Regra de três no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 44 minutos: o índice

Como o ENEM cobra regra de três

O professor não comenta estatística nem o estilo do ENEM para este tema; diz apenas que regra de três é ferramenta de razão e proporção usada também em física e química. Na prática, a aula mostra as pegadinhas típicas: trocar a grandeza (usar a aresta do cubo em vez do volume), errar o sentido direta/inversa e esquecer de interpretar o resultado final (quantos operários contratar, e não quantos ao todo).

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Grandezas diretamente e inversamente proporcionais (aula anterior)
• Razão e proporção
• Simplificação de frações
• Volume do cubo e MMC (para somar frações)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Regra de três simples: GDP (distância no mesmo tempo, multiplica cruzado) e GIP (duração de mantimentos, multiplica reto)
• Gelo cúbico: preço proporcional ao volume (20³ e 30³), x = R$ 54,00
• Torneiras: 15 torneiras em 6 h, 20 torneiras, x = 4,5 h (4:30)
• Composta: impressoras como base, horas/dia e dias inversas (IP), folhas direta (DP), x = 4
• Questão de obras com fração da obra (3/10, 1/3, 11/30), W = 33, gabarito 13 contratados
• Solução alternativa pela equação do trabalho total: 3600 = 1080 + 1200 + 40W

Regra de três simples e grandezas diretamente proporcionais

O professor abre dizendo que regra de três é uma das ferramentas mais importantes da matemática, porque resolve qualquer situação de razão e proporção e também aparece com frequência em física e em química. A primeira divisão é entre regra de três simples, em que só duas grandezas estão envolvidas, e composta, que tem três ou mais.

Na regra de três simples, o método depende da natureza da relação entre as grandezas. Começando pelas diretamente proporcionais, são aquelas que variam na mesma proporção: se uma dobra, a outra dobra; se uma triplica, a outra triplica. O exemplo é uma corrida em que o tempo é o mesmo: quanto maior a velocidade, maior a distância percorrida.

Com velocidade 120 a distância é 360. Se a velocidade for 90, quanto será a distância? Como são grandezas diretamente proporcionais, a razão entre elas é constante, e vale ${\displaystyle \frac{120}{90}}={\displaystyle \frac{360}{x}}$. Isso é uma equação, e o jeito de resolvê-la é multiplicar cruzado: $120x=90\cdot 360$.

Aqui entra o combinado do professor: não fazer conta a não ser que seja obrigado. Quem multiplica 90 por 360 e depois divide por 120 perde tempo. O certo é isolar o x como $x={\displaystyle \frac{90\cdot 360}{120}}$ e simplificar: o zero corta com o zero, 36 dividido por 12 dá 3, e sobra $3\cdot 90=270$.

A resposta, 270 metros se o 360 for em metros, é coerente: a velocidade é menor, então a distância também é menor. Essa checagem de sentido é um hábito que ele recomenda manter em todas as questões.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:00:00)

Grandezas inversamente proporcionais: multiplica reto

Na contramão, as grandezas inversamente proporcionais variam em proporção inversa: quando uma dobra, a outra cai para a metade; quando uma triplica, a outra vai para a terça parte; quando uma multiplica por 10, a outra divide por 10. A definição que decide o método é que o produto entre elas é constante.

Se o produto é constante, a equação é montada multiplicando reto, e não cruzado. O exemplo é uma viagem com uma quantidade fixa de mantimentos: para 20 pessoas eles duram 24 dias. Para 12 pessoas, quanto tempo duram? Diminuiu o número de pessoas, então o tempo aumenta na razão inversa.

A conta fica $20\cdot 24=12\cdot x$. O 12 passa dividindo, e $x={\displaystyle \frac{20\cdot 24}{12}}$. De novo, sem fazer a multiplicação: 24 dividido por 12 dá 2, e $x=20\cdot 2=40$ dias.

O professor resume a regra em uma frase: nas diretas, multiplica cruzado; nas inversas, multiplica reto. Para decidir qual é qual, a pergunta é simples: se uma grandeza aumenta, a outra aumenta ou diminui? Aumentam juntas, direta. Uma sobe e a outra desce, inversa.

Esse é o ponto em que a maioria dos erros de regra de três acontece: aplicar o método errado por reflexo. Um teste rápido de sentido, perguntando se o resultado deveria ficar maior ou menor, pega o erro antes da resposta final.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:06:00)

Dois exemplos: cubo de gelo e torneiras

O primeiro exemplo traz um bloco de gelo cúbico cujo preço é proporcional ao volume. Se o cubo de aresta 20 custa R$16,quantocustaodearesta30?Oerrocl\acute{a}ssico,segundooprofessor,\acute{e}montarapropor\stackrel{\backslash c}{c}\tilde{a}odiretocom20e30,ques\tilde{a}oasarestas\mathrm{.}Agrandezaproporcionalaopre\stackrel{\backslash c}{c}o\acute{e}ovolume,eovolumedocubo\acute{e}aarestaaocubo:$20^3$e$30^3$.

Como preço e volume são diretamente proporcionais, multiplica cruzado: $x\cdot 20^3=16\cdot 30^3$. Calcular $20^3=8000$ e $30^3=27.000$ funciona, mas ele pede para não fazer a conta e simplificar: os três zeros cortam com os três zeros, o 8 simplifica com o 16 e sobra um 2. Então $x=2\cdot 27=54$. O cubo de aresta 30 custa R$ 54.

O segundo exemplo: 15 torneiras iguais demoram 6 horas para encher um tanque. Quanto tempo levam 20 torneiras da mesma vazão? O raciocínio é qualitativo: com o dobro de torneiras gasta-se metade do tempo; com dez vezes mais, a décima parte. São grandezas inversamente proporcionais, então multiplica reto.

A equação é $20x=15\cdot 6$. Simplificando 15 e 20 por 5, vem $4x=3\cdot 6$; simplificando 6 e 4 por 2, vem $2x=9$ e $x=4,5$ horas, ou 4 h 30 min. O professor acrescenta a lição geral: na regra de três simples o cuidado é com a escolha da grandeza (volume ou área, por exemplo, em vez do comprimento) e com o sentido direto ou inverso.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:09:00)

Regra de três composta: o método da grandeza base

A regra de três composta é aquela com três ou mais grandezas. O professor diz que um problema real raramente traz um número exagerado delas, mas o método vale para qualquer quantidade. Existe mais de um caminho; ele ensina o da grandeza base.

O exemplo: 6 impressoras, trabalhando 3 horas por dia durante 2 dias, imprimem 7200 folhas. Quantas impressoras são necessárias para imprimir 12.000 folhas trabalhando 5 horas por dia durante 3 dias? São quatro grandezas: impressoras, horas por dia, dias e folhas.

Primeiro passo: escolher uma grandeza como base. Pode ser qualquer uma; é uma boa prática escolher a que tem o x, só porque poupa contas. Aqui ele escolhe impressoras. Segundo passo: comparar a base com cada uma das outras, uma de cada vez, esquecendo as demais. Mais impressoras exigem menos horas por dia (inversa), menos dias (inversa) e imprimem mais folhas (direta).

Um aviso importante: os números da tabela não entram nesse julgamento. Decide-se direta ou inversa só pela natureza das grandezas, nunca porque o número 'subiu' ou 'desceu'.

Terceiro passo: montar a equação. A base fica sozinha à esquerda: ${\displaystyle \frac{6}{x}}$. À direita entram as outras. As inversas têm a razão invertida: horas, ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ em vez de ${\displaystyle \frac{3}{5}}$; dias, ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ em vez de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. A direta fica na ordem natural: folhas, ${\displaystyle \frac{7200}{12000}}$. Simplificando, o 3 corta com o 3, o 72 com o 12, o 6 com o 6, e sobra ${\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Logo x = 4 impressoras.

Ele reforça que escolher outra grandeza como base leva ao mesmo resultado, e que quem fica sozinho do lado esquerdo é sempre a base, não necessariamente o x.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:14:00)

O problema mais difícil: obra com mudança de equipe, parte 1

Para o professor, este é o tipo de problema mais difícil possível dentro da regra de três composta. O enunciado: uma empreiteira designou 30 operários para uma obra de 20 dias, com jornada normal de 6 horas por dia. No fim do sexto dia, 10 trabalhadores sofreram acidente e se ausentaram. Os 20 restantes continuaram trabalhando normalmente durante 10 dias. Para terminar no prazo, a empresa contratou mais operários e aumentou a jornada deles para 10 horas. Quantos foram contratados?

O que torna a questão difícil é que ocorrem mudanças ao longo do processo. No exemplo das impressoras havia só duas situações para comparar; aqui há várias etapas com equipes diferentes.

A chave é acrescentar uma nova grandeza: a fração (ou porcentagem) da obra. Trinta operários, 6 horas por dia, 20 dias fazem a obra inteira, isto é, 1. Para os seis primeiros dias, a fração feita é o x que se quer descobrir.

Ele escolhe operários como base e compara com cada uma das outras: horas por dia (inversa), dias (inversa) e fração da obra (direta). A equação fica ${\displaystyle \frac{30}{30}}={\displaystyle \frac{6}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}$, e então $x={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$, ou seja, 30% da obra.

O professor nota que isso daria para fazer de cabeça: se a obra está programada para 20 dias, cada dia faz um vigésimo, e seis dias fazem ${\displaystyle \frac{6}{20}}$. Mas é bom ver o método funcionar em uma situação em que o resultado já é conhecido.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:22:00)

Obra com mudança de equipe, parte 2: o que falta e a interpretação

Segunda etapa: saíram 10 operários, ficaram 20, que trabalham 6 horas por dia durante 10 dias. Chamando de y a fração feita, o professor esquece a linha do meio e compara com a primeira. A equação é ${\displaystyle \frac{30}{20}}={\displaystyle \frac{6}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{y}}$ (as inversas aparecem invertidas). Simplificando, ${\displaystyle \frac{3}{1}}={\displaystyle \frac{1}{y}}$ e $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Nesses 10 dias a equipe de 20 fez um terço da obra.

Terceira etapa: aqui entra o motivo de existir a fração da obra. A obra devia durar 20 dias; passaram-se 6 mais 10, ou seja, 16, então restam 4 dias. Os novos operários, W no total, trabalham 10 horas por dia nesses 4 dias. Eles não precisam fazer a obra inteira, só o que faltou.

O que já foi feito é a soma das duas etapas: ${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Com MMC 30, vira ${\displaystyle \frac{9}{30}}+{\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{19}{30}}$. Faltam, portanto, ${\displaystyle \frac{11}{30}}$ da obra.

A regra de três da última etapa, comparando de novo com a primeira linha, fica ${\displaystyle \frac{30}{W}}={\displaystyle \frac{10}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{30}{11}}$, e o último fator é o inverso de ${\displaystyle \frac{11}{30}}$. Simplificando os fatores comuns, o resultado é $W=33$.

Mas a pergunta é quantos operários foram contratados. Neste momento a empresa tinha 20 em campo, pois 10 haviam saído. Logo foram contratados $33-20=13$. O professor brinca que, se existisse 33 entre as alternativas, quem não interpretasse o enunciado marcaria errado: a interpretação final também faz parte do problema.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:29:00)

A solução elegante: equação do trabalho total

Depois de todo o trabalho da regra de três composta, o professor mostra um caminho bem mais rápido para esse tipo de problema, que exige pensar um pouco mais. A ideia é dar uma produtividade ao operário: por exemplo, cada um assenta 10 tijolos por hora. O valor é chute; ele vai cortar no final.

O trabalho total da obra é a produtividade vezes operários, horas por dia e dias: $10\cdot 30\cdot 6\cdot 20$. Como a obra foi feita em etapas, esse total é igual à soma do que cada etapa produziu.

Etapa 1: 30 operários, 6 horas por dia, 6 dias, isto é, $10\cdot 30\cdot 6\cdot 6$, que dá 1080 depois de tirar o fator 10 (ele deixa o 10 escrito só para mostrar que sai). Etapa 2: 20 operários, 6 horas por dia, 10 dias: $20\cdot 6\cdot 10=1200$. Etapa 3: W operários, 10 horas por dia, 4 dias: $W\cdot 10\cdot 4=40W$.

Colocando o 10 em evidência e cortando, a equação fica $3600=1080+1200+40W$. Daí $40W=3600-2280=1320$ e $W=33$, exatamente o valor obtido pelo método longo.

O professor destaca que o 10 era chute e não faz diferença; se tivesse usado 1, seria até melhor. Para ele, é um raciocínio mais elegante e rápido: com uma única equação resolve-se o tipo mais difícil de regra de três composta, e a interpretação final (33 menos os 20 que já estavam, 13 contratados) continua valendo.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:37:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao operacoes com fracoes mmc e mdc vazao

As 6 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · exemplo do professor

Questão 03 · exemplo do professor

Questão 04 · exemplo do professor

Questão 05 · exemplo do professor

Questão 06 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em regra de três

1. 01

   Fazer a conta bruta

   Fazer a conta bruta (multiplicar tudo e depois dividir) em vez de simplificar antes.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Multiplicar cruzado em grandezas inversas, ou reto

   Multiplicar cruzado em grandezas inversas, ou reto em grandezas diretas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Usar a aresta do cubo em vez do volume na proporção

   Usar a aresta do cubo em vez do volume na proporção.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Julgar direta ou inversa olhando os números do enunciado

   Julgar direta ou inversa olhando os números do enunciado em vez das grandezas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer de inverter a razão das grandezas inversamente

   Esquecer de inverter a razão das grandezas inversamente proporcionais na regra composta.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
6. 06

   Em obra em etapas, ignorar a fração já executada e tratar

   Em obra em etapas, ignorar a fração já executada e tratar a última etapa como a obra inteira.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
7. 07

   Responder o total de operários quando a pergunta é quantos

   Responder o total de operários quando a pergunta é quantos contratar.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
8. 08

   Achar que a grandeza base tem de ser a que tem o x

   Achar que a grandeza base tem de ser a que tem o x (é só mais prático) ou que o x é quem fica sozinho.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Regra de três no ENEM