Função Afim no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 21 minutos: o índice

Como o ENEM cobra função afim

O professor diz que as particularidades da função afim (papel de $a$ e de $b$, interpretação do gráfico) "vão aparecer na prova do Enem". Na prática, a aula mostra a cobrança em contexto: um problema de movimento em que é preciso reconhecer o coeficiente linear como valor inicial e o angular como taxa de variação. Ele também mostra que, só olhando o coeficiente linear, dá para eliminar quase todas as alternativas.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Plano cartesiano e marcação de pontos
• Substituição de valores em uma expressão
• Noção de raiz de uma função (valor de x que zera a função)
• Noção de velocidade constante (opcional, para a questão)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• f(x)=ax+b: a é o coeficiente angular e b o linear
• Coeficiente angular mede a inclinação da reta: a>0 crescente, a<0 decrescente (y=2x, y=x, y=-x, y=-2x)
• Coeficiente linear: onde a reta corta o eixo y (f(0)=-1 em 2x-1; g(0)=1 em 3x+1)
• M.U.: S(t)=S0+v·t, ou seja, f(x)=80+100·x
• Questão modelo: S(0)=b=80 km e S(1)=180 dão a=100 km/h, logo S(t)=100t+80

Raiz de uma função e a questão da família a caminho do Rio

A aula começa fechando a questão anterior, que perguntava qual função certamente possui raízes. O professor lembra primeiro o que é a raiz: algebricamente, é o valor de $x$ que se obtém igualando a função a zero, ou seja, o valor que faz $y$ zerar. No gráfico, é o ponto em que a função corta o eixo $x$. No exemplo numérico que ele fecha, $6\cdot 2-12=0$, então $x=2$ é a raiz.

A conclusão é que a função do primeiro grau sempre tem raiz: ele desafia o aluno a desenhar uma reta que não cruze o eixo $x$ e diz que não há como. Por isso a resposta da questão anterior era a letra B, a função do primeiro grau.

Em seguida o professor anuncia as particularidades da função do primeiro grau que o aluno precisa dominar para o ENEM e apresenta a questão que vai guiar a aula. Uma família viaja de Belo Horizonte para o Rio de Janeiro, partindo do quilômetro 80 da BR-040, e o motorista mantém velocidade constante de 100 km/h. Chama-se função horária a equação da posição $S$ do carro em função do tempo $t$.

O enunciado pede a equação da função horária para um gráfico cuja origem seja o ponto $(0,0)$, isto é, com $t=0$ como instante inicial. Antes de resolver, o professor propõe revisar a teoria, porque a questão se resolve quase inteira com ela.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:43:00)

O que é a função afim e como é o seu gráfico

Função afim, ou função do primeiro grau, é uma função da forma $f(x)=ax+b$, em que $a$ e $b$ são números conhecidos. O número $a$ é chamado de coeficiente angular, ou inclinação, e o número $b$, de coeficiente linear. Para cada valor de $x$ colocado na expressão, ela devolve um valor de $y$, isto é, de $f(x)$.

A primeira informação importante é a forma do gráfico: o gráfico de uma função afim é sempre uma linha reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, mas nunca deixa de ser reta.

O sinal do coeficiente angular decide o sentido. Se $a$ é positivo, a reta é crescente; se $a$ é negativo, a reta é decrescente. O professor avisa, porém, que quer aprofundar o papel de $a$ para além desse sinal, e é o que faz no tópico seguinte.

Essa visão geral, reta mais dois parâmetros, é o que o aluno precisa ter na cabeça ao ver qualquer função do primeiro grau: como a reta fica depende de $a$ e de $b$, e cada um tem um significado geométrico próprio.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:44:00)

Coeficiente angular: a inclinação da reta

Para entender de fato o papel de $a$, o professor compara duas retas. Na reta $y=2x$, quando $x=1$ temos $y=2$, e quando $x=2$ temos $y=4$; a reta passa por esses dois pontos. Na reta $y=1\cdot x$, quando $x=1$ temos $y=1$ e quando $x=2$ temos $y=2$. Desenhadas no mesmo gráfico, a primeira é claramente mais inclinada que a segunda.

A conclusão é que o coeficiente angular mede a inclinação da reta em relação à horizontal: quanto maior o valor de $a$, mais inclinada a reta fica. Isso vale sempre, tanto para retas crescentes quanto para decrescentes.

Se $a$ é positivo, a reta é crescente: à medida que $x$ aumenta, $y$ também aumenta, e quanto maior $a$, mais inclinada é a reta. Se $a$ é negativo, a reta é decrescente, e continua valendo o mesmo princípio de inclinação.

Para ilustrar o caso negativo, ele usa $y=-x$: com $x=1$, $y=-1$; com $x=2$, $y=-2$. É uma reta decrescente, em que $x$ aumenta e $y$ diminui. Com $y=-2x$ a reta continua decrescente, porém com maior inclinação em relação à horizontal, porque já em $x=1$ temos $y=-2$.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:46:00)

Coeficiente linear: onde a reta corta o eixo y

O segundo parâmetro é mais fácil de descobrir. Tome $f(x)=2x-1$ e pergunte quanto vale $f(0)$: com $x=0$, o termo $2\cdot 0$ desaparece e sobra apenas $-1$. Ou seja, o $-1$ é o valor de $y$ quando $x$ é zero.

Geometricamente, o ponto em que $x=0$ é justamente onde a reta corta o eixo vertical. Logo, o coeficiente linear representa onde a reta corta o eixo $y$. No exemplo, a reta cruza o eixo em $y=-1$.

O professor repete com $g(x)=3x+1$: como $g(0)=1$, a reta corta o eixo $y$ em $y=1$, e por ter coeficiente angular 3 é uma reta crescente bastante inclinada. (Na fala, ele chama o 3 de coeficiente linear, mas pelo contexto é o angular.)

A regra geral: em $f(x)=ax+b$, $f(0)=a\cdot 0+b=b$, sempre. O valor de $y$ quando $x$ é zero é $b$, e é onde a reta corta o eixo $y$.

O resumo que ele faz: o gráfico é uma reta com dois parâmetros. O angular mede a inclinação (quanto maior o número, maior a inclinação; positivo, crescente; negativo, decrescente). O linear dá o ponto de corte com o eixo $y$, isto é, o valor de $y$ para $x=0$.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:52:00)

Resolvendo a questão: coeficiente linear e descarte de alternativas

Com a teoria na mesa, o professor volta à questão. A posição é dada em função do tempo, então no lugar de $y$ e $x$ temos $S$ e $t$, mas a estrutura é a mesma: $S(t)=at+b$. As alternativas mostram que se trata de função do primeiro grau, com expressões como $80t+100$, $100t+80$ e $100t-80$.

O enunciado diz que a viagem parte do quilômetro 80. Como $t=0$ é o instante em que a viagem começa, $S(0)=80$. Mas $S(0)$ é justamente o coeficiente linear $b$, então $b=80$. É a interpretação já vista: o valor de $y$ quando $x$ é zero.

Só isso já permite descartar alternativas. A que tem coeficiente linear 100 não serve; a que tem $-80$ também não, porque o correto é $+80$; e as duas que não têm termo independente (só $at$) têm $b=0$, o que também não bate. Sobra a letra B, $100t+80$, e a questão poderia ser encerrada ali. O professor faz questão de lembrar que o objetivo da aula é revisar como as coisas funcionam, por isso mostra também como obter o 100.

Como o tempo está em horas e a posição em quilômetros, uma velocidade de 100 km/h significa que em 1 hora o carro anda 100 km; partindo do km 80, chega ao km 180. Logo $S(1)=180$. Substituindo $t=1$ em $S(t)=at+80$: $a\cdot 1+80=180$, então $a=100$. O coeficiente angular é a própria velocidade, 100 km/h, e a função é $S(t)=100t+80$. O professor observa que, no gráfico, só interessa a parte com $t\ge 0$, pois tempo negativo não faz sentido aqui.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:56:00)

Solução alternativa: movimento uniforme da Física

O professor mostra um atalho para quem lembra da Física. A viagem a velocidade constante é um movimento uniforme, cuja equação horária da posição é $S=S_0+vt$.

Essa equação tem exatamente a forma de $f(x)=ax+b$, com o tempo no papel de $x$. A associação é direta: o coeficiente linear é a posição inicial $S_0$ e o coeficiente angular é a velocidade $v$. Por isso, o gráfico que vinha sendo montado na aula é justamente o da função horária da posição de um movimento uniforme.

Lendo o enunciado por esse caminho, a posição inicial é o km 80 e a velocidade é 100 km/h, o que leva direto a $S=80+100t$, sem precisar testar pontos. Ele chama a coincidência de "doideira" e diz que é exatamente o que se estava fazendo na solução anterior.

A transcrição desta aula termina neste ponto, quando o professor começa a perguntar quem é a posição inicial ($S_0$).

▶ Ver este trecho no vídeo (05:02:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: movimento uniforme

As 1 questões resolvidas na aula

Questão 01 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em função afim

1. 01

   Achar que existe reta sem raiz

   Achar que existe reta sem raiz: toda reta (função do 1º grau) cruza o eixo $x$, segundo o professor.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Confundir o coeficiente angular com o linear, ou esquecer

   Confundir o coeficiente angular com o linear, ou esquecer que o linear é o valor de $y$ em $x=0$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Achar que reta decrescente tem menor inclinação só por ter

   Achar que reta decrescente tem menor inclinação só por ter $a$ negativo: continua valendo que quanto maior o valor de $a$, maior a inclinação.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Trocar os valores da posição inicial e da velocidade

   Trocar os valores da posição inicial e da velocidade ao montar $S(t)=at+b$.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Função Afim no ENEM