Funções e Raízes no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 12 minutos: o índice

Como o ENEM cobra funções e raízes

A questão modelo apresentada pergunta qual, entre cinco tipos de função, é a única que certamente possui raízes. O professor a usa como "pano de fundo" para discutir o conceito, e o que ela cobra é raciocínio por contraexemplo, não conta: basta lembrar de uma função de cada tipo que não zera. Ele não comenta estatística de recorrência.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Gráficos de função exponencial, seno e parábola
• Equação do segundo grau (Bhaskara)
• Limites do seno: entre -1 e 1
• Potência com expoente zero e negativo

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Raiz: valores de x tais que f(x)=0
• Gráficos com 3 raízes, 1 raiz e 5 raízes (cruzamentos com o eixo x)
• f(x)=2^x nunca cruza o eixo x
• f(x)=3+sen(x) fica entre 2 e 4 (a partir de -1≤sen x≤1, somando 3)
• f(x)=x²+1 fica acima de 1; f(x)=6x-12 cruza o eixo x em 2
• Questão modelo ENEM: a única função que certamente possui raízes é a do primeiro grau

O que é a raiz de uma função e como encontrá-la

Raiz de uma função é o valor de $x$ que faz a função zerar, isto é, que torna $f(x)=0$. Pode haver mais de uma raiz, e por isso o professor fala em "os valores de $x$ tais que $f(x)$ é nulo". Raiz e "zero da função" são o mesmo nome: pedir para calcular os zeros ou as raízes é pedir a mesma coisa.

Para encontrá-las algebricamente, basta igualar a função a zero e resolver a equação que aparece. No exemplo $f(x)=2x^2+3x-1$, escreve-se $2x^2+3x-1=0$ e resolve-se a equação do segundo grau, com Bhaskara, o que normalmente leva a dois valores, as duas raízes da função.

O ponto central é que encontrar a raiz, nesse sentido, é um procedimento relativamente simples: igualar a zero e resolver. A dificuldade da questão da aula não está em calcular uma raiz, mas em decidir, sem calcular, qual função tem raiz garantida. Para isso o professor passa para a leitura geométrica.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:31:00)

Raízes no gráfico: onde a curva corta o eixo x

Geometricamente, o eixo vertical guarda o valor de $y=f(x)$. O $y$ é zero exatamente sobre o eixo $x$; logo, os valores de $x$ que zeram a função são os pontos em que o gráfico corta (cruza) o eixo $x$. É por isso que as raízes também se chamam zeros da função.

Contar raízes no gráfico é contar cruzamentos com o eixo $x$. Em um gráfico que corta o eixo em três pontos, há três raízes; em outro que corta uma só vez, há uma única raiz. O professor alerta para um engano comum: cruzar o eixo $y$ não conta, porque a raiz é um valor de $x$, aquele cujo $y$ associado é zero.

Funções que oscilam, como o seno, cortam o eixo $x$ repetidamente. Em um trecho do gráfico com cinco cruzamentos há cinco raízes, e, como a função continua oscilando indefinidamente, o seno tem infinitas raízes. A regra é sempre a mesma: onde a função corta o eixo $x$, há uma raiz.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:33:00)

Exponencial e parábola: funções que podem não ter raiz

Com isso estabelecido, o professor volta à pergunta do motivador: qual das funções certamente tem raiz. O método é procurar contraexemplos, isto é, uma função de cada tipo que não zere em lugar nenhum.

Para a exponencial, toma $f(x)=2^x$. Em $x=0$ o valor é $2^0=1$, em $x=1$ é $2$, em $x=-1$ é $\frac{1}{2}$. Nenhum expoente faz $2^x$ chegar a zero, e o gráfico nunca corta o eixo $x$. Logo, uma função exponencial pode não ter raiz. O professor observa que seria possível construir uma exponencial que zera somando outro termo, mas o objetivo é só mostrar o contraexemplo.

Para o segundo grau, toma $f(x)=x^2+1$. Igualar a zero dá $x^2=-1$, e nenhum número real ao quadrado resulta em $-1$. Outra forma de ver: todo quadrado é positivo ou nulo, o menor valor de $x^2$ é $0$ e, portanto, o menor valor da função é $1$. A parábola fica sempre acima de $y=1$ e não corta o eixo $x$. Conclusão: uma equação do segundo grau pode ter uma, duas ou nenhuma raiz real.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:35:00)

Seno e cosseno deslocados, e por que a reta sempre tem raiz

Resta decidir sobre seno e cosseno. O professor monta a função $f(x)=3+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$. Como o seno está entre $-1$ e $1$, soma-se $3$ nas três partes da desigualdade: $2\le 3+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x\le 4$. A função fica presa à faixa entre $y=2$ e $y=4$, oscilando dentro dela. Como nunca chega a $y=0$, nunca cruza o eixo $x$ e não tem raiz. O mesmo vale para o cosseno. Já $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ puro tem infinitas raízes; portanto, seno e cosseno podem ou não ter raiz, como a função do segundo grau.

Sobra a função do primeiro grau. Seu gráfico é uma reta, e uma reta que não é horizontal precisa cruzar o eixo $x$ em algum ponto. O professor desafia a desenhar uma reta que não cruze o eixo: se ela fizer uma curva, deixou de ser reta. Por isso a função do primeiro grau é a única com raiz garantida, e a alternativa certa da questão é a do primeiro grau.

Como exemplo, $f(x)=6x-12$ é uma reta e tem de cruzar o eixo $x$. A transcrição termina quando o professor pergunta qual seria a raiz.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:39:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: bhaskara potencias de mesma base

As 5 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Erros que derrubam nota em funções e raízes

1. 01

   Contar cruzamentos com o eixo y como raízes, quando a raiz é

   Contar cruzamentos com o eixo y como raízes, quando a raiz é um valor de x.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Achar que toda parábola corta o eixo x

   Achar que toda parábola corta o eixo x: x² + 1 não tem raiz real.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que toda função exponencial zera

   Achar que toda função exponencial zera: 2^x nunca vale zero.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Achar que seno e cosseno sempre têm raiz

   Achar que seno e cosseno sempre têm raiz: 3 + sen x fica entre 2 e 4.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Dizer que 2 elevado a 0 é zero, quando vale 1

   Dizer que 2 elevado a 0 é zero, quando vale 1.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Funções e Raízes no ENEM