Progressão geométrica (PG): o que é, fórmulas e exercícios.

O que é uma progressão geométrica: a razão q

Volta para a folha de papel. Cada vez que você dobra, a espessura da pilha dobra: uma folha vira duas, duas viram quatro, quatro viram oito. A cada passo, você multiplica por $2$ a altura da pilha. Esse é o espírito da PG: em cada etapa, multiplica-se sempre pelo mesmo número.

Olha agora a sequência $2, 6, 18, 54, 162$. Saindo do $2$, cada número é o anterior multiplicado por $3$. Esse $3$ é a razão da PG, representada pela letra $q$.

É exatamente esse o tipo de pergunta que cai em prova como "assinale a alternativa que apresenta uma progressão geométrica": a resposta é a sequência em que dividir cada termo pelo anterior dá sempre o mesmo número. Conhecer o primeiro termo e a razão já determina a progressão inteira.

Classificação: crescente, decrescente, oscilante ou constante

Na PG existem quatro comportamentos, um a mais que na PA, e o caso extra é o que mais pega gente. Considere PGs com primeiro termo positivo.

O termo geral: qualquer termo da PG

Voltando à folha: se cada dobra multiplica por $2$, qual a altura depois de muitas dobras? Multiplicar por $2$ trinta vezes na mão é inviável. Para isso existe o termo geral:

Exemplo: o 6º termo da PG $2, 6, 18$ é $a_6 = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486$.

O termo geral também responde a um clássico de prova: quantos termos tem a PG que vai de $2$ até $1024$, com razão $2$? De $1024 = 2 \cdot 2^{n-1}$, temos $1024 = 2^n$. Como $1024 = 2^{10}$, são $10$ termos.

A soma dos termos de uma PG finita

Para somar os $n$ primeiros termos de uma PG, com razão diferente de $1$, usa-se:

Exemplo. Somando os 5 primeiros termos de $2, 6, 18, 54, 162$, com $a_1 = 2$ e $q = 3$: $S_5 = 2 \cdot (3^5 - 1)/(3 - 1) = 2 \cdot 242 / 2 = 242$. Conferindo na mão: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$.

A soma da PG infinita: o caso |q| < 1

Aqui está o resultado que separa quem só viu PG no cursinho de quem entendeu. Pega um bolo. Come metade. Depois metade do que sobrou. Depois metade do resto, para sempre. Você nunca passa do bolo inteiro, mas chega cada vez mais perto. A soma $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots$ vale exatamente $1$.

No exemplo do bolo, $a_1 = \tfrac{1}{2}$ e $q = \tfrac{1}{2}$, então $S = (1/2)/(1 - 1/2) = 1$. A conta confirma a intuição.

PG é uma função exponencial disfarçada

Assim como a PA se revela uma função afim, a PG esconde uma função exponencial. Olha de novo o termo geral, $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$: uma base constante $q$ elevada a um expoente que depende da posição $n$. Essa é a assinatura da função exponencial $f(x) = a \cdot b^x$, em que a variável fica no expoente.

Na PA os termos se alinham numa reta; na PG eles se distribuem sobre uma curva exponencial, subindo cada vez mais íngreme quando $q > 1$. A PG é uma função exponencial cujo domínio são os naturais. E isso responde a folha da Luísa: como a altura dobra a cada passo ($q = 2$), bastam poucas dezenas de dobras para a pilha cruzar a distância até a Lua. O crescimento exponencial é mais rápido do que a intuição imagina.

PG em ação: três exemplos resolvidos

A seguir, três situações de dificuldade crescente.

Exemplo 1. Básico: razão e próximo termo

Exemplo 2. Intermediário: termo geral e soma finita

Exemplo 3. Avançado: contexto (estilo ENEM)

Bônus: erros clássicos e a fronteira com a PA

A PG tem mais armadilhas que a PA, por causa da multiplicação e dos expoentes.

1. 01

   Confundir a razão de PG com a de PA

   Em PG, a razão se acha dividindo termos, não subtraindo. Quem subtrai acha uma "diferença" que não significa nada.

   Como evitar: para descobrir o $q$, divida um termo pelo anterior.
2. 02

   Errar o expoente $(n - 1)$

   O expoente é sempre um a menos que a posição. Para o 8º termo, o expoente é 7.

   Como evitar: o primeiro termo já está pronto, os passos contam a partir dele.
3. 03

   Usar a soma infinita com $|q| \geq 1$

   A fórmula $S = a_1/(1 - q)$ só vale quando o módulo da razão é menor que 1. Fora disso, a soma não converge.

   Como evitar: antes de aplicá-la, verifique a condição $|q| < 1$.
4. 04

   Esquecer o caso oscilante

   Quando $q$ é negativo, os termos alternam de sinal, e muita gente perde isso ao montar a sequência.

   Como evitar: ao ver razão negativa, espere os sinais pulando de positivo para negativo.

A PA soma e cresce de forma linear; a PG multiplica e cresce de forma exponencial. As duas são cobradas no mesmo bloco, e a comparação entre elas é uma das perguntas mais frequentes.

Perguntas frequentes sobre progressão geométrica