Geometria Analítica - Circunferência no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 27 minutos: o índice

Como o ENEM cobra geometria analítica - circunferência

O professor apresenta a questão como uma revisão completa: o ENEM esconde a geometria analítica atrás de um enunciado de contexto (ruas, praça, bar) que o aluno precisa traduzir em retas, circunferência e pontos. A cobrança é combinar várias ferramentas na mesma questão: interseção de retas, equação da circunferência, interseção reta-circunferência e distância entre dois pontos. Ele não cita estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Equação da reta (y = ax + b) e coeficiente angular
• Distância entre dois pontos (aula anterior de geometria analítica)
• Teorema de Pitágoras
• Produtos notáveis e resolução de equações simples

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Dedução com C=(3,0) e R=2: 2² = (x-3)² + (y-0)²
• Dedução com C=(0,3) e R=5: (x-0)² + (y-3)² = 5²
• Dedução com C=(4,3) e R=1: (x-4)² + (y-3)² = 1²
• Fórmula geral em destaque: (x-a)² + (y-b)² = R², com centro C=(a,b)
• Questão modelo: sistema x² + (y-5)² = 5² e y = 2x, com soluções (0,0) e J=(4,8)
• Casa de Lucas L=(1/2, 1) e distância d(J,L) = 7√5/2 (alternativa b)

Recapitulação e o enunciado das ruas de Lucas

O professor retoma o que é essencial em geometria analítica: localizar pontos no plano cartesiano, achar o ponto médio de um segmento (que, no fundo, é uma aplicação do teorema de Tales) e calcular a distância entre dois pontos, que nada mais é que o teorema de Pitágoras. Com isso em mãos, passa para a parte mais aprofundada do tema: a equação da circunferência.

A questão modelo descreve o mapeamento de um bairro. A rua de Lucas é dada por $y=4x-1$ e a rua da namorada dele por $y=2x$. As duas ruas se interceptam na casa de Lucas. Há ainda uma praça circular de raio $5$ e centro em $(0,5)$, e a interseção da rua da namorada com essa praça é o bar do Joaquim, que não está na origem. Pede-se a distância entre a casa de Lucas e o bar do Joaquim.

O professor brinca que o aluno, ao ler isso, provavelmente não entendeu nada, e usa esse ponto para ensinar o método: ler o enunciado aos poucos e ir traduzindo cada frase em contas. Primeiro, desenhar as duas ruas, sem se preocupar com a praça. A reta $y=2x$ passa pela origem, porque em $y=ax+b$ o coeficiente linear $b$ indica onde a reta corta o eixo vertical, e aqui $b=0$. A reta $y=4x-1$ corta o eixo vertical em $-1$ e é mais inclinada, pois seu coeficiente angular ($4$) é maior que o da outra ($2$).

▶ Ver este trecho no vídeo (18:55:00)

A casa de Lucas: interseção das duas retas

A primeira frase do enunciado que vira conta é "as ruas se interceptam na casa de Lucas". Chamando esse ponto de $L$, ele é a solução do sistema formado pelas duas equações: $y=4x-1$ e $y=2x$.

O professor subtrai uma equação da outra. Os $y$ se cancelam, $4x-2x$ dá $2x$ e o $-1$ permanece, então $2x-1=0$ e $x=\frac{1}{2}$. Como $y=2x$, resulta $y=1$. Ele lembra que também seria possível substituir $x=\frac{1}{2}$ em $y=4x-1$, obtendo $4\cdot \frac{1}{2}-1=1$, e que tanto faz o caminho escolhido.

Portanto a casa de Lucas está em $L=(\frac{1}{2},1)$. O desenho feito à mão nem sempre fica fiel às coordenadas, mas o que vale é o resultado algébrico.

O segundo passo é a frase sobre o bar: a interseção da rua da namorada de Lucas (a reta $y=2x$) com a praça circular é o bar do Joaquim. Para achar essa interseção é preciso conhecer a equação da praça, ou seja, saber descrever uma circunferência com equações. O professor anuncia que esse é o ponto da aula: construir a equação da circunferência, e a única ferramenta necessária é a fórmula da distância entre dois pontos, já vista no exercício anterior de geometria analítica.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:59:00)

O que define uma circunferência e a primeira equação

Para construir a equação, o professor parte de um exemplo: uma circunferência de centro em $(3,0)$ e raio $2$. Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do centro, e essa distância é o raio. Um ponto qualquer da figura, sem exceção, tem de estar a distância $2$ do centro; se a distância de um ponto ao centro for $2$, ele pertence à circunferência.

Chamando de $P=(x,y)$ um ponto genérico da circunferência e de $C=(3,0)$ o centro, a condição é $d(P,C)=2$. A distância entre dois pontos é $\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$, onde $\mathrm{\Delta }x$ é a diferença entre os $x$ e $\mathrm{\Delta }y$ a diferença entre os $y$. Então $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-0{)}^2}=2$.

Para eliminar a raiz, eleva-se os dois lados ao quadrado: $2^2=(x-3{)}^2+(y-0{)}^2$. Todo ponto de coordenadas $(x,y)$ que satisfaz essa igualdade pertence à circunferência.

O professor chama atenção para o formato da equação. O $2^2$ é o raio ao quadrado. Os números subtraídos de $x$ e de $y$ são justamente a coordenada $x$ do centro ($3$) e a coordenada $y$ do centro ($0$). Se ficou abstrato, ele propõe repetir a mesma conta com outro centro e outro raio, para ver o que muda.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:02:00)

Mais dois exemplos: centro (0,3) com raio 5 e centro (4,3) com raio 1

No segundo exemplo, o centro é $C=(0,3)$ e o raio é $5$. Qualquer ponto $P=(x,y)$ da circunferência está a distância $5$ do centro: $\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}=5$. Elevando ao quadrado, $\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2=5^2$. Com $\mathrm{\Delta }x=x-0$ e $\mathrm{\Delta }y=y-3$, a equação é $(x-0{)}^2+(y-3{)}^2=5^2$.

O professor testa a equação. Se $x=0$, o primeiro termo zera e é preciso $(y-3{)}^2=25$, o que dá $y=8$, porque $8-3=5$. Logo o ponto $(0,8)$ pertence à circunferência, o que é óbvio: partindo do centro em $y=3$ e subindo cinco unidades chega-se a $8$. A equação é chamada de equação da circunferência justamente porque diz quais coordenadas $(x,y)$ pertencem a ela.

No terceiro exemplo, o raio é $1$ e o centro é $(4,3)$. O raciocínio é o mesmo: a distância de $P=(x,y)$ ao centro é $1$, então $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=1^2$.

Em seguida ele generaliza. Se o centro é $(a,b)$ e o raio é $R$, a equação é $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$. Ela vale sempre e vem da fórmula de distância entre dois pontos, que por sua vez vem do teorema de Pitágoras: os catetos são $\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }y$ e a hipotenusa é o raio. Ele alerta para nunca esquecer essa origem.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:06:00)

A equação da praça e o esboço da situação

Com a fórmula geral, o problema original fica simples de montar. A praça circular tem raio $5$ e centro em $(0,5)$, então basta substituir em $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$: $(x-0{)}^2+(y-5{)}^2=5^2$, ou seja, $x^2+(y-5{)}^2=25$. Essa é a equação da praça, que era o que faltava para achar o bar do Joaquim.

O professor então esboça a situação. O centro está em $x=0$, $y=5$, e o raio é $5$, de modo que a circunferência vai de $y=0$ a $y=10$ e passa pela origem. A reta vermelha, $y=2x$, também passa pela origem. Por isso ela corta a praça em dois pontos: um deles é a origem e o outro é o bar do Joaquim, o ponto que o enunciado descreve como "não está na origem". O enunciado dá a pista justamente para eliminar a solução óbvia.

Para achar a interseção entre a reta vermelha e a circunferência azul é preciso trabalhar com as duas equações ao mesmo tempo, formando um sistema. Ele observa que é nessa etapa que a questão fica difícil: o aluno precisa saber a equação da circunferência para ter alguma chance de achar o ponto $J$, o bar do Joaquim.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:13:00)

Interseção da reta com a circunferência: achando o bar do Joaquim

O sistema é $x^2+(y-5{)}^2=25$ e $y=2x$. Como a segunda equação já dá $y$, basta substituir na primeira: $x^2+(2x-5{)}^2=5^2$.

Desenvolvendo o produto notável, $(2x-5{)}^2=4x^2-20x+25$. A equação fica $x^2+4x^2-20x+25=25$. Subtraindo $25$ dos dois lados, o termo constante some e resta $5x^2=20x$.

Essa equação tem duas soluções. A primeira é $x=0$, que de fato resolve, pois dá $0=0$. Com $x=0$, $y=2\cdot 0=0$, ou seja, a origem. O professor comenta que isso confirma algo que o desenho já mostrava: a rua da namorada de Lucas cruza a praça na origem. A segunda possibilidade vale para $x\mathrm{\ne }0$: divide-se os dois lados por $x$ e resulta $5x=20$, logo $x=4$. Como $y=2x$, $y=8$.

O bar do Joaquim é portanto $J=(4,8)$. A origem aparece como solução porque duas curvas que se cruzam em dois pontos geram duas soluções no sistema, e o enunciado pede a que não é a origem. O professor resume o método de toda a questão: igualar (ou substituir) equações para achar interseções, tanto reta com reta como reta com circunferência.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:17:00)

A distância final entre a casa de Lucas e o bar do Joaquim

Com $L=(\frac{1}{2},1)$ e $J=(4,8)$, resta a parte fácil: a distância entre dois pontos, $d(J,L)=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$.

A diferença dos $y$ é $8-1=7$, então $\mathrm{\Delta }{y}^2=7^2$. A diferença dos $x$ é $4-\frac{1}{2}$. Colocando no mesmo denominador, $4=\frac{8}{2}$ e $\mathrm{\Delta }x=\frac{8-1}{2}=\frac{7}{2}$. Logo $\mathrm{\Delta }{x}^2=\frac{7^2}{2^2}=\frac{7^2}{4}$.

A distância é $\sqrt{7^2+\frac{7^2}{4}}$. O professor coloca $7^2$ em evidência: $\sqrt{7^2(1+\frac{1}{4})}$. Como $1=\frac{4}{4}$, a soma entre parênteses é $\frac{5}{4}$ e a expressão vira $\sqrt{7^2\cdot \frac{5}{4}}$. Os quadrados saem da raiz: $7$ sai como $7$ e $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sai como $\frac{1}{2}$, ficando $7\cdot \frac{1}{2}\sqrt{5}$.

O resultado é $d={\displaystyle \frac{7\sqrt{5}}{2}}$, que corresponde à alternativa b do enunciado do mapa mental.

Para fechar, ele reforça o que levar da aula: dada uma circunferência de centro $(a,b)$ e raio $R$, sua equação é $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$; e, ao igualar a equação da reta com a da circunferência, aparecem dois pontos de interseção, a origem e o bar do Joaquim, e só um deles interessa.

▶ Ver este trecho no vídeo (19:20:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras produtos notaveis radiciacao

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em geometria analítica - circunferência

1. 01

   Esquecer que o raio aparece ao quadrado na equação

   Esquecer que o raio aparece ao quadrado na equação da circunferência (o lado direito é $R^2$, não $R$).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Trocar o sinal das coordenadas do centro ao montar $

   Trocar o sinal das coordenadas do centro ao montar $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar só a solução $x=0$ na interseção e não ver que

   Achar só a solução $x=0$ na interseção e não ver que a segunda solução (dividindo por $x$) é a que o enunciado pede.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Não traduzir o enunciado frase a frase em equações

   Não traduzir o enunciado frase a frase em equações (retas, circunferência, pontos) e travar na leitura.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Errar a subtração de $4-\tfrac12$ ao calcular $\Delta x$

   Errar a subtração de $4-\frac{1}{2}$ ao calcular $\mathrm{\Delta }x$ (o correto é $\frac{7}{2}$).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Geometria Analítica - Circunferência no ENEM