Fórmula da soma da PA: Sn = (a₁ + aₙ)·n/2 e Gauss

Q: Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PA?

Sn = (a₁ + aₙ) · n / 2: o primeiro termo mais o último, vezes o número de termos, dividido por 2.

Q: Quanto dá a soma de 1 a 100?

5050. São 50 pares de 101 (1+100, 2+99, 3+98…), e 50 · 101 = 5050. Pela fórmula: (1+100) · 100/2 = 5050.

Q: Como somar os termos de uma PA sem saber o último?

Calcule antes aₙ = a₁ + (n−1) · r, ou use direto Sn = [2a₁ + (n−1)r] · n/2. Exemplo: na PA 3, 7, 11, … com 20 termos, a₂₀ = 3 + 19 · 4 = 79 e S₂₀ = (3+79) · 20/2 = 820.

Q: Quanto vale a soma dos n primeiros números ímpares?

n². Os ímpares 1, 3, 5, … formam uma PA com a₁ = 1 e aₙ = 2n−1, logo Sn = (1 + 2n − 1) · n/2 = n². Os 10 primeiros somam 100.

Qual é a fórmula da soma dos termos da PA?

Para uma PA com primeiro termo $a_{1}$ , último termo $a_{n}$ e $n$ termos:

Se você não souber o último termo, o termo geral resolve: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ . Trocando na soma, sai uma segunda versão, útil quando o enunciado dá a razão e não o último termo.

Soma dos n primeiros termos

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Primeiro mais último, vezes n, dividido por 2. Cada par de termos equidistantes das pontas vale $a_{1} + a_{n}$ , e há $n / 2$ pares.

Versão com a razão (sem o último termo)

S_{n} = \frac{[2 a_{1} + (n - 1) \cdot r] \cdot n}{2}

É a mesma fórmula com $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ no lugar de $a_{n}$ . Use quando o último termo não é dado.

Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

Quatro letras — e uma delas, o n, é onde a prova costuma cobrar a atenção:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$S_{n}$	soma dos n primeiros termos	mesma unidade dos termos
$a_{1}$	primeiro termo da soma	valor, não posição
$a_{n}$	último termo da soma	valor, não posição
$n$	quantidade de termos somados	número inteiro positivo

De onde vem a fórmula?

A fórmula nasce de uma história que o professor conta na aula: um professor do ensino fundamental, para ocupar alunos agitados, mandou somar todos os números de 1 a 100. Gauss, ainda criança, levantou a mão em poucos minutos, porque percebeu um padrão.

Somando o primeiro com o último, $1 + 100 = 101$ . O segundo com o penúltimo, $2 + 99 = 101$ . O terceiro com o antepenúltimo, $3 + 98 = 101$ . Todo par de termos equidistantes das pontas dá a mesma soma. Então não precisa somar um por um: basta juntar em pares.

Quantos pares? São 100 números, e cada par usa dois, então são $100 / 2 = 50$ pares de 101: $50 \cdot 101 = 5050$ . Trocando 1 por $a_{1}$ , 100 por $a_{n}$ e 100 termos por $n$ termos, o resultado é exatamente a fórmula. Divide-se n por 2 porque se formam $n / 2$ pares.

Falta justificar que todo par vale o mesmo numa PA qualquer. Vale porque, ao andar um passo para dentro a partir de uma ponta, você soma $r$ de um lado e subtrai $r$ do outro — e os dois efeitos se cancelam.

Por que todo par vale a₁ + aₙ

a_{k} + a_{n + 1 - k} = [a_{1} + (k - 1) r] + [a_{1} + (n - k) r] = 2 a_{1} + (n - 1) r = a_{1} + a_{n}

O k-ésimo termo a partir do início e o k-ésimo a partir do fim sempre somam o mesmo valor, o do primeiro par.

Contando os pares

S_{n} = \underset{cada par}{\underset{⏟}{(a_{1} + a_{n})}} \cdot \underset{nº de pares}{\underset{⏟}{\frac{n}{2}}}

n termos formam n/2 pares iguais. A soma é o valor de um par vezes o número de pares.

E se o número de termos for ímpar? Aí sobra um termo no meio sem par, e a conta continua certa: o termo do meio vale exatamente a metade de $a_{1} + a_{n}$ , então ele funciona como “meio par”. Teste com 1, 2, 3, 4, 5: $(1 + 5) \cdot 5 / 2 = 15$ , que é 1+2+3+4+5.

Selo Demonstrável — deduzida do que já estava estabelecido: a definição de PA (cada termo é o anterior somado da razão) e a aritmética dos pares. O truque de Gauss não é só uma história bonita; ele é a própria dedução.

Progressão aritmética (PA): fórmulas, soma e exercícios

Quando usar (e quando não)?

Use sempre que o enunciado pedir a soma de termos consecutivos de uma PA: os múltiplos de 7 até 100, as poltronas de um teatro cuja fileira cresce de 3 em 3, as parcelas de um pagamento que sobe um valor fixo a cada mês. O sinal é “soma” junto de uma regularidade do tipo “a cada vez, mais tanto”.

Não use se a sequência cresce multiplicando por um fator: aí é PG, e a soma tem outra fórmula. Também não vale para termos não consecutivos sem antes reorganizar a conta. Quando o último termo não é dado, calcule-o pelo termo geral primeiro (ou use a versão com a razão).

A pegadinha número 1: errar o n. Entre os múltiplos de 7, de 7 até 98, há 14 termos — não 13, nem 91. Conte com $n = (a_{n} - a_{1}) / r + 1$ antes de somar.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê: os múltiplos de 7 vão de 7 a 98, uns 14 números, com valor médio perto de 50. Então a soma deve ficar perto de $14 \cdot 52 \approx 730$ . Guarda isso e confere no fim:

🪖 ProvaA soma dos múltiplos de 7 até 100

Qual é a soma de todos os múltiplos positivos de 7 menores que 100?

Os termos formam uma PA: $7, 14, 21, \dots, 98$ , com $a_{1} = 7$ e $r = 7$ . O último é $a_{n} = 98$ .
Quantidade de termos: $n = \frac{98 - 7}{7} + 1 = 13 + 1 = 14$ .
Soma dos extremos: $a_{1} + a_{n} = 7 + 98 = 105$ .
Soma: $S_{14} = \frac{105 \cdot 14}{2} = 105 \cdot 7 = 735$ .

S_{14} = 735

Verificação: bateu com a previsão de ~730. Conferindo pela versão com a razão: $[2 \cdot 7 + 13 \cdot 7] \cdot 14 / 2 = 105 \cdot 7 = 735$ . E se o limite fosse 200 em vez de 100? Os termos vão até 196, são 28 (o dobro), e a soma é $(7 + 196) \cdot 28 / 2 = 2842$ . O número de termos dobrou e a soma quase quadruplicou (2842 ÷ 735 ≈ 3,9): dobrar n aumenta tanto a quantidade de pares quanto o valor de cada par.

Quais os erros mais comuns?

01
Esquecer de dividir por 2
Multiplicar $a_{1} + a_{n}$ por n dá o dobro da soma: você contou cada termo duas vezes, uma em cada ponta do par.
Como evitar: confira com uma PA minúscula: 1, 2, 3 deve dar 6, e $(1 + 3) \cdot 3 / 2 = 6$ .
02
Contar errado o número de termos
Usar o último termo como n, ou esquecer de somar 1 em $(a_{n} - a_{1}) / r$ . Entre 7 e 98 de 7 em 7 são 14 termos, não 13.
Como evitar: calcule n pela fórmula do termo geral isolando n e teste: a posição do último termo tem que dar exatamente a_n.
03
Aplicar a uma sequência que não é PA
A fórmula depende de pares equidistantes valerem o mesmo, o que só ocorre com razão constante. Em 2, 4, 8, 16 (PG), os pares não batem.
Como evitar: antes de somar, verifique se a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma.

FAQ: perguntas sobre a soma dos termos da PA

Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PA?

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ : o primeiro termo mais o último, vezes o número de termos, dividido por 2.

De onde vem a fórmula da soma da PA?

Da ideia de Gauss: o primeiro termo mais o último vale o mesmo que o segundo mais o penúltimo, e assim por diante. Há $n / 2$ pares iguais, cada um valendo $a_{1} + a_{n}$ .

Quanto dá a soma de 1 a 100?

5050. São 50 pares de 101 (1+100, 2+99, 3+98…), e $50 \cdot 101 = 5050$ . Pela fórmula: $(1 + 100) \cdot 100 / 2 = 5050$ .

Como somar os termos de uma PA sem saber o último?

Calcule antes $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ , ou use direto $S_{n} = [2 a_{1} + (n - 1) r] \cdot n / 2$ . Exemplo: na PA 3, 7, 11, … com 20 termos, $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$ e $S_{20} = (3 + 79) \cdot 20 / 2 = 820$ .

A fórmula funciona se o número de termos for ímpar?

Sim. Sobra um termo central sem par, mas ele vale a metade de $a_{1} + a_{n}$ , então a conta fecha. Exemplo: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 5) \cdot 5 / 2 = 15$ .

Quanto vale a soma dos n primeiros números ímpares?

$n^{2}$ . Os ímpares 1, 3, 5, … formam uma PA com $a_{1} = 1$ e $a_{n} = 2 n - 1$ , logo $S_{n} = (1 + 2 n - 1) \cdot n / 2 = n^{2}$ . Os 10 primeiros somam 100.

Preciso decorar a fórmula da soma da PA para o ENEM?

O mais importante é entender o pareamento: somar o primeiro com o último e multiplicar pela metade do número de termos. Quem lembra a história de Gauss reconstrói a fórmula na hora, mesmo com a prova pesando.

A soma de uma PG usa a mesma fórmula?

Não. Na PG os pares equidistantes não somam o mesmo valor; a soma tem fórmula própria, $S_{n} = a_{1} (q^{n} - 1) / (q - 1)$ .

Cursos

Física

Matemática

ENEM

Vestibulares

Fórmulas

Fórmula da soma dos termos da PA: Sn = (a₁ + aₙ)·n/2

Qual é a fórmula da soma dos termos da PA?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Esquecer de dividir por 2

Contar errado o número de termos

Aplicar a uma sequência que não é PA

FAQ: perguntas sobre a soma dos termos da PA

Continue no Guia de Fórmulas

Guia de Fórmulas Explicadas

Termo geral da PA

Soma da PG

Termo geral da PG

Fórmulas de Matemática