Funções no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 13 minutos: o índice

Como o ENEM cobra funções

O professor diz que a questão modelo é "bem tranquila" e serve só de pretexto para recordar conceitos. Na prática, a aula mostra o ENEM pedindo que o aluno interprete um gráfico e decida que tipo de relação ele representa, com a pegadinha de que um pedaço de curva pode ser parábola, exponencial ou outra coisa. Não há estatística de recorrência na aula.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Plano cartesiano (eixos x e y)
• Potência com expoente zero e expoente negativo/fracionário simples
• Grandezas diretamente proporcionais e regra de três (aulas anteriores)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Linear f(x)=ax+b: reta crescente (a>0) ou decrescente (a<0), b é o corte no eixo y
• Quadrática f(x)=ax²+bx+c: parábola com concavidade para cima (a>0) ou para baixo (a<0)
• Na quadrática, c marca o corte no eixo y
• Exponencial f(x)=aˣ: crescente se a>1, decrescente se 0<a<1
• Toda exponencial passa pelo ponto (0, 1)
• Questão modelo: gráfico P(kW) × v(m/s); linear descartada, quadrática e exponencial possíveis, logarítmica descartada, gabarito E (não linear)

A questão modelo e o propósito da aula

A aula parte de uma questão que o próprio professor chama de bem tranquila, usada apenas como pretexto para recordar conceitos importantes sobre funções e as propriedades de seus gráficos.

O enunciado apresenta um engenheiro automobilístico que testa um novo modelo de carro. Ele mede a potência dissipada pelo motor em função da velocidade do carro e registra os dados em um gráfico. A partir dele, o engenheiro conclui que a potência e a velocidade se relacionam de uma entre cinco formas: linear, quadrática, exponencial, logarítmica ou não linear.

Antes de responder, o professor propõe recordar as funções mais relevantes e os seus gráficos: a linear (afim), a quadrática e a exponencial. A ideia é que, conhecendo o que cada parâmetro faz no desenho da curva, o aluno consiga analisar com critério o gráfico da questão e não apenas "no olho". Só depois de revisar a teoria ele volta ao enunciado, que será resolvido no final da aula.

Vale notar que o gráfico do problema aparece apenas como um pequeno desenho, sem valores numéricos lidos em voz alta, e é isso que torna a questão uma boa ocasião para discutir o que um gráfico permite concluir e o que não permite.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:17:00)

Função afim: reta, coeficiente angular e coeficiente linear

A função linear, mais corretamente chamada de função do primeiro grau ou função afim, tem esse nome porque o seu gráfico é uma reta. Ela é escrita como $f(x)=ax+b$ (ou $y=ax+b$), e é definida por apenas dois parâmetros: $a$ e $b$.

O parâmetro $a$ é o termo que multiplica o $x$ e se chama coeficiente angular. Ele está ligado à inclinação da reta e diz se a função cresce ou decresce. Se $a>0$, a função é sempre crescente: quando $x$ aumenta, $y$ também aumenta. Se $a<0$, a função é sempre decrescente: quando $x$ aumenta, $y$ diminui. Além disso, quanto maior o valor de $a$, mais inclinado é o gráfico.

O parâmetro $b$ é o coeficiente linear e indica onde a reta corta o eixo vertical. A razão é simples: o corte no eixo $y$ acontece quando $x=0$, e então $f(0)=a\cdot 0+b=b$. Isso vale tanto para a reta crescente quanto para a decrescente.

O professor faz uma observação sobre nomenclatura: em rigor, a função só se chama "linear" quando $b=0$, e quando $b\mathrm{\ne }0$ o nome correto é função afim ou função do primeiro grau. Ele considera essa distinção pouco relevante para a prova. O que importa é lembrar que o gráfico é uma reta e que $a$ e $b$ têm os papéis descritos acima.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:18:00)

Função quadrática: parábola, concavidade e corte no eixo vertical

A função quadrática, ou função do segundo grau, é dada por $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Ela tem três parâmetros, $a$, $b$ e $c$, e o seu gráfico é sempre uma parábola.

A parábola pode ter a concavidade (a abertura, "a boca") voltada para cima ou para baixo, e quem decide isso é o $a$, o termo que multiplica $x^2$. Se $a>0$, a concavidade é sempre para cima; se $a<0$, é sempre para baixo.

O termo independente $c$ indica onde a curva corta o eixo vertical. Quando $x=0$, os termos com $x$ se anulam e $f(0)=c$. Portanto o ponto em que a parábola cruza o eixo $y$ tem ordenada $c$, não importando como ela esteja posicionada.

Sobre o parâmetro $b$, o professor diz que ele é menos relevante: seria possível discutir o seu significado geométrico, mas isso é secundário para o que a aula pretende. O resumo que ele deixa é: o gráfico é uma parábola; $a$ define a concavidade (positivo para cima, negativo para baixo); $c$ define o corte no eixo vertical.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:22:00)

Função exponencial: base maior que 1, base entre 0 e 1 e o ponto (0, 1)

A função exponencial é dada por $f(x)=a^x$. O professor avisa que não vai entrar nos detalhes de quais valores de $a$ são permitidos e discute os dois casos que interessam: $a>1$ e $0<a<1$.

Quando $a>1$, a função é crescente. Com $f(x)=2^x$, tem-se $x=1$ dando $2$, $x=2$ dando $4$, $x=3$ dando $8$ e $x=4$ dando $16$: os valores só crescem, e cada vez mais depressa. Um erro natural é achar que o ponto onde a curva toca o eixo $y$ é o próprio $a$. Na verdade, quando $x=0$ tem-se $f(0)=a^0=1$, pois qualquer número (diferente de zero) elevado a zero vale $1$. Logo toda função exponencial, para qualquer base, cruza o eixo vertical no ponto de ordenada $1$.

Quando $0<a<1$, o comportamento se inverte. Com $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, o valor em $x=0$ continua sendo $1$, mas em $x=1$ vale $0,5$ e em $x=2$ vale $\frac{1}{4}=0,25$. Ou seja, $x$ aumenta e $y$ diminui: a função é decrescente, e o gráfico vem descendo, cada vez mais devagar, e sempre cruza o eixo $y$ em $1$.

O resumo do professor é que a exponencial pode representar um crescimento exponencial ou um decaimento exponencial, conforme a base seja maior que $1$ ou esteja entre $0$ e $1$.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:25:00)

De volta à questão: por que o gráfico não permite cravar o tipo de função

Com as três famílias revisadas, o professor volta ao gráfico do motor. A tentação é dizer que se trata de um crescimento exponencial, mas ele pergunta: quem garante isso? O pedaço de curva desenhado poderia perfeitamente ser um trecho de parábola, e ele mesmo desenha uma parábola passando pelos mesmos pontos para mostrar que nada o impede.

A conclusão é que, a olho nu, com apenas um trecho do gráfico, é muito difícil identificar o tipo de curva. A exceção é a reta, que é fácil de reconhecer. Fora isso, o gráfico pode fazer qualquer coisa fora do pedaço que se vê: pode mudar de comportamento adiante.

Passando pelas alternativas: a relação linear não vale, porque o gráfico não é uma reta. A quadrática pode ser, mas não há como ter certeza. A exponencial também pode ser, sem certeza. A logarítmica nem foi discutida, pois o professor julga a função logarítmica mais sofisticada e pouco provável de aparecer. Resta a alternativa de que as grandezas se relacionam de forma não linear, que é a única afirmação segura.

Na continuação, no início da aula seguinte, o professor reforça que uma relação linear é a de grandezas diretamente proporcionais (reta passando pela origem, como na regra de três) e que qualquer outra relação é chamada não linear.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:28:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: potencia potencias de mesma base proporcao vertice da parabola bhaskara

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em funções

1. 01

   Achar que a exponencial corta o eixo y em a; ela corta

   Achar que a exponencial corta o eixo y em a; ela corta sempre em 1, pois a elevado a 0 vale 1.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Dizer que uma curva crescente desenhada é exponencial só

   Dizer que uma curva crescente desenhada é exponencial só pela aparência, sem saber o que ocorre fora do trecho visto.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Esquecer que, na exponencial de base entre 0 e 1, a função é

   Esquecer que, na exponencial de base entre 0 e 1, a função é decrescente.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Confundir o papel de a e de b na função afim

   Confundir o papel de a e de b na função afim (a é a inclinação, b é o corte no eixo y).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Achar que o b da quadrática é onde a parábola corta o eixo

   Achar que o b da quadrática é onde a parábola corta o eixo vertical; quem faz isso é o c.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Funções no ENEM