângulos em $B$ e em $I$ são iguais, o triângulo é isósceles e $M I = M B$ . Do mesmo modo, em $N I C$ , $N I = N C$ .

O professor então escolhe o perímetro do triângulo $A M N$ : $A M + M I + I N + N A$ . Substituindo $M I = M B$ e $I N = N C$ , vem $(A M + M B) + (A N + N C) = A B + A C = 8 + 12 = 20$ . O truque funciona porque o triângulo $A M N$ não tem lado conhecido, mas o perímetro sim.

Como $M N ∥ B C$ , os triângulos $A M N$ e $A B C$ são semelhantes (ângulo comum e ângulos correspondentes iguais). A razão de semelhança vale para qualquer medida linear correspondente: lados, alturas, raios das circunferências inscritas e circunscritas e perímetros. Pelos perímetros, $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ , e então $\frac{M N}{10} = \frac{2}{3}$ , de onde $M N = \frac{20}{3}$ . Para áreas, a razão seria elevada ao quadrado.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:23:00)

Perímetros iguais e o teorema de Stewart (ou duas leis dos cossenos)

Quinta questão: no triângulo $A B C$ , $A B = 9$ , $A C = 11$ e $B C = 10$ . O ponto $D$ no lado $B C$ é tal que os triângulos $A B D$ e $A C D$ têm o mesmo perímetro. Qual é o comprimento de $A D$ ?

A parte fácil: com $B D = m$ e $D C = 10 - m$ , e $A D = x$ , igualar perímetros dá $9 + x + m = 11 + x + 10 - m$ . O $x$ se cancela e resulta $2 m = 12$ , logo $B D = 6$ e $D C = 4$ . O professor avisa que a conta $21 - 9$ é a mais perigosa da questão.

Caminho comum: aplicar a lei dos cossenos nos dois triângulos. Seja $θ$ o ângulo $\hat{A D B}$ ; então $\hat{A D C} = 18 0^{\circ} - θ$ . Como $\cos (18 0^{\circ} - θ) = - \cos θ$ , as equações são $81 = 36 + x^{2} - 12 x \cos θ$ e $121 = 16 + x^{2} + 8 x \cos θ$ . Cada uma tem duas incógnitas, $x$ e $θ$ . Multiplicando a primeira por $4$ e a segunda por $6$ , os termos em $x \cos θ$ ficam $- 48 x \cos θ$ e $+ 48 x \cos θ$ e se cancelam na soma. O professor observa que esse é o ponto em que muita gente se perde, tentando achar o cosseno desnecessariamente.

Atalho: o teorema de Stewart, válido para qualquer triângulo com uma ceviana $A D$ que divide o lado $B C = a$ em $B D = m$ e $D C = n$ : $A B^{2} \cdot n + A C^{2} \cdot m = a (A D^{2} + m n)$ . O resultado da soma acima é exatamente isso. Uma dica para lembrar: cada termo tem a forma lado ao quadrado vezes um segmento, então todos têm "unidade de metro cúbico".

Aplicando: $9^{2} \cdot 4 + 1 1^{2} \cdot 6 = 10 (x^{2} + 6 \cdot 4)$ , ou seja, $324 + 726 = 10 x^{2} + 240$ . Daí $10 x^{2} = 810$ , $x^{2} = 81$ e $x = 9$ . O professor defende gastar uns minutos aprendendo a ferramenta, pois a conta fica simples e o conhecimento se paga em questões em que a ceviana é pedida.

▶ Ver este trecho no vídeo (11:41:00)

As fórmulas desta aula

Tangentes a partir de um ponto externo

P A = P B

Quando duas retas tangentes à mesma circunferência saem de um ponto externo $P$ e tocam em $A$ e $B$: os segmentos de tangência são iguais.

Teorema de Pitágoras

a^{2} = b^{2} + c^{2}

No triângulo retângulo, para ligar os catetos à hipotenusa (aqui, $10^2=(r+3)^2+(r+7)^2$).

Bissetriz como lugar geométrico

d (P, {lado}_{1}) = d (P, {lado}_{2}) \Leftrightarrow P \in bissetriz

Quando um ponto está a mesma distância de dois lados (distância medida pela perpendicular): ele está na bissetriz do ângulo. O incentro usa isso.

Ângulo inscrito e ângulo central

inscrito = \frac{1}{2} central = \frac{1}{2} arco

Quando um ângulo com vértice na circunferência enxerga um arco; vale para qualquer ponto que enxergue o mesmo arco.

Comprimento de um arco

d = \frac{α}{36 0^{\circ}} \cdot 2 π r

Para passar da medida angular de um arco ($\alpha$) ao seu comprimento (regra de três com a circunferência inteira).

Lei dos cossenos

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

Para achar um lado conhecendo os outros dois e o ângulo entre eles (aqui, $L^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ$).

Seno e cosseno do suplemento

s e n (18 0^{\circ} - θ) = s e n θ, \cos (18 0^{\circ} - θ) = - \cos θ

Para trocar um ângulo obtuso pelo agudo (ex.: $\cos120^\circ=-\tfrac12$) e para eliminar $\cos\theta$ ao somar duas leis dos cossenos.

Desigualdade triangular

a < b + c (o maior lado \overset{ˊ}{e} menor que a soma dos outros dois)

Para saber se três medidas formam um triângulo (3, 5, 8 não formam, pois $3+5=8$).

Área do triângulo com dois lados e o ângulo entre eles

A = \frac{1}{2} a b s e n θ

Quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles, sem altura.

Área do triângulo equilátero

A = \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}

Para qualquer triângulo equilátero de lado $L$, incluindo os triângulos auxiliares da construção do hexágono.

Teorema de Ptolomeu

A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C

Em quadrilátero inscritível $ABCD$: produto das diagonais igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Quadrilátero inscritível

\hat{A} + \hat{C} = 18 0^{\circ} \Leftrightarrow \hat{B} + \hat{D} = 18 0^{\circ}

Para verificar se um quadrilátero cabe em uma circunferência: ângulos opostos suplementares.

Soma dos ângulos internos

S_{i} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

Para qualquer polígono de $n$ lados; no equiângulo, cada ângulo é $S_i/n$ (hexágono: $120^\circ$).

Fórmula de Heron

A = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}, p = \frac{a + b + c}{2}

Para a área de um triângulo conhecendo apenas os três lados.

Fórmula de Brahmagupta

A = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}, p = \frac{a + b + c + d}{2}

Para a área de um quadrilátero inscritível conhecendo os quatro lados.

Razão de semelhança e perímetros

\frac{ℓ}{ℓ^{'}} = \frac{2 p}{2 p^{'}}, \frac{A}{A^{'}} = {(\frac{ℓ}{ℓ^{'}})}^{2}

Em triângulos semelhantes, qualquer medida linear correspondente (lado, altura, raio, perímetro) tem a mesma razão; áreas, o quadrado dela.

Incentro

I = encontro das bissetrizes internas, d (I, lados) = r

Ponto equidistante dos três lados e centro da circunferência inscrita; liga a bissetriz aos triângulos isósceles com uma paralela a um lado.

Teorema de Stewart

A B^{2} \cdot D C + A C^{2} \cdot B D = B C (A D^{2} + B D \cdot D C)

Para o comprimento de uma ceviana $AD$ que divide o lado $BC$ em $BD$ e $DC$, em qualquer triângulo.

Fichas completas: lei dos cossenos pitagoras proporcao produtos notaveis

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Resolvida na aulaquestão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo tangencia a hipotenusa em um ponto que a divide em dois segmentos de medidas $3$ e $7$ . Qual é a área do triângulo?

Segmentos de tangência a partir de um mesmo ponto são iguais: junto ao ângulo reto, os dois segmentos valem o raio $r$ , e os catetos medem $r + 3$ e $r + 7$ .
Hipotenusa: $3 + 7 = 10$ .
Pitágoras: $1 0^{2} = (r + 3)^{2} + (r + 7)^{2} \Rightarrow 100 = 2 r^{2} + 20 r + 58 \Rightarrow r^{2} + 10 r = 21$ .
Área: $\frac{(r + 3) (r + 7)}{2} = \frac{r^{2} + 10 r + 21}{2} = \frac{21 + 21}{2} = 21$ .

Resposta: $21$ (unidades de área).

Armadilha: Resolver a quadrática para achar $r$ (raiz feia) e depois elevar ao quadrado: o caminho é longo e propenso a erro. A área só pede $r^{2} + 10 r$ , que sai direto da equação.

▶ Ver no vídeo (10:16:00)

Questão 02 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Resolvida na aulaquestão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

O triângulo equilátero $A B C$ está inscrito em uma circunferência. O ponto $P$ pertence ao arco $B C$ que não contém $A$ , de modo que $P B = 3$ e $P C = 5$ . Qual é a área do quadrilátero $A B P C$ ?

$\hat{B A C} = 6 0^{\circ}$ enxerga o arco $B C$ de $12 0^{\circ}$ ; $P$ enxerga o arco maior ( $24 0^{\circ}$ ), logo $\hat{B P C} = 12 0^{\circ}$ .
Lei dos cossenos em $B P C$ : $L^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2}) = 49$ , $L = 7$ .
Área $= \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot s e n 12 0^{\circ} = \frac{49 \sqrt{3}}{4} + \frac{15 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}$ .
Solução 2 (Ptolomeu): $A P \cdot L = 3 L + 5 L \Rightarrow A P = 8$ ; com $\hat{A P C} = \hat{A P B} = 6 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3}$ .
Solução 3 (Brahmagupta): lados $7, 7, 3, 5$ , $p = 11$ : $\sqrt{4 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 6} = 16 \sqrt{3}$ .

Resposta: $16 \sqrt{3}$ unidades de área.

Armadilha: Confundir a diagonal $A P = 8$ com um lado e achar que existe um triângulo $3$ - $5$ - $8$ (não existe: $3 + 5 = 8$ viola a desigualdade triangular); e esquecer que o $\cos 12 0^{\circ}$ é negativo, o que muda o sinal na lei dos cossenos.

▶ Ver no vídeo (10:30:00)

Questão 03 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Resolvida na aulaquestão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Um hexágono convexo $A B C D E F$ tem todos os ângulos internos congruentes, com $A B = 2$ , $B C = 3$ , $C D = 4$ , $D E = 4$ ? e $E F = 1$ (a legenda diz "DEF é 1"; $D E = 4$ foi inferido da solução). Qual é a área do hexágono?

Cada ângulo interno: $\frac{(6 - 2) \cdot 18 0^{\circ}}{6} = 12 0^{\circ}$ .
Prolongar lados alternados: os ângulos externos de $6 0^{\circ}$ formam triângulos equiláteros nos cantos e um triângulo equilátero grande.
Lado do grande: $3 + 4 + 4 = 11$ ; também $3 + 2 + x = 11 \Rightarrow x = F A = 6$ ; conferência $6 + 1 + 4 = 11$ .
Área $= \frac{\sqrt{3}}{4} (1 1^{2} - 6^{2} - 4^{2} - 3^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 60 = 15 \sqrt{3}$ .

Resposta: $15 \sqrt{3}$ unidades de área (conferir o enunciado exato na tela, ver dúvidas).

Armadilha: Tentar dividir o hexágono em triângulos pequenos em vez de construir a figura maior e subtrair; e tratar "equiângulo" como "regular".

▶ Ver no vídeo (11:04:00)

Questão 04 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Resolvida na aulaquestão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

No triângulo $A B C$ , $A B = 8$ , $A C = 12$ e $B C = 10$ . Seja $I$ o incentro. A reta que passa por $I$ e é paralela a $B C$ intercepta $A B$ em $M$ e $A C$ em $N$ . Qual é a medida de $M N$ ?

O incentro está na bissetriz de cada vértice. Com $M N ∥ B C$ , os ângulos alternos internos mostram $M I = M B$ e $N I = N C$ (triângulos isósceles).
Perímetro de $A M N$ : $A M + M I + I N + N A = (A M + M B) + (A N + N C) = A B + A C = 20$ .
Perímetro de $A B C$ : $8 + 12 + 10 = 30$ . Razão de semelhança: $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ .
$\frac{M N}{B C} = \frac{2}{3} \Rightarrow M N = \frac{2}{3} \cdot 10$ .

Resposta: $M N = \frac{20}{3}$

Armadilha: Não conhecer a definição de bissetriz como lugar geométrico e, por isso, não perceber que $I$ gera dois triângulos isósceles; ou usar a razão de semelhança só com lados, esquecendo que perímetros também servem.

▶ Ver no vídeo (11:23:00)

Questão 05 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Resolvida na aulaquestão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

No triângulo $A B C$ , $A B = 9$ , $A C = 11$ e $B C = 10$ . O ponto $D$ do lado $B C$ é tal que os triângulos $A B D$ e $A C D$ têm o mesmo perímetro. Qual é o comprimento de $A D$ ?

Com $B D = m$ , $D C = 10 - m$ e $A D = x$ : $9 + x + m = 11 + x + 10 - m \Rightarrow m = 6$ ; $B D = 6$ , $D C = 4$ .
Stewart: $A B^{2} \cdot D C + A C^{2} \cdot B D = B C (A D^{2} + B D \cdot D C)$ , ou seja, $81 \cdot 4 + 121 \cdot 6 = 10 (x^{2} + 24)$ .
$324 + 726 = 10 x^{2} + 240 \Rightarrow 10 x^{2} = 810 \Rightarrow x^{2} = 81$ .
Alternativa: duas leis dos cossenos com $θ$ e $18 0^{\circ} - θ$ , multiplicadas por $4$ e $6$ e somadas (os termos em $\cos θ$ se cancelam).

Resposta: $A D = 9$

Armadilha: Errar a aritmética de $21 - 9$ e de $10 - 9$ ; tentar calcular o cosseno (desnecessário); ou associar o quadrado do lado ao segmento errado (deve ser o segmento oposto).

▶ Ver no vídeo (11:41:00)

Erros que derrubam nota em geometria plana

01
Tentar resolver o r da questão 1 pela quadrática em vez
Tentar resolver o r da questão 1 pela quadrática em vez de isolar r² + 10r direto.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
02
Esquecer que segmentos de tangência a partir do mesmo ponto
Esquecer que segmentos de tangência a partir do mesmo ponto externo são iguais.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
03
Definir bissetriz só como semirreta que divide o ângulo
Definir bissetriz só como semirreta que divide o ângulo no meio, sem usar a equidistância dos lados quando o problema exige (incentro).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
04
Confundir medida de arco
Confundir medida de arco (graus, depende só do ângulo central) com comprimento de arco (depende do raio).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
05
Esquecer que cos 120° = -1/2 e errar o sinal da lei
Esquecer que cos 120° = -1/2 e errar o sinal da lei dos cossenos.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
06
Aceitar um triângulo 3-5-8 sem checar a desigualdade
Aceitar um triângulo 3-5-8 sem checar a desigualdade triangular (3 + 5 = 8 não fecha triângulo).
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
07
Aplicar Ptolomeu ou Brahmagupta a quadrilátero que não é
Aplicar Ptolomeu ou Brahmagupta a quadrilátero que não é inscritível.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
08
Achar que equiângulo implica regular; o hexágono equiângulo
Achar que equiângulo implica regular; o hexágono equiângulo tem lados diferentes.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
09
Tentar picar o hexágono em triângulos pequenos em vez
Tentar picar o hexágono em triângulos pequenos em vez de construir a figura maior e subtrair.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
10
Na semelhança por perímetros, esquecer que a razão de áreas
Na semelhança por perímetros, esquecer que a razão de áreas é o quadrado da razão linear.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
11
Aplicar Stewart ou as duas leis dos cossenos trocando
Aplicar Stewart ou as duas leis dos cossenos trocando o segmento oposto, ou errar a conta 21 - 9.
Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Geometria Plana na FUVEST

Por que dois segmentos de tangência a partir do mesmo ponto são iguais?

Ligando o centro $O$ ao ponto externo $P$ , formam-se dois triângulos retângulos com a hipotenusa $O P$ em comum e um cateto igual ao raio. Pelo Pitágoras, os outros catetos, $P A$ e $P B$ , são iguais. Os triângulos são congruentes e $O P$ é bissetriz do ângulo em $P$ .

Qual é a definição correta de bissetriz?

Segundo o professor, a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos dois lados do ângulo (distância medida pela perpendicular). Dividir o ângulo ao meio é uma consequência, não a definição. Essa visão é essencial para o incentro.

Qual é a diferença entre medida e comprimento de um arco?

A medida é a abertura do ângulo central que enxerga o arco e não depende do raio. O comprimento depende do raio: $d = \frac{α}{36 0^{\circ}} \cdot 2 π r$ . Dois arcos de $3 0^{\circ}$ em circunferências diferentes têm a mesma medida e comprimentos diferentes.

Quando posso usar o teorema de Ptolomeu?

Somente em quadrilátero inscritível (vértices na circunferência). Nele, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos. O professor lembra que não é estritamente necessário para a FUVEST, mas é simples e economiza conta.

Como saber se um quadrilátero é inscritível?

Basta que dois ângulos opostos somem $18 0^{\circ}$ ; como a soma interna é $36 0^{\circ}$ , o outro par também soma $18 0^{\circ}$ . A razão: ângulos inscritos opostos enxergam arcos complementares, que juntos fecham $36 0^{\circ}$ .

Como calcular a área de um hexágono equiângulo com lados diferentes?

Cada ângulo interno vale $12 0^{\circ}$ . Prolongando lados alternados, formam-se triângulos equiláteros nos cantos e um equilátero grande. Subtrai-se, da área do grande, as áreas dos pequenos, usando $A = \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Para que serve o fato de a razão de semelhança valer para perímetros?

Porque qualquer medida linear correspondente (lados, alturas, raios, perímetros) tem a mesma razão. Quando um triângulo semelhante não tem lados conhecidos, mas o perímetro sim, a razão dos perímetros resolve o problema, como na questão do incentro.

Preciso saber o teorema de Stewart ou dá para resolver só com a lei dos cossenos?

Dá para resolver com duas leis dos cossenos (ângulos $θ$ e $18 0^{\circ} - θ$ , equações multiplicadas e somadas para eliminar o cosseno). O teorema de Stewart é o resultado final desse processo e encurta a conta: $b^{2} m + c^{2} n = a (d^{2} + m n)$ .

Esta aula em 108 minutos: o índice

Circunferência inscrita no triângulo retângulo: tangentes iguais e o truque do r² + 10r

Bissetriz como lugar geométrico: a definição que o professor cobra

Triângulo equilátero inscrito: ângulo inscrito, arco e lei dos cossenos

Teorema de Ptolomeu: segunda solução, sem precisar do lado L

Quadriláteros inscritíveis, fórmula de Heron e fórmula de Brahmagupta

Hexágono equiângulo: a construção do triângulo equilátero grande

O incentro, a reta paralela e a razão de semelhança pelos perímetros

Perímetros iguais e o teorema de Stewart (ou duas leis dos cossenos)

As fórmulas desta aula

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Questão 02 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Questão 03 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Questão 04 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Questão 05 · questão de treino do professor, sem desenho (banca e ano não citados)?

Erros que derrubam nota em geometria plana

Tentar resolver o r da questão 1 pela quadrática em vez

Esquecer que segmentos de tangência a partir do mesmo ponto

Definir bissetriz só como semirreta que divide o ângulo

Confundir medida de arco

Esquecer que cos 120° = -1/2 e errar o sinal da lei

Aceitar um triângulo 3-5-8 sem checar a desigualdade

Aplicar Ptolomeu ou Brahmagupta a quadrilátero que não é

Achar que equiângulo implica regular; o hexágono equiângulo

Tentar picar o hexágono em triângulos pequenos em vez

Na semelhança por perímetros, esquecer que a razão de áreas

Aplicar Stewart ou as duas leis dos cossenos trocando

FAQ: Geometria Plana na FUVEST

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