O que é uma progressão aritmética: a razão constante

Olha a sequência \(3, 7, 11, 15, 19\). Saindo do \(3\), cada número é o anterior mais \(4\). Esse \(4\) que se repete em todo passo é a razão da progressão, representada pela letra \(r\). É essa soma constante que define uma PA, e nada mais.

Razão da PA
\[ r = a_n - a_{n-1} \]

A razão é a diferença entre um termo e o anterior. Se ela for sempre a mesma, a sequência é uma PA. Se mudar de um par para outro, não é.

Os elementos têm nomes próprios: o primeiro termo é \(a_1\), o segundo \(a_2\), até o termo de posição \(n\), que chamamos de \(a_n\). Repara que, com só dois ingredientes, o primeiro termo e a razão, a progressão inteira fica determinada. É pouca informação para muita coisa.

Classificação: crescente, decrescente ou constante

O sinal da razão decide o comportamento da progressão, e existem três casos.

/01 · r > 0

Crescente

\(r > 0\)

Cada termo é maior que o anterior. A PA \(3, 7, 11, 15\) é crescente, com \(r = 4\).

/02 · r < 0

Decrescente

\(r < 0\)

Cada termo é menor que o anterior. A PA \(20, 16, 12, 8\) é decrescente, com \(r = -4\).

/03 · r = 0

Constante

\(r = 0\)

Todos os termos são iguais. A sequência \(5, 5, 5, 5\) é uma PA constante (pegadinha de prova).

O termo geral: prevendo qualquer termo da PA

Imagina que te pedem o 50º termo da PA \(3, 7, 11, 15\). Ninguém quer somar \(4\) quarenta e nove vezes na mão. É para isso que existe a fórmula do termo geral:

Termo geral da PA
\[ a_n = a_1 + (n - 1)\cdot r \]

Para chegar ao termo \(n\), você dá \((n-1)\) passos a partir do primeiro, cada um somando uma razão \(r\). O primeiro termo já nasceu, não precisou somar com ninguém.

Voltando ao exemplo, \(a_{50} = 3 + (50 - 1)\cdot 4 = 3 + 196 = 199\). Pronto, sem listar nada. O cuidado de sempre é com o \((n - 1)\): são os passos entre os termos, sempre um a menos que a posição. Esse detalhe é a fonte do erro mais comum da matéria.

A soma dos termos: Sₙ sem somar um por um

Conta-se que, ainda criança, o matemático Carl Friedrich Gauss recebeu a tarefa de somar todos os números de \(1\) a \(100\). Em poucos instantes ele respondeu: \(5050\). Somando o primeiro com o último, \(1 + 100 = 101\); o segundo com o penúltimo, \(2 + 99 = 101\); e assim por diante. São \(50\) pares de \(101\), logo \(50 \cdot 101 = 5050\).

Soma dos n primeiros termos
\[ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} \]

Some o primeiro com o último, multiplique pela quantidade de termos e divida por dois, porque você contou os termos emparelhados. É a generalização do truque de Gauss.

O truque de Gauss não é só uma história bonita. Ele é a própria dedução da fórmula da soma. Quem entende por que se soma o primeiro com o último nunca mais troca essa fórmula por outra na prova.

Exemplo. Para somar os 20 primeiros termos da PA \(3, 7, 11, 15\): primeiro \(a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79\); depois \(S_{20} = (3 + 79)\cdot 20 / 2 = 820\).

PA é uma função afim disfarçada

Essa parte quase nenhum material conta, e é onde a ficha cai. Pega a fórmula do termo geral e abre os parênteses:

PA reescrita
\[ a_n = a_1 + (n-1)\,r = r\cdot n + (a_1 - r) \]

Temos a razão \(r\) multiplicando \(n\), mais uma constante. É exatamente a estrutura de uma função afim \(f(x) = ax + b\).

A consequência visual é bonita: se você marcar os termos de uma PA num gráfico, com a posição \(n\) no eixo horizontal, todos os pontos caem alinhados sobre uma reta. A PA é, literalmente, uma função afim cujo domínio são os números naturais. Relembre a função afim e veja a ligação na prática.

PA em ação: três exemplos resolvidos

Conceito só gruda quando vira conta. Vão três, em dificuldade crescente: um para aquecer, um intermediário, e um no estilo que o ENEM cobra.

Exemplo 1. Básico: razão e próximo termo

🪖 Básico Achar a razão

Considere a PA \(8, 13, 18, 23, \ldots\). Qual a razão e o próximo termo?

  1. Razão: \(r = 13 - 8 = 5\).
  2. Próximo termo: \(23 + 5 = 28\).
Resposta: razão \(5\), próximo termo \(28\).

Exemplo 2. Intermediário: termo geral e termo distante

🪖🪖 Intermediário Termo geral

Em uma PA, \(a_1 = 4\) e \(r = 6\). Escreva o termo geral e calcule \(a_{30}\).

  1. Termo geral: \(a_n = 4 + (n - 1)\cdot 6 = 6n - 2\).
  2. 30º termo: \(a_{30} = 6 \cdot 30 - 2 = 178\).
Resposta: \(a_n = 6n - 2\), e \(a_{30} = 178\).

Exemplo 3. Avançado: contexto (estilo ENEM)

🪖🪖🪖 Avançado Poltronas de um teatro

A primeira fileira de um teatro tem 18 poltronas, e cada fileira seguinte tem 3 a mais. Com 25 fileiras, quantas poltronas há ao todo?

  1. Modelagem: PA com \(a_1 = 18\) e \(r = 3\).
  2. Última fileira: \(a_{25} = 18 + 24 \cdot 3 = 90\).
  3. Total (soma): \(S_{25} = (18 + 90)\cdot 25 / 2 = 1350\).
Resposta: o teatro tem 1.350 poltronas.

Reconhecer que "total" pede a soma e "última fileira" pede o termo geral é o que destrava a questão.

Bônus: erros clássicos e a fronteira com a PG

A PA é amigável, mas alguns deslizes se repetem em toda correção.

  1. 01

    Errar o \((n - 1)\) no termo geral

    Os passos são sempre um a menos que a posição. Para o 10º termo, são 9 razões, não 10.

    Como evitar: conte os passos entre os termos, lembrando que o primeiro já nasceu pronto.
  2. 02

    Trocar a razão de PA pela de PG

    Em PA, a razão é uma soma e se acha subtraindo termos. Em PG, é um produto e se acha dividindo.

    Como evitar: confirme se você soma ou multiplica para passar de um termo ao próximo.
  3. 03

    Usar a soma com o termo errado

    A soma \(S_n\) precisa do último termo do bloco, o \(a_n\), não de um termo qualquer.

    Como evitar: calcule o \(a_n\) pelo termo geral primeiro, some depois.
  4. 04

    Somar termo a termo na prova

    Quando o enunciado pede a soma de muitos termos, somar um por um é perder tempo e abrir porta para erro.

    Como evitar: use sempre a fórmula da soma.

A PA soma sempre a mesma razão. A progressão geométrica faz o análogo com multiplicação. As duas costumam ser cobradas juntas, e dominar uma facilita a outra.

Veja a progressão geométrica, a progressão da multiplicação constante

Perguntas frequentes sobre progressão aritmética

O que é progressão aritmética?

Progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a um valor fixo chamado razão. Se a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, a sequência é uma PA. Ver a seção: O que é uma PA.

Qual a fórmula geral da PA?

O termo geral da PA é an = a1 + (n - 1) · r, em que a1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo procurado. Ela permite achar qualquer termo sem listar a sequência inteira. Para somar termos, usa-se Sn = (a1 + an) · n / 2. Ver a seção: Termo geral.

Como se calcula a progressão aritmética?

Primeiro identifique o primeiro termo e a razão (a razão é a diferença entre dois termos consecutivos). Com eles, use o termo geral an = a1 + (n - 1) · r para achar qualquer termo, e a fórmula da soma Sn = (a1 + an) · n / 2 quando precisar somar vários termos. Ver a seção: Termo geral.

Qual é a razão da PA 5, 10, 15 e 20?

A razão é 5. Em uma PA, a razão é a diferença entre um termo e o anterior, e aqui 10 - 5 = 5, 15 - 10 = 5 e 20 - 15 = 5. Como a diferença é constante e igual a 5, a razão dessa progressão é r = 5. Ver a seção: O que é uma PA.

Qual é o 20º termo da PA 12, 15, 18?

A razão é r = 15 - 12 = 3, e o primeiro termo é a1 = 12. Pelo termo geral, a20 = 12 + (20 - 1) · 3 = 12 + 57 = 69. Logo, o 20º termo é 69. Ver a seção: Termo geral.

Qual a diferença entre PA e PG?

Na progressão aritmética, você passa de um termo ao próximo somando sempre a mesma razão. Na progressão geométrica, você passa multiplicando sempre pela mesma razão. A PA cresce de forma linear, a PG cresce de forma exponencial. Ver a seção: A fronteira com a PG.

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