Geometria Analítica no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 30 minutos: o índice

Como o ENEM cobra geometria analítica

O professor não cita estatísticas do ENEM. Na prática, a aula mostra uma questão contextualizada (um mapa com cidades em coordenadas) cuja solução exige apenas ponto médio e distância entre pontos. Segundo ele, são as duas coisas com mais chance de aparecer em geometria analítica, e o desenho do enunciado é só um esboço, não precisa estar em escala.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Plano cartesiano e localização de pontos por coordenadas
• Teorema de Pitágoras
• Semelhança de triângulos e teorema de Tales (revisados na aula)
• Média aritmética

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Tales: m/n = AM/MB, base da dedução do ponto médio
• Ponto médio: x_M = (x_A + x_B)/2 e y_M = (y_A + y_B)/2
• Distância: D = raiz de (Δx)² + (Δy)², com Δx = x_B − x_A e Δy = y_B − y_A
• Questão modelo: BH (10,2), Brasília (6,8), São Paulo (4,4); M = (8,5)
• Resposta: raiz de 17 (alternativa e)

A questão motivadora e o que realmente importa na geometria analítica

A aula abre dizendo que a geometria analítica tem conceitos fundamentais que servem além dela: ajudam a interpretar gráficos de funções e a fazer contas em questões de funções. Os mais relevantes são plano cartesiano, ponto e reta. Para motivar, o professor parte de uma questão inédita do time pedagógico.

Num mapa cartesiano, Belo Horizonte está no ponto $(10,2)$ e Brasília em $(6,8)$. Felipe vai de BH a Brasília por uma estrada retilínea e, ao chegar ao meio do percurso, decide seguir para São Paulo, que fica no ponto $(4,4)$. Pergunta-se qual é a distância restante até São Paulo quando ele muda de rumo.

O professor desenha um esboço sem rigor, porque a posição exata dos pontos no desenho não importa: o que vale é a conta. Ele identifica que o problema exige só duas ferramentas: calcular o ponto médio de um segmento (onde Felipe muda de rota) e calcular a distância entre dois pontos quaisquer (do ponto médio até São Paulo).

Daí o plano da aula: primeiro relembrar, com calma e sem decorar, de onde saem essas duas fórmulas; depois voltar à questão e resolvê-la. Antes, porém, ele usa um resultado de geometria plana, o teorema de Tales, para mostrar que não há nada de novo escondido na geometria analítica.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:25:00)

Teorema de Tales e semelhança: a mesma geometria em outra linguagem

O teorema de Tales diz que, se duas retas transversais (não paralelas) são cortadas por várias retas paralelas, os segmentos determinados são proporcionais. Na figura do professor, o segmento $m$ está para $n$ assim como $AM$ está para $MB$.

Ele mostra que isso é o mesmo que semelhança de triângulos. Arrastando para cima os pedaços $m$ e $n$ da reta de baixo, formam-se dois triângulos com lados paralelos. Como as retas são paralelas, os ângulos correspondentes são iguais; com dois ângulos iguais, o terceiro também é, e os triângulos são semelhantes. Logo, o lado oposto ao ângulo marcado em um triângulo está para o lado correspondente do outro como a hipotenusa de um está para a hipotenusa do outro.

O ponto que o professor quer fixar é este: o que será construído na geometria analítica (ponto médio, distância entre pontos) é a mesma geometria plana que o aluno já conhece, apenas escrita na linguagem do plano cartesiano e da álgebra. Ele lembra que Descartes inventou o plano cartesiano no século XVII e que o nome é uma homenagem.

Essa mudança de ótica tira o ar de assunto estranho: as fórmulas que vêm a seguir deixam de ser coisas a decorar e passam a ser consequências de proporção, congruência e Pitágoras.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:29:00)

Dedução do ponto médio: média aritmética das coordenadas

Dados dois pontos $A=(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$, o professor quer as coordenadas do ponto médio $M$ do segmento $AB$. A configuração é exatamente a do teorema de Tales: duas transversais cortadas por paralelas, agora com as retas paralelas aos eixos.

Ele traça dois triângulos retângulos, um de $A$ até $M$ e outro de $M$ até $B$. Como $M$ é o ponto médio, as hipotenusas são iguais, então os triângulos são semelhantes com razão de semelhança $1$, ou seja, congruentes. Portanto os catetos correspondentes também são iguais.

Na horizontal, o cateto do primeiro triângulo mede $x_M-x_A$ e o do segundo mede $x_B-x_M$. Igualando: $x_M-x_A=x_B-x_M$, o que dá $2x_M=x_A+x_B$ e $x_M={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}$. Na vertical, o raciocínio é o mesmo: $y_B-y_M=y_M-y_A$, logo $y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}$.

Conclusão: as coordenadas do ponto médio são as médias aritméticas das coordenadas dos extremos. O professor comenta que faz sentido, pois a média aritmética cai bem no meio do caminho. E reforça o recado: isso é semelhança de triângulos, segmentos congruentes e proporção, só escritos de outra forma. Dentro da geometria analítica, é uma das coisas mais relevantes de saber.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:34:00)

Distância entre dois pontos: Pitágoras no plano cartesiano

A outra ferramenta é a distância entre dois pontos. Pensando primeiro em geometria plana, uma forma de medir a distância entre $A$ e $B$ é fechar um triângulo retângulo: a distância é a hipotenusa, e vale a soma dos quadrados dos catetos. Chamando os catetos de $x$ e $y$, tem-se $d^2=x^2+y^2$, ou $d=\sqrt{x^2+y^2}$.

No plano cartesiano faz-se igual. Ligam-se $A$ e $B$ e fecha-se o triângulo retângulo com um segmento horizontal e outro vertical. O cateto horizontal é a variação em $x$: $\mathrm{\Delta }x=x_B-x_A$. O cateto vertical é o desnível entre os pontos: $\mathrm{\Delta }y=y_B-y_A$. Aplicando Pitágoras:

$d=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$.

O professor frisa que a famigerada fórmula da distância é simplesmente o teorema de Pitágoras, com notação diferente.

Ele esclarece também uma dúvida comum: tanto faz fazer $x_A-x_B$ ou $x_B-x_A$. Com $x_A=3$ e $x_B=5$, o primeiro resultado é $-2$ e o segundo é $2$; são diferentes, mas só no sinal, e como a diferença é elevada ao quadrado, o sinal desaparece ($(-2{)}^2=2^2=4$). O mesmo vale para $y$. Fechando a revisão, ele resume as duas ferramentas: ponto médio por médias aritméticas e distância por Pitágoras.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:43:00)

Resolvendo a questão: ponto médio de BH-Brasília e distância até São Paulo

Com as duas ferramentas, o professor volta ao problema: BH é $(10,2)$, Brasília é $(6,8)$ e São Paulo é $(4,4)$. Ele insiste que a disposição dos pontos no desenho é irrelevante, pois as fórmulas valem sempre; o desenho é só um esboço para visualizar.

Primeira parte, o ponto onde Felipe muda de rota, o ponto médio $M$ entre BH e Brasília. Para o $x$, média de $10$ e $6$: ${\displaystyle \frac{10+6}{2}}={\displaystyle \frac{16}{2}}=8$. Para o $y$, média de $8$ e $2$: ${\displaystyle \frac{8+2}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$. Logo $M=(8,5)$.

Segunda parte, a distância restante, do ponto médio $M=(8,5)$ até São Paulo $(4,4)$. Basta jogar na fórmula da distância: $\mathrm{\Delta }x=8-4=4$ e $\mathrm{\Delta }y=5-4=1$. Então

$d=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$.

A transcrição termina nesse ponto, com o professor somando $16+1=17$. O resultado $\sqrt{17}$ e a alternativa correta (e) aparecem no mapa mental da aula. A moral: a questão parecia de geografia, mas era só ponto médio e distância, duas ideias de geometria plana em linguagem cartesiana.

▶ Ver este trecho no vídeo (18:50:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: pitagoras proporcao media aritmetica

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em geometria analítica

1. 01

   Tratar a geometria analítica como assunto novo e decorar

   Tratar a geometria analítica como assunto novo e decorar as fórmulas sem ver que vêm de Tales e de Pitágoras.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Preocupar-se com o desenho do enunciado estar em escala ou

   Preocupar-se com o desenho do enunciado estar em escala ou com a posição exata dos pontos: ele é só um esboço, a fórmula vale sempre.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que a ordem da subtração

   Achar que a ordem da subtração (A−B ou B−A) muda a distância; o sinal some ao elevar ao quadrado.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer de calcular o ponto médio antes e medir a distância

   Esquecer de calcular o ponto médio antes e medir a distância a partir de um dos extremos.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Geometria Analítica no ENEM