Progressão aritmética (PA): o que é, fórmulas e exercícios.

O que é uma progressão aritmética: a razão constante

Olha a sequência $3, 7, 11, 15, 19$. Saindo do $3$, cada número é o anterior mais $4$. Esse $4$ que se repete em todo passo é a razão da progressão, representada pela letra $r$. É essa soma constante que define uma PA, e nada mais.

Os elementos têm nomes próprios: o primeiro termo é $a_1$, o segundo $a_2$, até o termo de posição $n$, que chamamos de $a_n$. Repara que, com só dois ingredientes, o primeiro termo e a razão, a progressão inteira fica determinada. É pouca informação para muita coisa.

Classificação: crescente, decrescente ou constante

O sinal da razão decide o comportamento da progressão, e existem três casos.

O termo geral: prevendo qualquer termo da PA

Imagina que te pedem o 50º termo da PA $3, 7, 11, 15$. Ninguém quer somar $4$ quarenta e nove vezes na mão. É para isso que existe a fórmula do termo geral:

Voltando ao exemplo, $a_{50} = 3 + (50 - 1)\cdot 4 = 3 + 196 = 199$. Pronto, sem listar nada. O cuidado de sempre é com o $(n - 1)$: são os passos entre os termos, sempre um a menos que a posição. Esse detalhe é a fonte do erro mais comum da matéria.

A soma dos termos: Sₙ sem somar um por um

Conta-se que, ainda criança, o matemático Carl Friedrich Gauss recebeu a tarefa de somar todos os números de $1$ a $100$. Em poucos instantes ele respondeu: $5050$. Somando o primeiro com o último, $1 + 100 = 101$; o segundo com o penúltimo, $2 + 99 = 101$; e assim por diante. São $50$ pares de $101$, logo $50 \cdot 101 = 5050$.

Exemplo. Para somar os 20 primeiros termos da PA $3, 7, 11, 15$: primeiro $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$; depois $S_{20} = (3 + 79)\cdot 20 / 2 = 820$.

PA é uma função afim disfarçada

Essa parte quase nenhum material conta, e é onde a ficha cai. Pega a fórmula do termo geral e abre os parênteses:

A consequência visual é bonita: se você marcar os termos de uma PA num gráfico, com a posição $n$ no eixo horizontal, todos os pontos caem alinhados sobre uma reta. A PA é, literalmente, uma função afim cujo domínio são os números naturais. Relembre a função afim e veja a ligação na prática.

PA em ação: três exemplos resolvidos

Conceito só gruda quando vira conta. Vão três, em dificuldade crescente: um para aquecer, um intermediário, e um no estilo que o ENEM cobra.

Exemplo 1. Básico: razão e próximo termo

Exemplo 2. Intermediário: termo geral e termo distante

Exemplo 3. Avançado: contexto (estilo ENEM)

Bônus: erros clássicos e a fronteira com a PG

A PA é amigável, mas alguns deslizes se repetem em toda correção.

1. 01

   Errar o $(n - 1)$ no termo geral

   Os passos são sempre um a menos que a posição. Para o 10º termo, são 9 razões, não 10.

   Como evitar: conte os passos entre os termos, lembrando que o primeiro já nasceu pronto.
2. 02

   Trocar a razão de PA pela de PG

   Em PA, a razão é uma soma e se acha subtraindo termos. Em PG, é um produto e se acha dividindo.

   Como evitar: confirme se você soma ou multiplica para passar de um termo ao próximo.
3. 03

   Usar a soma com o termo errado

   A soma $S_n$ precisa do último termo do bloco, o $a_n$, não de um termo qualquer.

   Como evitar: calcule o $a_n$ pelo termo geral primeiro, some depois.
4. 04

   Somar termo a termo na prova

   Quando o enunciado pede a soma de muitos termos, somar um por um é perder tempo e abrir porta para erro.

   Como evitar: use sempre a fórmula da soma.

A PA soma sempre a mesma razão. A progressão geométrica faz o análogo com multiplicação. As duas costumam ser cobradas juntas, e dominar uma facilita a outra.

Perguntas frequentes sobre progressão aritmética