O que é uma progressão geométrica: a razão q
Volta para a folha de papel. Cada vez que você dobra, a espessura da pilha dobra: uma folha vira duas, duas viram quatro, quatro viram oito. A cada passo, você multiplica por \(2\) a altura da pilha. Esse é o espírito da PG: em cada etapa, multiplica-se sempre pelo mesmo número.
Olha agora a sequência \(2, 6, 18, 54, 162\). Saindo do \(2\), cada número é o anterior multiplicado por \(3\). Esse \(3\) é a razão da PG, representada pela letra \(q\).
A razão é o resultado de dividir um termo pelo anterior. Se ela for sempre a mesma, a sequência é uma PG.
É exatamente esse o tipo de pergunta que cai em prova como "assinale a alternativa que apresenta uma progressão geométrica": a resposta é a sequência em que dividir cada termo pelo anterior dá sempre o mesmo número. Conhecer o primeiro termo e a razão já determina a progressão inteira.
Classificação: crescente, decrescente, oscilante ou constante
Na PG existem quatro comportamentos, um a mais que na PA, e o caso extra é o que mais pega gente. Considere PGs com primeiro termo positivo.
Crescente
\(q > 1\)A sequência dispara para cima. A PG \(2, 6, 18, 54\) é crescente, com \(q = 3\).
Decrescente
\(0 < q < 1\)A sequência encolhe rumo a zero. A PG \(80, 40, 20, 10\) tem \(q = \tfrac{1}{2}\).
Oscilante
\(q < 0\)O sinal alterna a cada passo. A PG \(3, -6, 12, -24\) tem \(q = -2\). O caso esquecido.
Constante
\(q = 1\)Todos os termos iguais. A sequência \(7, 7, 7, 7\) é uma PG constante.
O termo geral: qualquer termo da PG
Voltando à folha: se cada dobra multiplica por \(2\), qual a altura depois de muitas dobras? Multiplicar por \(2\) trinta vezes na mão é inviável. Para isso existe o termo geral:
Para chegar ao termo \(n\), você dá \((n-1)\) passos, cada um multiplicando por \(q\). O expoente é \((n-1)\) porque o primeiro termo já nasceu, não precisou multiplicar por ninguém.
Exemplo: o 6º termo da PG \(2, 6, 18\) é \(a_6 = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486\).
O termo geral também responde a um clássico de prova: quantos termos tem a PG que vai de \(2\) até \(1024\), com razão \(2\)? De \(1024 = 2 \cdot 2^{n-1}\), temos \(1024 = 2^n\). Como \(1024 = 2^{10}\), são \(10\) termos.
A soma dos termos de uma PG finita
Para somar os \(n\) primeiros termos de uma PG, com razão diferente de \(1\), usa-se:
A exigência \(q \neq 1\) evita dividir por zero. Se \(q = 1\), a PG é constante e a soma é simplesmente \(n \cdot a_1\).
Exemplo. Somando os 5 primeiros termos de \(2, 6, 18, 54, 162\), com \(a_1 = 2\) e \(q = 3\): \(S_5 = 2 \cdot (3^5 - 1)/(3 - 1) = 2 \cdot 242 / 2 = 242\). Conferindo na mão: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\).
A soma da PG infinita: o caso |q| < 1
Aqui está o resultado que separa quem só viu PG no cursinho de quem entendeu. Pega um bolo. Come metade. Depois metade do que sobrou. Depois metade do resto, para sempre. Você nunca passa do bolo inteiro, mas chega cada vez mais perto. A soma \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots\) vale exatamente \(1\).
Quando o módulo da razão é menor que 1, os termos encolhem tão rápido que a soma infinita converge para um número finito.
No exemplo do bolo, \(a_1 = \tfrac{1}{2}\) e \(q = \tfrac{1}{2}\), então \(S = (1/2)/(1 - 1/2) = 1\). A conta confirma a intuição.
A soma infinita só converge quando \(|q| < 1\). Se \(|q| \geq 1\), os termos não encolhem o suficiente e a soma cresce sem limite. Aplicar a fórmula fora dessa condição é um erro grave de prova.
PG é uma função exponencial disfarçada
Assim como a PA se revela uma função afim, a PG esconde uma função exponencial. Olha de novo o termo geral, \(a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}\): uma base constante \(q\) elevada a um expoente que depende da posição \(n\). Essa é a assinatura da função exponencial \(f(x) = a \cdot b^x\), em que a variável fica no expoente.
Na PA os termos se alinham numa reta; na PG eles se distribuem sobre uma curva exponencial, subindo cada vez mais íngreme quando \(q > 1\). A PG é uma função exponencial cujo domínio são os naturais. E isso responde a folha da Luísa: como a altura dobra a cada passo (\(q = 2\)), bastam poucas dezenas de dobras para a pilha cruzar a distância até a Lua. O crescimento exponencial é mais rápido do que a intuição imagina.
PG em ação: três exemplos resolvidos
A seguir, três situações de dificuldade crescente.
Exemplo 1. Básico: razão e próximo termo
Considere a PG \(5, 15, 45, 135, \ldots\). Qual a razão e o próximo termo?
- Razão: \(q = 15 / 5 = 3\).
- Próximo termo: \(135 \cdot 3 = 405\).
Exemplo 2. Intermediário: termo geral e soma finita
Em uma PG, \(a_1 = 3\) e \(q = 2\). Calcule \(a_7\) e a soma dos 7 primeiros termos.
- 7º termo: \(a_7 = 3 \cdot 2^{6} = 3 \cdot 64 = 192\).
- Soma: \(S_7 = 3 \cdot (2^7 - 1)/(2 - 1) = 3 \cdot 127 = 381\).
Exemplo 3. Avançado: contexto (estilo ENEM)
Uma população de bactérias começa com 200 indivíduos e dobra a cada hora. Quantas existirão após 5 horas?
- Modelagem: PG com \(a_1 = 200\) (hora zero) e \(q = 2\).
- Após 5 horas: \(200 \cdot 2^{5} = 200 \cdot 32\).
- Cálculo: \(200 \cdot 32 = 6400\).
Cinco passos bastaram para multiplicar a população por 32. É a mesma matemática da folha dobrada da introdução.
Bônus: erros clássicos e a fronteira com a PA
A PG tem mais armadilhas que a PA, por causa da multiplicação e dos expoentes.
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01
Confundir a razão de PG com a de PA
Em PG, a razão se acha dividindo termos, não subtraindo. Quem subtrai acha uma "diferença" que não significa nada.
Como evitar: para descobrir o \(q\), divida um termo pelo anterior. -
02
Errar o expoente \((n - 1)\)
O expoente é sempre um a menos que a posição. Para o 8º termo, o expoente é 7.
Como evitar: o primeiro termo já está pronto, os passos contam a partir dele. -
03
Usar a soma infinita com \(|q| \geq 1\)
A fórmula \(S = a_1/(1 - q)\) só vale quando o módulo da razão é menor que 1. Fora disso, a soma não converge.
Como evitar: antes de aplicá-la, verifique a condição \(|q| < 1\). -
04
Esquecer o caso oscilante
Quando \(q\) é negativo, os termos alternam de sinal, e muita gente perde isso ao montar a sequência.
Como evitar: ao ver razão negativa, espere os sinais pulando de positivo para negativo.
A PA soma e cresce de forma linear; a PG multiplica e cresce de forma exponencial. As duas são cobradas no mesmo bloco, e a comparação entre elas é uma das perguntas mais frequentes.
Reveja a progressão aritmética, a progressão da soma constantePerguntas frequentes sobre progressão geométrica
O que é progressão geométrica?
Progressão geométrica, ou PG, é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um valor fixo chamado razão. Se a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma, a sequência é uma PG. Ver a seção: O que é uma PG.
Qual a fórmula da progressão geométrica?
O termo geral da PG é an = a1 · q^(n-1), em que a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo. Para somar os n primeiros termos, usa-se Sn = a1 · (q^n - 1) / (q - 1). E, quando o módulo de q é menor que 1, a soma infinita é S = a1 / (1 - q). Ver a seção: Termo geral.
Como calcular o PG?
Identifique o primeiro termo e a razão (a razão é o resultado de dividir um termo pelo anterior). Com eles, use o termo geral an = a1 · q^(n-1) para achar qualquer termo, e a fórmula da soma Sn = a1 · (q^n - 1) / (q - 1) quando precisar somar vários termos. Ver a seção: Termo geral.
Quantos termos tem a PG (2, 4, 8, ..., 1024)?
A razão é q = 2 e o primeiro termo é a1 = 2. Pelo termo geral, 1024 = 2 · 2^(n-1), o que dá 1024 = 2^n. Como 1024 = 2^10, temos n = 10. A progressão tem 10 termos. Ver a seção: Termo geral.
Como saber se é PA ou PG?
Olhe como você passa de um termo para o próximo. Se você soma sempre o mesmo número, é progressão aritmética. Se você multiplica sempre pelo mesmo número, é progressão geométrica. Subtraia termos consecutivos: se a diferença é constante, é PA. Divida termos consecutivos: se o quociente é constante, é PG. Ver a seção: O que é uma PG.
Quais são os tipos de progressão geométrica?
São quatro, conforme a razão q. Crescente quando q maior que 1, decrescente quando q está entre 0 e 1, oscilante quando q é negativo (os termos alternam de sinal) e constante quando q = 1 (todos os termos iguais). Ver a seção: Classificação.