Escalas no ENEM: o que cai e como resolver

Esta aula em 31 minutos: o índice

Como o ENEM cobra escalas

O professor diz que escala é um tema clássico, que certamente cai, embora não se saiba quantas questões. Normalmente são questões fáceis, porque o assunto é relativamente simples, mas podem ser complicadas. A questão da aula mostra a pegadinha prática: dar a massa (ligada ao volume) e pedir a área, o que obriga a passar pela escala de comprimento, além de misturar toneladas e quilos.

Antes desta aula, vale ter em dia:

• Razão e proporção
• Área e volume de figuras simples (quadrado e cubo)
• Raiz quadrada e raiz cúbica
• Conversão de unidades (m, cm, t, kg)

O mapa mental da aula

O que o mapa destaca:

• Escala de comprimento: régua de 1 cm para 30 cm, e = 1:30
• Escala de área: eA = e² (1² : 30² = 1:900)
• Escala de volume: eV = e³ (1³ : 30³ = 1:27.000)
• Diagrama: e → eA elevando ao quadrado, e → eV ao cubo; volta com raiz quadrada e raiz cúbica
• Questão modelo: massa 20 kg / 1.280.000 kg dá eV = 1:64.000, e = 1:40, eA = 1:1600
• Resposta da questão: 800/1600 = 0,5 m² (alternativa b)

O que é escala e por que ela aparece no ENEM

O professor abre dizendo que escala é um dos temas clássicos do ENEM: não se sabe quantas questões virão nem com que dificuldade, mas que o tema cai é indiscutível. Normalmente as questões são fáceis, porque o assunto é relativamente simples, embora possam ser complicadas com um pouco de criatividade. Ele preparou uma questão que reúne tudo sobre escalas.

Ele começa por uma observação de vocabulário: dizer "escala" e dizer "escala de comprimento" é a mesma coisa. A expressão "de comprimento" seria redundante, e ele a usa apenas para contrastar, mais adiante, com as escalas de área e de volume. Quando a prova fala apenas em escala, trata-se sempre da escala de comprimento.

Escala é uma razão entre duas medidas, usada para representar objetos em tamanhos diferentes do real. Para desenhar uma bactéria ou um vírus é preciso ampliar: se a perninha da bactéria mede 1 picômetro e é desenhada com 3 cm, o desenho está numa escala de 3 milhões de vezes a realidade (valor dado como exemplo ilustrativo). Para projetar uma casa é preciso reduzir, fazendo uma miniatura.

Como a escala é uma razão, as duas medidas têm de estar na mesma unidade. Um lado de casa com 5 m desenhado com 5 cm não está na escala 1 para 1: 5 m são 500 cm, logo a escala é de 5 para 500, ou seja, 1 para 100. Os lados do desenho foram multiplicados por 100 para chegar à realidade.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:45:00)

Escala de comprimento: o exemplo da régua de 30 cm

Para sistematizar, o professor usa uma régua. No desenho, ela é representada por 1 cm; na realidade, tem 30 cm. Por isso a escala é de 1 para 30: cada unidade no desenho representa 30 unidades reais, sempre falando de comprimentos e com as duas medidas na mesma unidade.

Depois ele pede que se imagine copiar esse desenho e colar uma régua ao lado de outra, formando uma figura maior, e depois ampliar tudo com zoom até que cada pedaço volte ao tamanho original. Em nenhum momento a escala mudou: continua valendo que 1 cm no desenho corresponde a 30 cm na realidade. O ponto é que o desenho em si não foi alterado, apenas copiado e ampliado de forma semelhante.

O que muda, e é isso que a aula quer mostrar, é o que acontece com grandezas que não são comprimentos. Enquanto cada lado é multiplicado por 30, a área e o volume são multiplicados por valores bem diferentes de 30, mas totalmente relacionados com ele. A escala continua sendo 1 para 30; o que se compara em cada caso (comprimento, área ou volume) é que muda.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:50:00)

Escala de área: o quadrado da escala

Com o quadrado de lado 1 cm no desenho, a área é 1 x 1 = 1 cm². Na realidade, o lado vale 30 cm e a área vale 30 x 30 = 900 cm². A área saiu de 1 e foi para 900, ainda que a escala de comprimento seja apenas 1 para 30 e nada tenha sido mudado no desenho.

O professor resolve a aparente contradição mostrando que a escala de área não é independente da escala de comprimento: ela é dada por 1² para 30², isto é, 1 para 900. Em palavras, a escala de área é o quadrado da escala de comprimento. Se a escala é de 1 para 30, elevando os dois termos ao quadrado obtém-se 1 para 900, exatamente o que acontece com a área do desenho.

Para sair da escala normal e chegar à de área, eleva-se ao quadrado. No caminho inverso, partindo da escala de área e querendo a escala normal, tira-se a raiz quadrada. Ele destaca que isso faz sentido e é coerente com o cálculo direto das áreas.

▶ Ver este trecho no vídeo (03:55:00)

Escala de volume: o cubo da escala

O mesmo raciocínio vale para volume. Com um cubo de aresta 1 cm no desenho, o volume é 1 x 1 x 1 = 1 cm³. Na realidade, a aresta vale 30 cm, e o volume é 30 x 30 x 30 = 30³ = 27.000 cm³. A escala continua sendo 1 para 30, mas o volume ficou multiplicado por 27.000.

Portanto a escala de volume é de 1 para 27.000, que é 1³ para 30³. Analogamente à área, a escala de volume é o cubo da escala normal. Para sair da escala normal e ir à de volume, eleva-se ao cubo; para voltar da de volume à normal, tira-se a raiz cúbica.

O professor resume: todos os desenhos estão na mesma escala de 1 para 30, mas, ao analisar o comprimento, os comprimentos ficam multiplicados por 30; ao analisar a área, as áreas ficam multiplicadas por 30², que é 900; e ao analisar o volume, os volumes ficam multiplicados por 30³, que é 27.000.

Para passar da escala de volume para a de área, ou o inverso, ele recomenda o caminho seguro: ir sempre à escala normal e dali para a que se quer. Quem tem a de volume acha a normal (raiz cúbica) e depois a de área (quadrado); quem tem a de área acha a normal (raiz quadrada) e depois a de volume (cubo).

▶ Ver este trecho no vídeo (03:58:00)

Questão modelo ENEM: a miniatura da estátua

O enunciado, lido pelo professor: um artista plástico é contratado para fazer a miniatura de uma estátua para o centro de um salão de um museu. A estátua original tem massa de 1280 toneladas e área superficial de 800 m². Ele quer uma escultura proporcionalmente idêntica, de 20 kg, do mesmo material, e precisa calcular a área superficial dela para saber quanta tinta comprar. Pede-se essa área em m².

A primeira dificuldade é perceber a que escala a massa se relaciona. Como densidade é massa sobre volume, a massa é igual à densidade vezes o volume: para o mesmo material, massa e volume são diretamente proporcionais. Logo a razão entre as massas é a escala de volume.

Em seguida é preciso colocar as massas na mesma unidade: 1280 toneladas são 1.280.000 kg. A razão entre a escultura e a realidade é 20 para 1.280.000, que simplificada resulta em 1 para 64.000 (o professor faz essa simplificação em voz alta; ver dúvidas do transcritor). Essa é a escala de volume.

Como se quer a área e não há atalho direto, vai-se primeiro à escala normal: raiz cúbica de 64.000 é 40, logo a escala de comprimento é 1 para 40. Isso significa que uma altura de 40 m viraria 1 m, e uma de 400 m viraria 10 m. A escala de área é o quadrado: 1 para 40² = 1 para 1.600. A área da escultura é então 800 / 1.600 = 0,5 m².

▶ Ver este trecho no vídeo (04:08:00)

Fechamento: onde está a dificuldade da questão

O professor recapitula as três etapas que tornavam a questão mais difícil do que o tema sugere. Primeiro, relacionar a proporção de massa com a de volume, identificando que massa é proporcional ao volume. Segundo, como a razão entre os volumes dá a escala de volume e não há caminho direto até a área, tirar a raiz cúbica para obter a escala normal do desenho. Terceiro, elevar essa escala ao quadrado para obter a razão de área e, com ela, dividir a área real e obter a área da escultura.

Ele conclui que se fez um estudo completo de escalas: comprimento, área e volume, e a conversão entre elas. A transcrição se encerra aí, no meio da frase de fechamento da aula.

▶ Ver este trecho no vídeo (04:15:00)

As fórmulas desta aula

Fichas completas: proporcao radiciacao volume do cilindro

As 2 questões resolvidas na aula

Questão 01 · exemplo do professor

Questão 02 · questão modelo ENEM (enunciado do mapa mental)

Erros que derrubam nota em escalas

1. 01

   Escala só vale com as duas medidas na mesma unidade

   Escala só vale com as duas medidas na mesma unidade (5 m contra 5 cm não é 1 para 1).

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
2. 02

   Usar a escala de comprimento para multiplicar áreas ou

   Usar a escala de comprimento para multiplicar áreas ou volumes: área pede o quadrado e volume pede o cubo.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
3. 03

   Aplicar a escala de volume diretamente à área

   Aplicar a escala de volume diretamente à área: o caminho seguro é passar pela escala de comprimento.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
4. 04

   Esquecer de converter toneladas em quilos antes de dividir

   Esquecer de converter toneladas em quilos antes de dividir as massas.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.
5. 05

   Esquecer que massa de um mesmo material é proporcional

   Esquecer que massa de um mesmo material é proporcional ao volume e tentar relacioná-la à área ou ao comprimento.

   Como evitar: Refaça o passo com a fórmula na frente e confira a unidade ou o intervalo do resultado antes de marcar.

FAQ: Escalas no ENEM