Progressão Aritmética no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 25 minutos: o índice

Como o ENEM cobra progressão aritmética

O professor não faz estatística de recorrência. Na prática, a aula mostra que a questão modelo ENEM sobre PA pode ser resolvida só com a definição (cada termo é o anterior somado da razão), sem termo geral nem soma, combinada com álgebra básica (distributiva, diferença de quadrados). Ele diz que, entendendo o processo, memorizar as duas fórmulas é quase irrelevante.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Operações com números inteiros, decimais e frações
• Equação do 1º grau
• Distributividade e fatoração (diferença de quadrados)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Termo geral: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$, com a sequência $2,5,8,11,14$ e razão $+3$
• Exemplo: $11,20,29,38,47,\dots$ com $r=9$ e $a_{21}=191$
• Soma dos termos: $S_n={\displaystyle \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$, ilustrada por $1+100$, $2+99$, $3+98$ (todos $101$)
• Questão modelo ENEM: A, B, C em PA como $x-r$, $x$, $x+r$ e produtos $x(x-r)$, $x(x+r)$, $(x-r)(x+r)$
• Resolução: $x=\frac{1}{2}$ e $r=-\frac{3}{2}$ (alternativa D)

A questão de abertura: três números em PA e uma segunda PA formada pelos produtos

O professor abre a aula, como em todas as outras, por uma questão inédita no modelo ENEM. Um pai, brincando com o filho, que aprende sobre conjuntos numéricos, vê o menino montar com plaquinhas uma sequência de três números $A$, $B$ e $C$. O pai nota que esses três números estão em progressão aritmética.

Há uma segunda observação: multiplicando os números de outra forma, é possível montar uma nova sequência, formada por $A\cdot B$, depois $B\cdot C$ e por fim $A\cdot C$. Essa nova sequência também é uma progressão aritmética, e com a mesma razão da primeira. A pergunta é qual é a razão da progressão aritmética inicial.

O professor avisa que há "um monte de coisa acontecendo" no enunciado, mas que nada ali é complicado: basta lembrar o que é uma PA. Por isso ele deixa a questão em aberto e volta a ela só depois de revisar, com calma, a definição de PA, o termo geral e a soma dos termos.

O fio condutor da aula é este: a questão não exige nenhuma fórmula decorada, apenas o entendimento de como uma PA é construída. Cada termo é o anterior somado de uma constante, e é essa ideia simples que resolve o problema mais adiante.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:23:00)

O que é uma PA: razão, avançar somando e regredir subtraindo

Antes de qualquer fórmula, o professor pede que se entenda a definição. Uma progressão aritmética é uma sequência de números com uma lógica por trás: não se trata de números jogados ao acaso, mas de uma sequência em que cada número é sempre o anterior somado de uma constante fixa. Essa constante é chamada de razão.

O exemplo é a sequência $2,5,8,11,14,17,\dots$. Para sair do $2$ e chegar ao $5$, soma-se $3$. Do $5$ para o $8$, soma-se $3$ de novo. O tempo todo se soma a mesma coisa, e essa quantidade constante é a razão da PA, aqui $r=3$. Para obter o próximo termo depois de $14$, soma-se $3$ e chega-se a $17$; depois $17+3$, e assim por diante.

O caminho inverso também vale. Cada termo é o seu próximo subtraído da razão: se o termo seguinte é $14$ e a razão é $3$, o anterior é $14-3=11$, e do $11$ se chega ao $8$ subtraindo $3$. Em resumo, para avançar nos termos soma-se a razão e, para regredir, subtrai-se a razão.

O professor insiste que essa é a ideia central do capítulo: cada termo é o anterior somado de uma razão, ou o próximo subtraído de uma razão. Quem enxerga a PA assim consegue montar as fórmulas sozinho e resolver questões mesmo sem lembrar delas.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:25:00)

Construindo o termo geral: por que é $n-1$ e não $n$

Com a definição clara, o professor constrói a fórmula do termo geral. Ele dá nomes aos termos da sequência $2,5,8,11,14,\dots$: o primeiro é $a_1$, o segundo é $a_2$, o terceiro $a_3$, e assim por diante. O índice indica a posição do termo na sequência.

O passo-chave é contar quantas vezes a razão foi somada para chegar a cada termo, partindo sempre do primeiro. Para chegar ao segundo termo, somou-se a razão uma vez. Para chegar ao terceiro, que é o $8$, duas vezes, e não três. No quarto termo, três vezes. No quinto, quatro vezes. Ou seja, em cada termo soma-se a razão uma vez a menos do que a posição dele.

A conclusão é o termo geral: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$. O enésimo termo é o primeiro termo somado da razão $n-1$ vezes. Aplicando para $n=5$, obtém-se $a_5=a_1+(5-1)\cdot r=a_1+4r$, exatamente as quatro somas contadas na sequência.

O professor explica que constrói a fórmula com tanta calma de propósito: prefere que o aluno saiba reconstruí-la a que a decore. Na pior das hipóteses, se esquecer a fórmula na hora da prova, quem entende a lógica por trás consegue refazer o raciocínio. Para ele, a fórmula é pouquíssimo relevante diante do entendimento de como a PA é montada.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:27:00)

Exemplo numérico: o 21º termo de $11,20,29,38,47,\dots$

Para fixar a ideia, o professor propõe uma sequência cujo primeiro termo é $11$ e pergunta pelo $11^{\circ }$ termo, e depois muda o pedido para o $21^{\circ }$ termo, a fim de fazer um caso um pouco mais difícil. O primeiro passo é identificar a sequência: o primeiro termo é $a_1=11$ e, de um termo ao seguinte, soma-se $9$ ($11+9=20$, $20+9=29$, $29+9=38$), de modo que a razão é $r=9$.

Uma forma de resolver seria escrever os termos um por um, somando $9$ a cada vez, até chegar lá. Funciona para poucos termos, mas o professor lembra que ninguém vai escrever 123 termos para achar o $a_{123}$. É aí que a fórmula do termo geral entra: $a_n=11+(n-1)\cdot 9$.

Com $a_1$ e $r$ já substituídos, a única variável que sobra é o $n$, e basta trocar o $n$ pela posição desejada. Ele alerta para não confundir o $11$ que é o primeiro termo com o $11$ que indica a posição do termo: um é o valor do termo, o outro é o número da posição. Para $n=21$, tem-se $a_{21}=11+(21-1)\cdot 9=11+20\cdot 9=11+180=191$.

O professor destaca que, com a fórmula, esse termo sai de imediato. Se a pergunta fosse o $58^{\circ }$ termo, bastaria colocar $n=58$ na mesma equação.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:31:00)

A soma dos termos e a história de Gauss

Para a soma dos termos de uma PA, o professor conta a história clássica de Gauss. Um professor do ensino fundamental, para dar trabalho aos alunos agitados, mandou somar todos os números de $1$ a $100$. Gauss, ainda criança, levantou a mão em poucos minutos com a resposta, porque percebeu um padrão.

Somando o primeiro termo com o último, $1+100$, dá $101$. O segundo com o penúltimo, $2+99$, também dá $101$. O terceiro com o antepenúltimo, $3+98$, também. Isso vale para qualquer par de termos equidistantes das pontas da sequência. Então não é preciso somar um por um: basta juntar os termos em pares, e cada par vale $101$.

Resta saber quantos pares há. São $100$ números, e cada par usa dois deles, então são $50$ pares. A soma é $50$ vezes $101$. Na linguagem da PA, soma-se o primeiro termo com o último, $a_1+a_n$, e multiplica-se pela metade do número de termos: $S_n={\displaystyle \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$. Divide-se $n$ por dois justamente porque se formam $n\mathrm{/}2$ pares.

Mais uma vez o professor reforça que explica a lógica com calma porque ela vale mais que a fórmula decorada. Se o aluno estiver nervoso e esquecer a equação, basta lembrar a história: somar o primeiro com o último e multiplicar pela metade do número de termos.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:35:00)

Resolvendo a questão: nomear os termos como $x-r$, $x$, $x+r$

Revisados os conceitos, o professor volta à questão. Para dar nome às coisas, chama de $x$ o termo do meio da PA inicial. Se ele vale $x$, o seguinte é $x+r$ (soma-se a razão) e o anterior é $x-r$ (subtrai-se a razão). Assim, $A=x-r$, $B=x$ e $C=x+r$, uma PA de razão $r$.

A segunda sequência é a dos produtos: $A\cdot B=x(x-r)$, $B\cdot C=x(x+r)$ e $A\cdot C=(x-r)(x+r)$. O enunciado diz que ela é uma PA de mesma razão $r$. Isso significa que, somando $r$ ao primeiro termo, chega-se ao segundo, e somando $r$ ao segundo, chega-se ao terceiro.

A primeira condição dá $x(x-r)+r=x(x+r)$. Distribuindo, $x^2-xr+r=x^2+xr$. O $x^2$ aparece dos dois lados e se cancela, sobrando $r=2xr$. Dividindo por $r$ (que não é zero), obtém-se $2x=1$, logo $x=\frac{1}{2}$. O professor lembra que ainda não se tem o $r$, mas já se tem o termo do meio.

A segunda condição dá $x(x+r)+r=(x-r)(x+r)$. O lado direito é uma diferença de quadrados: $x^2-r^2$. Novamente o $x^2$ se cancela, e fica $-r^2-xr=r$, isto é, $r^2+xr+r=0$. Fatorando $r$, tem-se $r(r+x+1)=0$.

Um produto igual a zero tem duas saídas: $r=0$ ou $r+x+1=0$. A razão zero é descartada, porque então a sequência seria o mesmo número repetido, e isso não faz sentido como PA neste problema. Resta $r+x+1=0$. Com $x=\frac{1}{2}$, vem $r=-x-1=-\frac{3}{2}$. A razão das duas progressões é $-\frac{3}{2}$, alternativa D.

O professor ressalta que não usou nem o termo geral nem a soma: usou só o entendimento de que cada termo é o anterior somado de uma razão, ou o próximo subtraído de uma razão. Por isso diz que, para PA, memorizar essas duas fórmulas é quase irrelevante para quem entende o processo.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:40:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: termo geral da pa diferenca de quadrados distributividade

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em progressão aritmética

1. 01

   Usar $n$ em vez de $n-1$ no termo geral

   Usar $n$ em vez de $n-1$ no termo geral: no quinto termo a razão foi somada quatro vezes, não cinco.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Confundir o $a_1 = 11$ com o $n = 11$ do termo pedido

   Confundir o $a_1=11$ com o $n=11$ do termo pedido: um é valor, o outro é posição.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Decorar as fórmulas sem entender a lógica e travar na prova

   Decorar as fórmulas sem entender a lógica e travar na prova quando o nervosismo faz esquecer.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Na soma, esquecer que o número de pares é $n/2$

   Na soma, esquecer que o número de pares é $n\mathrm{/}2$ e multiplicar o par $a_1+a_n$ por $n$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Deixar $r = 0$ como solução

   Deixar $r=0$ como solução: a razão zero dá uma sequência constante e é descartada.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Progressão Aritmética no ENEM