Trigonometria na FUVEST: o que cai e como resolver

Esta aula em 87 minutos: o índice

Máximo e mínimo de 2 sen x + 3 cos x: o raciocínio que falha e o que mostra o 3,6

A primeira questão traz um contexto longo, mas o que se pede é o valor mínimo (ou máximo) da função $f(x)=2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+3\cos x$. Se a função tivesse só um dos termos, seria trivial: como $-1\le \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\le 1$, basta multiplicar a desigualdade pela constante. Assim, $2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ fica entre $-2$ e $2$, e $3\cos x$ fica entre $-3$ e $3$.

O raciocínio tentador é somar as duas desigualdades e concluir que $f(x)$ está entre $-5$ e $5$. O professor chama esse raciocínio de razoável, mas ele esquece que as duas parcelas dependem do mesmo $x$. Se fosse $\cos y$, com outra variável, daria para escolher cada ângulo separadamente e o limite seria atingido. Com o mesmo $x$, escolher um valor para o seno trava o valor do cosseno.

Para ver isso com números: $x=90^{\circ }$ faz $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=1$ e o primeiro termo vale $2$, mas já fixa $\cos x=0$ e o segundo termo vale $0$. Chegar a $5$ exigiria seno e cosseno iguais a $1$ ao mesmo tempo, o que é impossível para o mesmo ângulo. Por isso o $5$ nunca é atingido.

Também não funciona maximizar só o cosseno, por ser o termo de maior coeficiente: com $x=0^{\circ }$ o resultado é $3+0=3$, mas valores intermediários podem dar mais. O professor insiste que esses testes servem apenas para "ganhar intimidade" com a função, e não como método.

Para mostrar como os dois estão presos um ao outro, o professor escolhe $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=3\mathrm{/}5$. No triângulo retângulo de lados $3$, $4$ e $5$, o cosseno fica determinado: $\cos x=4\mathrm{/}5$. Não existe liberdade para escolher o cosseno que se quiser.

Substituindo: $f(x)=2\cdot \frac{3}{5}+3\cdot \frac{4}{5}=\frac{6}{5}+\frac{12}{5}=\frac{18}{5}=3,6$. Esse valor já passa de $3$, que era o máximo do cosseno sozinho, e está bem abaixo do $5$ da soma ingênua.

A lição é que o máximo de $f$ ocorre em um ângulo em que nem o seno nem o cosseno estão no seu máximo individual, mas a soma é máxima. Ele lembra também que a pergunta pode pedir apenas o valor máximo, não o ângulo: não é preciso saber qual ângulo tem seno $3\mathrm{/}5$, basta calcular $f$ ($3,6$ nesse caso).

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A sacada: transformar a soma em um único seno com um triângulo auxiliar

O problema da função é ter um seno e um cosseno somados. Se houvesse um só, a limitação entre $-1$ e $1$ resolveria tudo. A ideia é compactar a expressão no seno de uma única coisa, usando a fórmula $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cos a$.

O obstáculo é que os coeficientes $2$ e $3$ não podem ser seno ou cosseno de nada, pois valem mais que $1$. A adaptação é construir um triângulo retângulo auxiliar com catetos $2$ e $3$. Por Pitágoras, a hipotenusa vale $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. Chamando $y$ o ângulo com cateto oposto $3$ e adjacente $2$, temos $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}y=3\mathrm{/}\sqrt{13}$ e $\cos y=2\mathrm{/}\sqrt{13}$.

Daí vem a substituição: $3=\sqrt{13}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}y$ e $2=\sqrt{13}\cos y$. O professor admite que trocar um número simples por uma expressão maior parece "um grande passo para trás", mas é um passo atrás para dar dois à frente.

Escrevendo a função: $f(x)=\sqrt{13}\cos y\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+\sqrt{13}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}y\cos x$. Colocando $\sqrt{13}$ em evidência, aparece $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\cos y+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}y\cos x$, que é exatamente $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+y)$. Logo $f(x)=\sqrt{13}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+y)$.

Como o seno de qualquer coisa fica entre $-1$ e $1$, multiplicando por $\sqrt{13}$ obtemos $-\sqrt{13}\le f(x)\le \sqrt{13}$. O ângulo $y$ não é uma variável nova: é uma constante determinada por $2$ e $3$ (aquele cuja tangente é $3\mathrm{/}2$). Não precisa saber seu valor, nem se é notável. Como ele é fixo, sempre existe um $x$ que atinge o máximo e o mínimo.

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Atalho e generalização: a·sen x + b·cos x

Depois de entender a dedução, o professor mostra que dá para usar só o resultado final. Para $4\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+6\cos x$, o máximo é $\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}$ e o mínimo é $-\sqrt{52}$.

Quando os coeficientes dão um ângulo notável, há uma alternativa. Em $f(x)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+\sqrt{3}\cos x$, o valor $\sqrt{1+3}=2$ é o máximo e $-2$ o mínimo. Dividindo tudo por $2$: $\frac{1}{2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$. Como $\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }$, vem $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\cos 60^{\circ }+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }\cos x=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+60^{\circ })$. Portanto $f(x)=2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+60^{\circ })$, entre $-2$ e $2$. Aqui o ângulo auxiliar é notável; no caso anterior era o ângulo de tangente $3\mathrm{/}2$.

O caso geral é $f(x)=a\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x+b\cos x$. Divide-se tudo por $\sqrt{a^2+b^2}$. As frações $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ e $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ têm soma dos quadrados igual a $1$ (relação fundamental), então podem ser vistas como cosseno e seno de um ângulo $y$, com $\tan y=b\mathrm{/}a$. Resulta $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+y)$, que fica entre $-\sqrt{a^2+b^2}$ e $\sqrt{a^2+b^2}$.

Se o sinal for negativo ($a\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x-b\cos x$), nada muda: aparece $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x-y)$. O mesmo vale se a combinação resultar em um cosseno de $x\pm y$, pois o seno ou cosseno de qualquer coisa continua limitado entre $-1$ e $1$.

O professor comenta que esse tipo de questão é clássico em vestibulares militares e que a FUVEST está subindo a régua para esse nível. Para quem nunca viu o truque, o aluno poderia passar uma hora ou um dia sem sair do lugar.

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Somatório infinito de cos^{2n}θ: abrir o somatório e enxergar uma PG

A segunda questão envolve notação de somatório, assunto que a FUVEST passou a cobrar. O professor conta que no simulado extraoficial aberto de seu curso (mais de 3.000 participantes) a questão mais errada foi de somatório, e que ela não era difícil: o erro vinha de não conhecer a notação.

O enunciado diz que existe um ângulo $\theta$ tal que ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cos }^{2n}\theta =2$, e pede $\cos 3\theta$. O conselho é abrir o somatório: para $n=1,2,3,4,\dots$ os termos são ${\cos }^2\theta ,{\cos }^4\theta ,{\cos }^6\theta ,{\cos }^8\theta ,\dots$ Cada termo é o anterior multiplicado por ${\cos }^2\theta$. É uma PG de primeiro termo $a_1={\cos }^2\theta$ e razão $q={\cos }^2\theta$.

Para a soma infinita ser finita, a razão tem de estar entre $0$ e $1$. Isso vale porque o cosseno está entre $-1$ e $1$ e, elevado ao quadrado, fica entre $0$ e $1$ (o enunciado exclui $\theta$ com cosseno de módulo $1$ ou nulo, o que evita casos como $0^{\circ }$, $180^{\circ }$, $90^{\circ }$ e $270^{\circ }$). Termos cada vez menores permitem somar infinitos sem estourar. Exemplo: $1+0,1+0,01+\cdots =1,111\dots$, que nem chega a $1,2$.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:25:00)

De onde vem a soma da PG infinita e como ela resolve a questão

O professor aproveita para relembrar a dedução da fórmula. Seja $S=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\dots$ Multiplicando os dois lados por $q$: $qS=a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\dots$ O lado direito é a soma original sem o primeiro termo, isto é, $qS=S-a_1$.

Isso troca uma equação com infinitos termos por uma de três termos. Isolando: $a_1=S-qS=S(1-q)$, logo $S={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}$, válida com razão entre $0$ e $1$.

Na questão, $a_1=q={\cos }^2\theta$. Então ${\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{1-{\cos }^2\theta }}=2$. Pela relação fundamental, $1-{\cos }^2\theta ={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\theta$, e a fração vira ${\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\theta }}={\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\theta }}$. Logo ${\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\theta }}=2$, ou seja, ${\tan }^2\theta =\frac{1}{2}$ e $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ (positiva, por o ângulo estar no primeiro quadrante). O professor avisa que esse ângulo não é $45^{\circ }$: $\sqrt{2}\mathrm{/}2$ seria seno ou cosseno de $45^{\circ }$, não a tangente.

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Calculando cos 3θ a partir da tangente

Falta lembrar o que se pede: $\cos 3\theta$. Existe a fórmula do arco triplo, mas o professor a considera dispensável e prefere decompor: $\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )=\cos 2\theta \cos \theta -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2\theta \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$. Para isso são necessários $\cos \theta$, $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$, $\cos 2\theta$ e $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2\theta$.

Com $\tan \theta =1\mathrm{/}\sqrt{2}$, constrói-se um triângulo retângulo de catetos $1$ (oposto) e $\sqrt{2}$ (adjacente), com hipotenusa $\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$. Daí: $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Usando $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ (versão obtida de ${\cos }^2-{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2$ trocando ${\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2=1-{\cos }^2$): $\cos 2\theta =2\cdot \frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$. E $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2\theta =2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta \cos \theta =2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (também poderia sair da relação fundamental com $\cos 2\theta$).

Substituindo: $\cos 3\theta =\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$. Racionalizando: $-\frac{\sqrt{6}}{9}$.

O resultado negativo não é erro. O professor testa com ângulos conhecidos: com $\theta =30^{\circ }$ o triplo é $90^{\circ }$ (cosseno zero), e com $\theta =40^{\circ }$ o triplo é $120^{\circ }$, de cosseno negativo. Ele destaca que a questão revisa somatório, PG e trigonometria.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:39:00)

Somatório de sen(kπ/3) até 100: ciclo trigonométrico e periodicidade

A terceira questão pede $S={\sum }_{k=1}^{100}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\right)$. O professor ressalta que um limite como $100$ é sinal de que a soma não deve ser feita termo a termo: é preciso achar um padrão.

Abrindo os termos: $k=1$ dá $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\pi \mathrm{/}3)$, $k=2$ dá $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\pi \mathrm{/}3)$, $k=3$ dá $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\pi$, e assim por diante. Cada $k$ adicional soma $\pi \mathrm{/}3$ ($60^{\circ }$) ao ângulo. No ciclo trigonométrico, os seis primeiros pontos são $60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ },360^{\circ }$. O sexto fecha uma volta completa ($6\pi \mathrm{/}3=2\pi$), e a partir do sétimo os valores se repetem de seis em seis.

Os senos desses seis pontos são $\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0$. Pela simetria em relação ao eixo horizontal, os senos de pontos simétricos se anulam, e a soma de cada bloco de seis termos é zero.

Dividindo $100$ por $6$: $6\times 16=96$, e sobram $4$. Há então $16$ blocos completos (soma zero) e mais os quatro primeiros termos de um novo ciclo: $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Portanto $S=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

O professor comenta que essa questão é mais fácil que a anterior, pois usa só ângulos notáveis e a simetria do círculo.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:49:00)

Torre de observação: triângulo isósceles, relações métricas e arco duplo

O enunciado descreve um triângulo retângulo auxiliar $ABC$, reto em $C$, cuja altura $CH$ relativa à hipotenusa $AB$ a divide em dois segmentos na razão $1:4$. No topo da torre, dois cabos de comprimento $L$ partem de um mesmo ponto e formam entre si um ângulo igual ao dobro do menor ângulo agudo de $ABC$. Eles se fixam nas extremidades de uma viga horizontal de comprimento $D$. Pede-se $D$ em função de $L$.

O primeiro passo é descobrir qual dos dois ângulos agudos é o menor; chamando-o $\alpha$, o ângulo entre os cabos é $2\alpha$. Com os segmentos $m$ e $4m$, a relação métrica da altura $h^2=m\cdot 4m$ (que vem da semelhança de triângulos) dá $h=2m$. As tangentes dos ângulos agudos são $\frac{2m}{4m}=\frac{1}{2}$ e $\frac{2m}{m}=2$. No primeiro quadrante a tangente cresce com o ângulo, então o menor ângulo é o de tangente $\frac{1}{2}$. No triângulo com catetos $2m$ e $4m$, a hipotenusa é $2\sqrt{5}m$, então $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha =\frac{2m}{2\sqrt{5}m}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Para ligar $D$ a $L$ há dois caminhos. No primeiro, traça-se a altura do triângulo isósceles formado pelos cabos e a viga: ela também é bissetriz e mediana, dividindo o ângulo $2\alpha$ em dois ângulos $\alpha$. Resulta $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha =\frac{D\mathrm{/}2}{L}$, ou seja, $D=2L\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$.

No segundo, usa-se a lei dos cossenos: $D^2=L^2+L^2-2L^2\cos 2\alpha =2L^2(1-\cos 2\alpha )$. Com $\cos 2\alpha =1-2{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\alpha$, temos $1-\cos 2\alpha =2{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\alpha$ e $D^2=4L^2{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\alpha$, de onde $D=2L\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$. O professor diz que essa identidade do arco duplo é, na opinião dele, talvez até mais importante que a relação fundamental, por gerar muitas outras.

Em ambos os caminhos: $D=2L\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}L$. O professor confessa que ele mesmo foi primeiro pela lei dos cossenos e só depois percebeu que bastava baixar a altura do triângulo isósceles: quanto mais ferramentas, mais fácil perder a visão do caminho simples.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:02:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: lei dos cossenos pitagoras termo geral da pg proporcao

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · FUVEST (ano não citado)? — questão de máximo/mínimo, contexto longo omitido na aula

Questão 02 · exemplos do professor

Questão 03 · FUVEST? (ano não citado; a questão é associada pelo professor ao que a banca passou a cobrar)

Questão 04 · FUVEST? (ano não citado)

Questão 05 · FUVEST? (enunciado 'lido do celular'; ano não citado)

Erros que derrubam nota em trigonometria

1. 01

   Somar os limites de seno e cosseno de parcelas que dependem

   Somar os limites de seno e cosseno de parcelas que dependem do mesmo ângulo (dá -5 a 5 na questão 1, valor nunca atingido).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Esquecer que, ao fixar x para maximizar o seno, o cosseno

   Esquecer que, ao fixar x para maximizar o seno, o cosseno fica travado (e vice-versa).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que o máximo está onde o termo de maior coeficiente

   Achar que o máximo está onde o termo de maior coeficiente atinge o seu máximo (cosseno igual a 1).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Confundir tan θ = 1/√2 com ângulo notável de 45°

   Confundir tan θ = 1/√2 com ângulo notável de 45° (√2/2 é seno/cosseno de 45°, não tangente).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Parar na tangente e esquecer de calcular o que o enunciado

   Parar na tangente e esquecer de calcular o que o enunciado pede (cos 3θ).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Estranhar um cosseno negativo

   Estranhar um cosseno negativo: 3θ pode passar de 90°.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Tentar somar na mão um somatório com limite grande

   Tentar somar na mão um somatório com limite grande (100), em vez de buscar o padrão e o período.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
8. 08

   Não baixar a altura em triângulo isósceles e complicar

   Não baixar a altura em triângulo isósceles e complicar com lei dos cossenos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
9. 09

   Esquecer que a soma de PG infinita só vale com razão entre 0

   Esquecer que a soma de PG infinita só vale com razão entre 0 e 1.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Trigonometria na FUVEST