Fórmula da PA: termo geral aₙ = a₁ + (n−1)·r explicado

Q: Qual é a fórmula do termo geral da PA?

an = a1 + (n−1)·r: o primeiro termo mais (n−1) saltos de razão r. Dá qualquer termo direto.

Q: Como achar a razão de uma PA?

Subtraindo termos consecutivos: r = a2 − a1. Entre termos distantes, r = (aq − ap)/(q − p).

Q: Qual a fórmula da soma da PA?

Sn = (a1 + an)·n/2: a média dos extremos vezes a quantidade de termos.

Q: Qual a diferença entre PA e PG?

PA soma uma razão fixa; PG multiplica por uma razão fixa. O termo geral da PG usa potência: an = a1·q^(n−1).

Q: Por que o gráfico de uma PA é sempre uma reta?

Porque o termo geral é uma função do primeiro grau em n: an = rn + (a1 − r), no formato y = mx + b.

Q: Por que Gauss somou 1 a 100 tão rápido?

Porque os extremos somam sempre o mesmo: 1+100 = 2+99 = 101. São 50 pares de 101, logo 5.050.

Q: Por que termos simétricos de uma PA somam o mesmo valor?

Porque andar um passo para dentro soma r de um lado e subtrai r do outro, cancelando os efeitos.

Qual é a fórmula do termo geral da PA?

Pra uma PA de primeiro termo $a_{1}$ e razão r:

Termo geral da PA

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

Pra chegar ao enésimo termo, você parte do primeiro e dá (n−1) saltos de tamanho r. Os saltos são sempre um a menos que os termos.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

Quatro símbolos, e o (n−1) é o protagonista:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a_{n}$	o termo da posição n (o que você procura)	—
$a_{1}$	o primeiro termo	—
$n$	a posição na sequência	inteiro ≥ 1
$r$	a razão: «K: a_{n+1} - a_n », constante	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que (n−1) e não n? Conta os saltos. Do 1º pro 2º termo: um salto. Do 1º pro 3º: dois saltos. Do 1º pro enésimo: n−1 saltos. Entre n termos existem n−1 espaços — o mesmo motivo pelo qual uma cerca com 10 estacas tem 9 vãos.

Formalmente, a PA é definida pela recorrência $a_{n + 1} = a_{n} + r$ . Aplica ela repetidas vezes a partir do primeiro termo:

Dedução · empilhando a recorrência

a_{2} = a_{1} + r, a_{3} = a_{1} + 2 r, \dots a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

Cada linha soma um r a mais. Na posição n, foram n−1 somas — e o padrão é a própria fórmula.

Um jeito de nunca mais errar o (n−1): pensa numa cerca. Dez estacas têm nove vãos entre elas. Os termos são as estacas; os saltos de razão são os vãos. Sempre um a menos.

Você pode estar pensando: “por que o gráfico de uma PA é sempre uma reta?” Porque $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ é uma função do primeiro grau em n: reescrevendo, $a_{n} = r n + (a_{1} - r)$ , que tem a cara de $y = m x + b$ . A razão r é o coeficiente angular — ela É a inclinação da reta. PA e função afim são o mesmo objeto, um no discreto e outro no contínuo.

Selo Demonstrável: a fórmula é a definição de PA aplicada n−1 vezes de uma vez só. Quem entende o salto nunca mais confunde o expoente da PG com o coeficiente da PA.

Progressão aritmética: fórmulas, soma e exercícios

Quando usar (e quando não)?

Use pra achar um termo distante sem listar a sequência, pra descobrir a posição de um valor ( $n$ ) ou pra achar a razão dados dois termos quaisquer: entre $a_{p}$ e $a_{q}$ existem (q−p) saltos.

Combinada com a soma $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ , resolve o pacote completo de PA das provas.

A fórmula supõe razão CONSTANTE. Sequência em que a diferença muda (1, 2, 4, 7, 11…) não é PA — e o ENEM adora disfarçar. Teste a diferença entre três pares de termos antes de aplicar.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê a ordem de grandeza: a PA começa em 3 e anda de 4 em 4. Em 20 termos são 19 saltos de 4, ou seja, algo perto de 3 + 76 ≈ 80. Se a fórmula devolver 43 ou 160, o número de saltos foi contado errado:

🪖 BásicoDireto ao 20º termo

Na PA (3, 7, 11, 15, …), qual é o 20º termo?

Identifica: $a_{1} = 3$ , razão $r = 7 - 3 = 4$ .
Termo geral: $a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 4$ .
$a_{20} = 3 + 76 = 79$ .

a_{20} = 79

Verificação: bateu com a estimativa de ~80. A paridade também fecha: todos os termos são ímpares (3 + múltiplo de 4), e 79 é ímpar. E se quisermos a SOMA dos 20 primeiros? Usa o truque de Gauss: soma os extremos e multiplica pela metade da quantidade — $(3 + 79) \cdot 20 / 2 = 820$ . Funciona porque termos simétricos de uma PA sempre somam o mesmo.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar n em vez de (n−1)
a₂₀ = 3 + 20·4 = 83 conta um salto a mais — o erro mais cometido do assunto, porque “n termos” soa como “n saltos”.
Como evitar: pensa na cerca: 10 estacas, 9 vãos. Termos são estacas; saltos de r são vãos.
02
Achar razão dividindo termos
Razão de PA é DIFERENÇA (subtração); dividir termos é coisa de PG. Misturar as duas inventa uma sequência que não existe.
Como evitar: PA anda somando; PG anda multiplicando. Teste: diferença constante → PA; quociente constante → PG.
03
Aplicar em sequência que não é PA
Se a diferença entre termos consecutivos não é sempre a mesma, o termo geral não vale — nem “mais ou menos”.
Como evitar: confira r em pelo menos dois pares antes de usar a fórmula. Custa cinco segundos e salva a questão.

FAQ: perguntas sobre o termo geral da PA

Qual é a fórmula do termo geral da PA?

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ : primeiro termo mais (n−1) saltos de razão r. Dá qualquer termo direto, sem listar os anteriores.

Por que aparece (n−1) e não n?

Porque entre n termos existem n−1 saltos. Do 1º ao 20º termo são 19 somas de r — estacas e vãos de cerca.

Como achar a razão de uma PA?

Subtraia termos consecutivos: r = a₂ − a₁. Dados dois termos distantes, $r = \frac{a_{q} - a_{p}}{q - p}$ — a diferença dividida pelo número de saltos.

Qual a fórmula da soma da PA?

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ : média dos extremos vezes a quantidade de termos. É o famoso truque de Gauss aos 9 anos.

Qual a diferença entre PA e PG?

PA soma uma razão fixa (termo geral com ×r no salto); PG multiplica (termo geral com potência de q). Somar vs. multiplicar — é toda a diferença.

Por que o gráfico de uma PA é sempre uma reta?

Porque o termo geral é uma função do primeiro grau em n: $a_{n} = r n + (a_{1} - r)$ , no formato $y = m x + b$ . A razão é o coeficiente angular — ela é a própria inclinação da reta.

Por que Gauss somou 1 a 100 tão rápido?

Porque percebeu que os extremos somam sempre o mesmo: 1+100 = 2+99 = 3+98 = 101. São 50 pares de 101, logo 5.050. É esse padrão que vira a fórmula $S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n / 2$ .

Por que termos simétricos de uma PA somam o mesmo valor?

Porque ao andar um passo para dentro pela esquerda você soma r, e pela direita subtrai r — os efeitos se cancelam. É a simetria que sustenta a fórmula da soma.

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Fórmula da PA: aₙ = a₁ + (n−1)·r

Qual é a fórmula do termo geral da PA?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar n em vez de (n−1)

Achar razão dividindo termos

Aplicar em sequência que não é PA

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