PA e PG: fórmulas, diferença e como reconhecer

Qual é a diferença entre PA e PG?

É uma operação só. Na PA você soma. Na PG você multiplica. Tudo o mais, das fórmulas ao gráfico, decorre disso.

Na sequência 2, 5, 8, 11, 14, soma-se 3 a cada passo: é uma PA de razão r = 3. Na sequência 3, 6, 12, 24, 48, multiplica-se por 2 a cada passo: é uma PG de razão q = 2. A pergunta que resolve quase qualquer dúvida é esta: o que se mantém igual entre termos vizinhos, a diferença ou o quociente?

Esta página junta as duas progressões, para você comparar fórmula com fórmula. Se quiser a dedução completa de cada uma, os artigos de progressão aritmética e de progressão geométrica fazem isso.

As fórmulas lado a lado

A tabela reúne o que você precisa nas duas. Repare no paralelo: o que a PA faz com soma e multiplicação, a PG faz com multiplicação e potência.

As fichas de cada fórmula, com exemplo, estão em Termo geral da PA Termo geral da PG Soma dos termos da PA Soma da PG

Por que o termo geral usa n − 1 e não n?

Esse é o ponto que mais gente decora sem entender. Pense na PA 2, 5, 8, 11, 14. Para chegar ao segundo termo você somou a razão uma vez. Para chegar ao terceiro, duas. Ao quinto, quatro. Em cada termo, a razão foi somada uma vez a menos do que a posição dele, porque o primeiro termo já está dado e não recebe nada. Daí:

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

Na PG o raciocínio é o mesmo, com multiplicação. O quinto termo de 3, 6, 12, 24, 48 é 3·2·2·2·2 = 3·2⁴ = 48: quatro multiplicações, e não cinco. Daí:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Se você esquecer a fórmula, refaça a contagem: parta do primeiro termo e aplique a razão n − 1 vezes. Na aula, o professor diz que prefere que você saiba reconstruir a fórmula a que a decore.

Como somar os termos de uma PA e de uma PG?

PA: o truque de Gauss. Para somar de 1 a 100, junte o primeiro com o último (1 + 100 = 101), o segundo com o penúltimo (2 + 99 = 101), e assim por diante. Todos os pares valem 101 e há 50 pares: $S=50\cdot 101=5050$. Em geral, com n termos há n/2 pares:

PG: soma finita. Para n termos e razão diferente de 1, vale:

PG: soma infinita. Aqui a razão decide tudo. Se q > 1, os termos crescem e a soma é infinita. Se 0 < q < 1, os termos encolhem tanto que a soma converge. A dedução cabe em duas linhas: chame de S a soma 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + …; dobrando, 2S = 4 + 2 + 1 + 1/2 + … = 4 + S, logo S = 4. Com letras:

Conferindo o exemplo: $S=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots ={\displaystyle \frac{2}{1-\frac{1}{2}}}=4$. A fórmula só vale com a razão entre 0 e 1.

Como reconhecer PA e PG no enunciado?

O enunciado raramente diz "progressão". Ele descreve uma regra, e você traduz. Duas pistas bastam:

Outro atalho vale para três termos consecutivos a, b, c: em PA o do meio é a média aritmética, $b={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$; em PG, a média geométrica, $b^2=a\cdot c$. Para montar três termos de uma PA, chame-os de x − r, x, x + r: a soma já elimina a razão.

Dois exemplos resolvidos da aula

PA: o 21º termo de 11, 20, 29, 38, …

O primeiro termo é 11 e a cada passo soma-se 9, logo r = 9. Escrever 21 termos é possível, mas ninguém escreveria 123. O termo geral resolve de uma vez:

Cuidado para não confundir o 11 que é o valor do primeiro termo com a posição do termo.

PG: o 13º termo de 1, √2, 2, 2√2, …

O primeiro termo é 1 e a razão é q = √2, porque 1·√2 = √2 e √2·√2 = 2. Então:

O truque é reescrever o expoente 12 como 2·6: potência e raiz são operações inversas, então (√2)² = 2 e sobra 2⁶.

A PG infinita no ENEM: a assinatura vitalícia

A aula de PG parte de um problema no modelo ENEM: um aluno que paga R$ 2.150 por ano pelos três cursos recebe 50% de desconto para renovar, sempre sobre o que pagou no ano anterior, e a pergunta é o valor de uma assinatura perpétua paga uma única vez. Os pagamentos são 2.150, 1.075, 537,50, … : uma PG de razão 1/2, que é decrescente e portanto tem soma finita.

A resposta é R$ 4.300,00. A armadilha é aplicar a fórmula da soma infinita sem checar que a razão está entre 0 e 1, e a lição prática é que "para sempre" não significa "infinito" quando cada parcela vale uma fração da anterior. O próprio professor lembra que, na vida real, o modelo ignora inflação e reajuste.

Juros compostos são uma PG (e os simples, uma PA)

É a aplicação mais cobrada de progressões. Com juros simples, o mesmo valor é somado a cada período: $M=C(1+in)$, uma PA. Com juros compostos, o montante é multiplicado por 1 + i a cada período: $M=C(1+i{)}^n$, que é o termo geral de uma PG de razão 1 + i. Veja R$ 1.000 a 2% ao mês nos dois regimes:

A diferença é pequena no começo e vai abrindo, porque a PG acumula sobre o que já acumulou. Para a dedução completa, veja Juros compostos: a fórmula e um exemplo

Os erros mais comuns com PA e PG

1. 01

   Usar n em vez de n − 1 no termo geral

   Com a_1 + n·r você soma a razão uma vez a mais do que devia. O primeiro termo já é a_1 e não recebe razão nenhuma.

   Como evitar: teste a fórmula com n = 1: tem de devolver o próprio a_1.
2. 02

   Aplicar a soma infinita da PG com razão maior que 1

   A fórmula a_1/(1 − q) só vale para 0 < q < 1. Com q > 1 os termos crescem e a soma é infinita, não negativa nem finita.

   Como evitar: antes de usar a fórmula, escreva a razão e confira se está entre 0 e 1.
3. 03

   Trocar PA por PG em "aumento de 20%"

   Aumentar 20% é multiplicar por 1,2, não somar 20. Percentual constante é PG; valor absoluto constante é PA.

   Como evitar: pergunte: o que se mantém igual, o valor somado ou o fator multiplicado?

FAQ: pa e pg