Fórmula da soma da PG: Sn = a₁(qⁿ−1)/(q−1) e S∞ = a₁/(1−q)

Q: Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PG?

Para os n primeiros termos, Sn = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1), com q ≠ 1. Para infinitos termos com o módulo de q menor que 1, S∞ = a₁/(1 − q).

Q: Por que a soma finita tem q elevado a n e não a n − 1?

O último termo é a₁·qⁿ⁻¹. Ao multiplicar a soma por q, ele vira a₁·qⁿ, e é esse termo que sobra na subtração. Por isso o expoente da fórmula é n.

Q: Quando a soma de uma PG infinita existe?

Quando o módulo da razão é menor que 1, isto é, q entre −1 e 1. Os termos encolhem rápido e a soma converge. Com |q| ≥ 1, a soma não é finita.

Q: Por que somar infinitos números pode dar um valor finito?

Porque cada termo é uma fração do anterior. No bolo: metade, depois metade do que sobrou, e assim por diante. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1: você chega cada vez mais perto do bolo inteiro, sem passar dele.

Q: Qual é a soma da PG quando a razão é 1?

Todos os termos são iguais a a₁, então Sn = n·a₁. A fórmula geral não serve, porque dividiria por zero.

Q: Quanto vale 1 + 2 + 4 + … + 512?

É uma PG com a₁ = 1, q = 2 e 10 termos, pois 512 = 2⁹. Logo S₁₀ = 1·(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.

Q: Qual é a diferença entre a soma da PG e a soma da PA?

Na PA, Sn = (a₁ + an)·n/2: a média do primeiro e do último termo vezes n. Na PG, a soma depende de qⁿ e cresce de forma exponencial.

Qual é a fórmula da soma da PG?

Para uma PG de primeiro termo $a_{1}$ e razão $q$ :

Soma dos n primeiros termos

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} (q \neq 1)

Vale para qualquer razão diferente de 1. Se $q = 1$ , a PG é constante e a soma é simplesmente $n \cdot a_{1}$ .

Soma dos infinitos termos

S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

Só existe quando a razão está entre −1 e 1. Fora disso, a soma não converge para um número.

Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

Quatro símbolos, e dois deles escondem armadilhas:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$S_{n}$	soma dos n primeiros termos	mesma unidade dos termos
$a_{1}$	primeiro termo da PG	mesma unidade dos termos
$q$	razão: um termo dividido pelo anterior	adimensional; precisa de $q \neq 1$ na soma finita e $∣ q ∣ < 1$ na infinita
$n$	quantidade de termos somados	número natural; o expoente é n, não $n - 1$

De onde vem a fórmula?

O truque da soma finita é multiplicar tudo por q. Escreva a soma por extenso: $S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1}$ . Agora multiplique os dois lados por q: cada termo vira o seguinte, e o último vira $a_{1} q^{n}$ .

Compare as duas linhas. Quase tudo é igual: o que sobra em $q S_{n}$ é o termo novo $a_{1} q^{n}$ , e o que sobra em $S_{n}$ é o termo antigo $a_{1}$ . Subtraindo, todo o miolo desaparece de uma vez.

Para a soma infinita, o raciocínio é o mesmo, com um passo a mais. Se $∣ q ∣ < 1$ , a potência $q^{n}$ encolhe cada vez mais conforme n cresce, e some perto de zero. Sobra $S = a_{1} / (1 - q)$ .

Multiplicar por q e subtrair

q S_{n} - S_{n} = a_{1} q^{n} - a_{1} \Rightarrow S_{n} (q - 1) = a_{1} (q^{n} - 1)

A subtração cancela todos os termos do meio. Dividir por $q - 1$ exige $q \neq 1$ .

Isolar S_n

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

A soma finita. Escrever $a_{1} (1 - q^{n}) / (1 - q)$ é a mesma coisa: trocou o sinal de cima e de baixo.

Deixar n crescer, com |q| < 1

q^{n} \to 0 \Rightarrow S_{\infty} = a_{1} \cdot \frac{0 - 1}{q - 1} = \frac{a_{1}}{1 - q}

A potência desaparece e fica a soma infinita. Se $∣ q ∣ \geq 1$ , $q^{n}$ não encolhe e o argumento não vale.

A aula do professor chega ao mesmo resultado infinito por um caminho mais direto. Na PG $2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots$ , chame a soma de S e multiplique por 2: $2 S = 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots$ . Tudo depois do 4 é a própria S, porque tirar um termo de uma soma infinita não a muda. Então $2 S = 4 + S$ e $S = 4$ . Conferindo: $\frac{2}{1 - 1 / 2} = 4$ .

Selo Demonstrável — as duas fórmulas saem só de multiplicar a soma por q e subtrair; a infinita acrescenta que $q^{n}$ tende a zero quando $∣ q ∣ < 1$ .

Progressão geométrica (PG): fórmulas, soma e exercícios

Quando usar (e quando não)?

Use a soma finita quando o enunciado dá (ou deixa descobrir) o primeiro termo, a razão e o número de termos. Use a infinita quando o processo continua “para sempre” com cada etapa uma fração da anterior: desconto sobre desconto, bola quicando, dízima periódica. Se a razão for negativa mas com módulo menor que 1, vale também: $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots = \frac{1}{1 + 1 / 2} = \frac{2}{3}$ .

Não use a infinita com $∣ q ∣ \geq 1$ : numa PG crescente a soma vai para o infinito, e o professor trata isso como o caso quase óbvio. Também não use a finita com $q = 1$ (divisão por zero): aí a soma é $n \cdot a_{1}$ . Para somar uma PA, o caminho é outro: $S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n / 2$ .

A pegadinha número 1: aplicar $a_{1} / (1 - q)$ sem checar se a razão está entre −1 e 1. Numa PG crescente a soma infinita não é finita, e a fórmula devolve um número sem sentido.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê o teto: o primeiro ano custa $1000 + 800 + 350 = 2150$ . Cada renovação paga metade da anterior, então os anos seguintes somam 1075, 537,5, 268,75 e assim por diante. Como a PG com razão 1/2 soma no máximo o dobro do primeiro termo, o total deve ficar abaixo de 4300. Guarda isso:

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Primeiro ano: $1000 + 800 + 350 = 2150$ .
Cada renovação custa metade da anterior: $2150, \frac{1}{2} \cdot 2150, \frac{1}{4} \cdot 2150, \dots$ , uma PG com $q = \frac{1}{2}$ . Colocando 2150 em evidência: $V = 2150 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots)$ .
Como $0 < q < 1$ , a soma entre parênteses existe: $S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1 / 2} = 2$ .
Multiplicando pelo fator em evidência: $V = 2 \cdot 2150 = 4300$ .

V = R$ 4.300, 00

Verificação: bateu com a previsão: ficou exatamente no teto de 4300, que a soma infinita atinge no limite. A soma parcial já chega perto: em 4 anos, $2150 \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) = 2150 \cdot 1, 875 = 4031, 25$ , ou 93,75% do total. E se a renovação custasse 80% da anterior? Com $q = 0, 8$ , a soma vira $1 / (1 - 0, 8) = 5$ , e o valor sobe para $5 \cdot 2150 = 10.750$ . Razão perto de 1 faz a soma disparar.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar a infinita com |q| ≥ 1
Para $q = 2$ , a fórmula daria $a_{1} / (1 - 2) = - a_{1}$ : um número negativo para uma soma de positivos crescentes. O resultado absurdo é o sinal de que a soma não converge.
Como evitar: antes de aplicar $a_{1} / (1 - q)$ , escreva a condição $∣ q ∣ < 1$ e confira. Se falhar, a soma é infinita.
02
Esquecer o fator em evidência
Em problemas com contexto, a PG aparece depois de colocar um valor em evidência (como 2150). Quem para na soma entre parênteses responde 2 em vez de 4300.
Como evitar: releia a pergunta no fim e multiplique pelo fator que ficou de fora.
03
Errar o expoente ou o sinal da soma finita
Na soma finita o expoente é n (o número de termos), não $n - 1$ . E $(q^{n} - 1) / (q - 1)$ e $(1 - q^{n}) / (1 - q)$ dão o mesmo resultado, mas misturar um numerador de uma com o denominador da outra inverte o sinal.
Como evitar: teste com dois termos: $S_{2} = a_{1} (1 + q)$ . Se a fórmula não devolver isso, algo está trocado.

FAQ: perguntas sobre a soma da PG

Qual é a fórmula da soma dos termos de uma PG?

Para os n primeiros termos, $S_{n} = a_{1} (q^{n} - 1) / (q - 1)$ , com $q \neq 1$ . Para infinitos termos com $∣ q ∣ < 1$ , $S_{\infty} = a_{1} / (1 - q)$ .

Por que a soma finita tem q elevado a n e não a n − 1?

O último termo é $a_{1} q^{n - 1}$ . Ao multiplicar a soma por q, ele vira $a_{1} q^{n}$ , e é esse termo que sobra na subtração. Por isso o expoente da fórmula é n.

Quando a soma de uma PG infinita existe?

Quando o módulo da razão é menor que 1, isto é, $- 1 < q < 1$ . Os termos encolhem rápido e a soma converge. Com $∣ q ∣ \geq 1$ , a soma não é finita.

Por que somar infinitos números pode dar um valor finito?

Porque cada termo é uma fração do anterior. No bolo: metade, depois metade do que sobrou, e assim por diante. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1$ : você chega cada vez mais perto do bolo inteiro, sem passar dele.

Qual é a soma da PG quando a razão é 1?

Todos os termos são iguais a $a_{1}$ , então $S_{n} = n \cdot a_{1}$ . A fórmula geral não serve, porque dividiria por zero.

Quanto vale 1 + 2 + 4 + … + 512?

É uma PG com $a_{1} = 1$ , $q = 2$ e 10 termos, pois $512 = 2^{9}$ . Logo $S_{10} = 1 \cdot (2^{10} - 1) / (2 - 1) = 1023$ .

Qual é a diferença entre a soma da PG e a soma da PA?

Na PA, $S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n / 2$ : a média do primeiro e do último termo vezes n. Na PG, a soma depende de $q^{n}$ e cresce de forma exponencial.

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