Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 40 minutos: o índice

Como o ENEM cobra grandezas diretamente e inversamente proporcionais

O professor abre dizendo que este é um dos temas que mais caem e que é preciso dominá-lo. Na prática da aula, o ENEM aparece em problemas de divisão em partes (herança, distribuição de objetos) direta e inversamente proporcional, às vezes encadeados em duas etapas. A pegadinha mostrada é ler com atenção qual é a pergunta final (o lucro, e não o total recebido).

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Razão e proporção
• Frações e MMC
• Equação do primeiro grau
• Noção de gráfico no plano cartesiano

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Diretamente proporcionais: razão constante, y = kx, gráfico em reta pela origem (F = m·a com m = 10)
• Inversamente proporcionais: produto constante, y = k/x, gráfico em hipérbole (v × t com d = 360)
• Divisão diretamente proporcional a 3, 5, 7: x = 3k, y = 5k, z = 7k
• Divisão inversamente proporcional a 3, 5, 7: x = k/3, y = k/5, z = k/7
• Questão modelo (Universo Narrado 2023): três irmãos e 220 bolinhas, alternativa correta c) 48
• Resolução em duas etapas: k = 480 (C = 40), depois k = 11 (C = 88); lucro 88 − 40 = 48

Grandezas diretamente proporcionais: a razão é constante

O professor abre dizendo que este é um dos temas mais recorrentes do ENEM e que é preciso dominá-lo. Ele começa pela ideia que o aluno costuma ter: "diretamente proporcionais é quando uma aumenta e a outra aumenta". Segundo ele, isso está parcialmente certo, mas incompleto, porque os aumentos e as reduções não podem ser aleatórios (um dobra e o outro triplica, por exemplo). Eles precisam acontecer de modo que a razão entre as duas grandezas seja constante: se uma dobra, a outra dobra; se uma triplica, a outra triplica; se uma cai pela metade, a outra também.

Para ilustrar, ele imagina dois salários ligados ao lucro da mesma empresa. Um ganha 20 e o outro ganha 10, e a razão é 2. Se a empresa lucra mais e os salários passam para 40 e 20, a razão continua sendo 2. Se a empresa lucra menos e os valores caem para 10 e 5, a razão ainda é 2. Os dois sobem e descem juntos, na mesma proporção.

Em linguagem algébrica, para duas grandezas $x$ e $y$ diretamente proporcionais, a razão $\frac{y}{x}$ é uma constante, que ele chama de $k$ (e lembra que o nome é livre, "pode chamar de sorvete"). Isolando $y$, obtém-se $y=kx$. No exemplo dos salários, $k=2$: 20 é duas vezes 10, e 40 é duas vezes 20.

A conclusão prática é que toda relação de proporcionalidade direta tem a forma $y=kx$, e é essa forma que ele usa daqui em diante para resolver problemas.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:19:00)

Exemplo da Física (F = m·a), tabela e gráfico em linha reta

Como exemplo clássico de grandezas diretamente proporcionais, o professor cita força e aceleração. Ao empurrar um bloco, se a força dobra, a aceleração dobra. A equação que relaciona as duas é $F=m\cdot a$, que é exatamente $y=kx$: a força faz o papel de $y$, a massa faz o papel de constante $k$ e a aceleração faz o papel de $x$.

Para ver os números, ele fixa a massa em 10 kg (sem se preocupar com unidades) e monta uma tabela. Com aceleração 0, a força é 0; com aceleração 1, a força é 10; com aceleração 2, é 20; com 3, é 30; com 4, é 40. Dividindo a força pela aceleração, o resultado é sempre 10, a constante. O caso 0 por 0 é um caso particular, que não faz sentido na divisão.

Quando a aceleração passa de 1 para 2, a força também é multiplicada por 2; quando passa a 3, a força triplica; quando vai a 4, a força quadruplica. Por isso o gráfico é uma reta. Pelo ponto de vista da função do primeiro grau ou da geometria analítica, $y=kx$ é a equação de uma reta especial, que passa obrigatoriamente pela origem: quando a força é zero, a aceleração também é zero.

O professor resume: grandezas diretamente proporcionais (que ele apelida de GDP) têm razão constante, obedecem a $y=kx$ e têm como gráfico uma reta que passa pela origem.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:29:00)

Grandezas inversamente proporcionais: o produto é constante

Passando às grandezas inversamente proporcionais, o professor explica que elas têm sentido contrário: quando uma aumenta, a outra diminui. Mas, como no caso anterior, não vale qualquer aumento ou redução. O que precisa ser preservado é o produto entre elas. Se uma dobra, a outra tem de cair pela metade.

O exemplo é de dois concorrentes que vendem o mesmo produto. Se um vende 200 e o outro vende 10, o produto é 2.000. Se o primeiro reduz as vendas pela metade, para 100, e o outro dobra, para 20, o produto continua sendo 2.000. Portanto, grandezas inversamente proporcionais são aquelas em que uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção, de modo que o produto fica constante.

Em símbolos, $x\cdot y=k$. Nesse exemplo, a constante vale 2.000. Isolando $y$, tem-se $y=\frac{k}{x}$. O professor diz que $xy=k$ e $y=k\mathrm{/}x$ são a mesma coisa, mas prefere deixar o $y$ isolado, porque fica mais prático. Ele observa que a lógica é a mesma do caso direto, só que agora o $k$ divide em vez de multiplicar.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:30:00)

Exemplo da Física: velocidade e tempo em uma viagem de 360 km

Como exemplo concreto de grandezas inversamente proporcionais, o professor usa velocidade e tempo, com velocidade constante. A equação $d=v\cdot t$ pode ser escrita como $v=\frac{d}{t}$, que é a mesma forma de $y=\frac{k}{x}$, em que a constante $k$ é a distância. Ele escolhe uma viagem de 360 km, número bom porque tem muitos divisores.

A 30 km/h, o tempo é $360÷30=12$ horas. Dobrando a velocidade para 60 km/h, o tempo cai para 6 horas. Quem dobra a velocidade reduz o tempo à metade, e o produto $30\times 12=60\times 6=360$ não muda. Triplicando a velocidade para 90 km/h, o tempo vai a 4 horas, um terço do original. Com 120 km/h, a velocidade quadruplica e o tempo é de 3 horas, um quarto. Com a velocidade de uma Fórmula 1, 360 km/h, a velocidade é multiplicada por 12 e o tempo cai para 1 hora, dividido por 12.

Ele chama a atenção para um detalhe: no caso direto, o par (0, 0) fazia sentido, mas aqui não. Com velocidade zero, o tempo seria infinito (a pessoa nunca chegaria), e com tempo zero seria preciso se teletransportar, o que nenhuma velocidade permite. Portanto, o zero não faz sentido nessa relação, e isso tem consequência direta no gráfico.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:34:00)

O gráfico das inversamente proporcionais é uma hipérbole

Como o zero não faz parte da relação, o gráfico de duas grandezas inversamente proporcionais não passa pela origem. O professor alerta para um erro frequente: achar que, se uma aumenta e a outra diminui, o gráfico é uma reta descendente. Isso está errado.

O raciocínio é o seguinte. Se a velocidade aumenta cada vez mais, o tempo diminui, mas nunca chega a zero, por mais rápido que se vá. Logo, a curva se aproxima do eixo vertical sem nunca encostar nele. Do outro lado, se a velocidade diminui cada vez mais, o tempo aumenta muito, mas a velocidade nunca é zero, pois então não se chegaria nunca. A curva se aproxima do eixo horizontal sem tocá-lo.

Com os pontos do exemplo, a 90 km/h o tempo é de 4 horas; reduzindo a velocidade a um terço (30 km/h), o tempo triplica para 12 horas; com velocidades muito altas, como 360 km/h, o tempo fica cada vez menor. O resultado é uma curva que não toca nos eixos, chamada de ramo de hipérbole (o professor diz que a hipérbole é o gráfico de duas grandezas inversamente proporcionais).

Resumo da seção: grandezas diretamente proporcionais dão sempre uma reta passando pela origem, e grandezas inversamente proporcionais dão uma hipérbole.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:39:00)

Divisão em partes direta e inversamente proporcionais

Um problema muito comum com esse tema é a divisão em partes: dividir uma herança ou um valor de forma direta ou inversamente proporcional a certos números. O professor mostra como transformar o enunciado em equações usando a constante $k$.

Na divisão diretamente proporcional, se $x$ é proporcional a 3, $y$ a 5 e $z$ a 7, a razão de cada um com seu número é constante: $x\mathrm{/}3$, $y\mathrm{/}5$ e $z\mathrm{/}7$ são iguais. Na forma prática, isolando as letras, $x=3k$, $y=5k$ e $z=7k$. (Na legenda, o professor fala em 4 ao introduzir o $z$ e depois usa 7; o desenvolvimento segue com 7.)

Na divisão inversamente proporcional a 3, 5 e 7, o produto de cada um com seu número é constante: $x\cdot 3$, $y\cdot 5$ e $z\cdot 7$ são iguais a uma constante. Isolando, $x=\frac{k}{3}$, $y=\frac{k}{5}$ e $z=\frac{k}{7}$. O $k$ agora divide, porque ser inversamente proporcional a 3 é o mesmo que ser proporcional a $\frac{1}{3}$.

O professor pede que o aluno deixe essas relações "bem destacadas", porque elas são o ponto de partida de toda questão de divisão proporcional. O passo seguinte é sempre o mesmo: usar o total conhecido (a soma das partes) para descobrir $k$ e, depois, calcular a parte pedida.

▶ Ver este trecho no vídeo (02:43:00)

Questão modelo ENEM: três irmãos e as bolinhas de gude

A questão, feita pelo professor para a ocasião, tem três irmãos que jogam bolinhas de gude. As bolinhas são divididas primeiro de forma inversamente proporcional às idades, 4, 8 e 12 anos. Depois do jogo, o primeiro ganhou 5 partidas, o segundo 7 e o terceiro 8, e as bolinhas são redistribuídas de forma diretamente proporcional às vitórias. Juntos têm 220 bolinhas, e pergunta-se quanto o terceiro irmão (chamado "Cabelo" na legenda) lucrou.

Primeira divisão: $A=\frac{k}{4}$, $B=\frac{k}{8}$, $C=\frac{k}{12}$, com $A+B+C=220$. Com MMC 24, fica $\frac{6k+3k+2k}{24}=220$, isto é, $\frac{11k}{24}=220$, e então $k=480$. O terceiro irmão recebe $480\mathrm{/}12=40$ bolinhas (os outros recebem 120 e 60).

Atalho do professor: quem tem metade da idade recebe o dobro, e quem tem o triplo da idade recebe um terço. Chamando de $x$ o do mais novo, os outros são $\frac{x}{2}$ e $\frac{x}{3}$. Daí $\frac{6x+3x+2x}{6}=220$, o que dá $x=120$, e os valores são 120, 60 e 40, os mesmos de antes. Ele diz preferir o método sistemático, mas o atalho serve quando os números são óbvios.

Segunda divisão: $5k+7k+8k=20k=220$, logo $k=11$, e o terceiro irmão recebe $8\times 11=88$ bolinhas. Ele começou com 40 e terminou com 88. A diferença entre os dois valores é 48, mas o professor, ao concluir, diz "88" ao responder qual foi o lucro (ver dúvidas do transcritor).

▶ Ver este trecho no vídeo (02:49:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao velocidade media segunda lei de newton movimento uniforme mmc e mdc

As 3 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em grandezas diretamente e inversamente proporcionais

1. 01

   Achar que 'uma aumenta e a outra aumenta' basta para serem

   Achar que 'uma aumenta e a outra aumenta' basta para serem diretamente proporcionais: é preciso que a razão seja constante.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Desenhar o gráfico das inversamente proporcionais como

   Desenhar o gráfico das inversamente proporcionais como uma reta decrescente, em vez de uma hipérbole.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Tentar usar o zero em grandezas inversamente proporcionais

   Tentar usar o zero em grandezas inversamente proporcionais (velocidade zero ou tempo zero não existem na relação).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Em divisão inversamente proporcional, multiplicar o k pelo

   Em divisão inversamente proporcional, multiplicar o k pelo número em vez de dividir: x = k/3, e não 3k.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Responder com o total final em vez do lucro, que é o final

   Responder com o total final em vez do lucro, que é o final menos o que a pessoa tinha no início.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais no ENEM