Lei dos cossenos em vetores: a fórmula e o exemplo

Q: Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

a² = b² + c² − 2bc·cos(Â), onde é o ângulo oposto ao lado a. Vale para qualquer triângulo.

Q: Por que na soma de vetores o sinal é positivo?

Porque o ângulo usado é o entre os vetores, suplemento do ângulo interno: cos(180° − Â) = −cos Â. É a mesma lei com outro ângulo.

Q: A lei vale para ângulos obtusos?

Vale: o cosseno negativo faz o termo de correção somar, e o lado oposto sai maior que no caso retângulo.

Q: Por que traçar uma altura ajuda a demonstrar a lei?

Porque ela divide o triângulo genérico em dois triângulos retângulos, onde Pitágoras se aplica diretamente.

Q: Por que às vezes o lado fica maior que no caso de 90°?

Porque o cosseno de ângulo obtuso é negativo e o termo −2bc·cos(Â) passa a somar.

Q: Como achar um ângulo com a lei dos cossenos?

Isolando o cosseno: cos(Â) = (b² + c² − a²)/(2bc). O sinal do resultado indica se o ângulo é agudo ou obtuso.

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

Pra um triângulo qualquer de lados a, b, c, com $\hat{A}$ sendo o ângulo OPOSTO ao lado a:

Lei dos cossenos

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

Pitágoras mais um termo de correção. Ângulo agudo desconta; ângulo obtuso (cos negativo) acrescenta; 90° zera o termo e devolve Pitágoras.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

A regra de leitura é uma só: o ângulo da fórmula é o OPOSTO ao lado que você quer.

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a$	o lado que você procura (ou conhece)	comprimento
$b, c$	os outros dois lados	comprimento
$\hat{A}$	o ângulo oposto ao lado a — entre b e c	grau ou rad

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem o termo $- 2 b c \cos \hat{A}$ ? De projetar. Baixa uma altura no triângulo e ele se divide em dois triângulos retângulos; aplica Pitágoras num deles e substitui a projeção $c \cos \hat{A}$ :

Dedução · altura + Pitágoras

a^{2} = h^{2} + (b - c \cos \hat{A})^{2} = c^{2} {sen}^{2} \hat{A} + b^{2} - 2 b c \cos \hat{A} + c^{2} \cos^{2} \hat{A}

h = c·sen e a projeção sobre b vale c·cos Â. Expandindo e usando sen² + cos² = 1…

…e a relação fundamental fecha

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}

O sen² e o cos² se recombinam em c², e sobra a lei. É Pitágoras aplicado com honestidade a um triângulo torto.

Repara no truque da demonstração: traçar a altura foi o que transformou um triângulo qualquer em dois triângulos retângulos — e triângulo retângulo é o único que a gente sabe tratar com Pitágoras. É o movimento padrão da geometria: quando o objeto é genérico demais, corte-o em pedaços conhecidos.

Uma honestidade sobre a figura: o desenho acima é o do triângulo acutângulo, em que o pé da altura cai dentro do lado. Se o ângulo for obtuso, o pé cai fora e a figura muda de aparência. A conta, porém, é exatamente a mesma — porque $c \cos \hat{A}$ fica negativo e a álgebra se encarrega do resto. Por isso a fórmula final vale para qualquer triângulo, mesmo tendo sido desenhada num caso particular. Você pode estar pensando: “se a fórmula tem um sinal de menos, por que o lado às vezes fica MAIOR que no caso reto?” Porque com ângulo obtuso o cosseno é negativo, e menos com menos dá mais: o termo passa a somar. O sinal da fórmula é fixo; quem muda é o cosseno. Selo Demonstrável. E o teste de sanidade embutido: com $\hat{A} = 90 °$ , o cosseno zera e a fórmula VIRA Pitágoras. Toda generalização boa devolve o caso particular.

Lei dos cossenos: o artigo completo

Quando usar (e quando não)?

Use quando conhecer dois lados e o ângulo ENTRE eles (pra achar o terceiro lado), ou os três lados (pra achar um ângulo). São os dois casos em que a lei dos senos não ajuda.

Se o que você tem é um par lado-ângulo oposto, aí a lei dos senos resolve mais rápido. O critério é esse: entre eles → cossenos; opostos → senos.

Com ângulo obtuso, o cosseno é NEGATIVO — e o termo −2bc·cos A vira uma SOMA. Errar esse sinal é o jeito mais comum de errar a questão inteira. E na soma de vetores a fórmula aparece com +2ab·cos θ: não é outra lei, é outro ângulo (o entre os vetores, não o interno do triângulo).

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê: com 90° a resposta seria $\sqrt{34} \approx 5, 8$ . Como 60° é MENOR que 90°, os lados se “fecham” e o terceiro lado tem que sair menor que isso. E pela desigualdade triangular, maior que 2. O intervalo é esse:

🪖 BásicoDois lados e o ângulo entre eles

Num triângulo, dois lados medem 3 e 5, formando 60° entre si. Quanto mede o terceiro lado? (cos 60° = 1/2)

O lado procurado é oposto ao ângulo de 60°: $a^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60 °$ .
$a^{2} = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$ .
$a = \sqrt{19} \approx 4, 36$ .

Terceiro lado:

a = \sqrt{19} \approx 4, 36

Verificação: bateu com a previsão: 4,36 é menor que 5,8 (caso reto) e está dentro do intervalo 2–8 da desigualdade triangular. E se o ângulo fosse 120° em vez de 60°? O cosseno vira −1/2, o termo de correção SOMA em vez de subtrair, e o lado sai $\sqrt{49} = 7$ — maior que no caso reto. Abrir o ângulo afasta os extremos: é a fórmula descrevendo geometria óbvia.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar o ângulo errado
O ângulo da fórmula é o oposto ao lado isolado — o que fica ENTRE os outros dois. Pegar qualquer ângulo dado no enunciado sem checar a posição é erro de montagem.
Como evitar: marque na figura: o lado que você quer “olha” pro ângulo que entra na fórmula.
02
Errar o sinal com ângulo obtuso
cos 120° = −1/2: o termo −2bc·cos vira +bc, e o lado sai MAIOR que no caso reto. Quem força o sinal negativo encolhe o lado.
Como evitar: deixe o cosseno fazer o trabalho: substitua com o sinal dele e não mexa na fórmula.
03
Confundir com a fórmula da soma de vetores
Na resultante de dois vetores, $R^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos θ$ — sinal positivo. Não é contradição: θ ali é o ângulo entre os vetores, que é o suplemento do ângulo interno do triângulo.
Como evitar: são a MESMA lei com ângulos diferentes: cos(180° − Â) = −cos Â. Identifique qual ângulo o problema te deu.

FAQ: perguntas sobre a lei dos cossenos

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ , onde é o ângulo oposto ao lado a. Vale pra qualquer triângulo.

Quando usar lei dos cossenos e quando usar lei dos senos?

Cossenos: dois lados e o ângulo entre eles, ou três lados. Senos: um lado e seu ângulo oposto conhecidos. É o critério que decide em segundos.

Qual a relação com o Teorema de Pitágoras?

Pitágoras é o caso particular com = 90°: o cosseno zera e o termo de correção some. A lei dos cossenos é o Pitágoras de triângulo qualquer.

Por que na soma de vetores o sinal é positivo?

Porque o ângulo usado é o ENTRE os vetores, suplemento do ângulo interno do triângulo da resultante: cos(180° − Â) = −cos Â. Mesma lei, ângulo diferente.

A lei vale para ângulos obtusos?

Vale — e é onde ela brilha: o cosseno negativo faz o termo de correção somar, e o lado oposto sai maior que no caso retângulo.

Por que traçar uma altura ajuda a demonstrar a lei?

Porque ela quebra o triângulo genérico em dois triângulos retângulos — e o retângulo é o único que Pitágoras trata diretamente. É o movimento clássico: reduzir o desconhecido ao conhecido.

Por que às vezes o lado fica maior que no caso de 90°?

Porque o cosseno de ângulo obtuso é negativo, e o termo $- 2 b c \cos \hat{A}$ passa a somar. O sinal da fórmula não muda; o sinal do cosseno sim.

Como achar um ÂNGULO com a lei dos cossenos?

Isolando o cosseno: $\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ . Com os três lados conhecidos, essa é a forma direta — e o sinal do resultado já diz se o ângulo é agudo (positivo) ou obtuso (negativo).

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Fórmula da lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos A

Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar o ângulo errado

Errar o sinal com ângulo obtuso

Confundir com a fórmula da soma de vetores

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