Engenheiro vs Físico vs Matemático: as 16 perguntas do vídeo, explicadas

O que é o vídeo Engenheiro vs Físico vs Matemático?

Um matemático, um engenheiro e um físico sentam à mesa, cada um coloca R$ 100, e respondem 16 perguntas que vão de equação da continuidade a teoria dos conjuntos. Quem responde mais leva tudo. Em dois meses o vídeo passou de 2,7 milhões de visualizações e virou o maior da história do Universo Narrado. O físico da mesa sou eu.

O comentário mais curtido resume o jogo: "matemático cria o problema, físico explica e engenheiro resolve". O segundo mais curtido é de quem "respondeu tudo primeiro, todas erradas". E centenas pedem a mesma coisa: a explicação de cada resposta, porque no vídeo elas passam rápido. Este artigo é essa explicação, pergunta por pergunta, com o minuto do vídeo e o link do tópico aqui no blog pra quem quiser ir além.

Pra ser honesto com você: a maior parte das perguntas não mede inteligência. Mede repertório. Quem já tinha visto o paradoxo do aniversário respondeu em um segundo; quem não tinha, não resolveria em dez minutos. É por isso que o vídeo diverte e é por isso que ele ensina.

As perguntas de Física: o tubo, o raio, a ponte e o carro que freia

Quatro perguntas de Física, e nenhuma exige conta. Exigem saber o que está acontecendo.

01 · Um tubo que afunila pra metade do diâmetro: a velocidade muda por qual fator?

Quadruplica. Metade do diâmetro é um quarto da área, e o mesmo fluxo tem que passar por ela.

É a equação da continuidade: o que entra por segundo sai por segundo, então $A_1{v}_1=A_2{v}_2$. A área de um tubo circular é $A=\pi d^2\mathrm{/}4$, proporcional ao quadrado do diâmetro. Diâmetro pela metade, área dividida por 4, velocidade multiplicada por 4. No vídeo, a resposta "quatro" saiu antes de o apresentador terminar a frase, e os outros dois pediram pra repetir a pergunta. É a física da mangueira com o dedo na ponta.

Ver a pergunta no vídeo (00:35)

05 · Se o ar é isolante, por que existem raios?

Porque isolante tem limite. Acima de certo campo elétrico, qualquer meio vira condutor. Esse limite é a rigidez dielétrica.

Todo material suporta um campo elétrico máximo antes de romper. Pro ar seco, a rigidez dielétrica é da ordem de 3 milhões de volts por metro. A nuvem acumula carga, o solo acumula a carga oposta, e o campo entre eles cresce até passar desse limite. Aí o ar se ioniza, vira um canal condutor e a descarga acontece. O único "meio" que não rompe é o vácuo, e o vácuo não é meio: é o nada, como brincaram no vídeo. Essa foi a pergunta feita pro físico da mesa, e ele sabia disso.

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06 · Por que soldados marchando podem derrubar uma ponte, e uma multidão caminhando não?

Ressonância. Todo corpo tem uma frequência natural; se a excitação bate nela, a amplitude cresce até quebrar.

Uma ponte é um sistema elástico com frequências naturais de vibração. Gente caminhando aleatoriamente aplica forças em instantes descoordenados, que se cancelam em média. Soldados em passo cadenciado aplicam a força sempre no mesmo ritmo; se esse ritmo coincide com a frequência natural, cada passo soma energia à oscilação anterior. É o mesmo motivo pelo qual uma corda de violão vibra sozinha quando você toca a nota dela na corda ao lado. Por isso exércitos quebram o passo ao cruzar pontes. O engenheiro fez mestrado justamente em vibrações, e os outros dois reclamaram que a pergunta era roubada.

Ver a pergunta no vídeo (05:25)

11 · Se a energia não se cria nem se destrói, pra onde vai a energia de um carro que freia?

Vira calor e som. A energia cinética ordenada do carro vira energia cinética desordenada das moléculas: energia térmica.

O atrito no disco de freio e entre pneu e asfalto esquenta as peças; uma parte pequena vira ruído. A energia total se conserva, mas muda de qualidade. E aqui entra a segunda lei da termodinâmica: movimento ordenado vira bagunça molecular com facilidade, mas a bagunça não volta a virar movimento. Colocar um isqueiro embaixo de um bloco não faz ele sair andando, porque a chance de 6×10²³ moléculas alinharem a velocidade pro mesmo lado é tão pequena que nunca acontece. A segunda lei é uma lei estatística. O matemático da mesa lembrou que quem construiu essa teoria eram matemáticos, e que a área dele, a teoria ergódica, prova que o "estado improvável" acontece, sim, mas num tempo infinito. Boltzmann agradece.

Ver a pergunta no vídeo (10:47)

As perguntas de contagem e probabilidade: xadrez, relógio, aniversário e o número racional

Aqui a intuição erra com confiança. Todas as quatro têm uma resposta "óbvia" que está errada.

03 · Quantos quadrados distintos existem num tabuleiro de xadrez 8×8?

204. Não são só as 64 casas: todo quadrado de lado 2, 3, até 8 também conta.

Um quadrado de lado k cabe em (9 − k) posições na horizontal e (9 − k) na vertical. Lado 1: 64. Lado 2: 49. Lado 3: 36. Até o tabuleiro inteiro, lado 8: 1. A soma é a dos quadrados de 1 a 8, e existe fórmula pra ela: ${\displaystyle \sum _{k=1}^8{k}^2=\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}=204}$. A primeira resposta ao vivo foi 64; o engenheiro fez a conta de cabeça em seguida e comemorou como quem ganhou o jogo. Quem responde 64 está contando só as casas.

Ver a pergunta no vídeo (01:38)

07 · Quantas vezes por dia os ponteiros de um relógio se sobrepõem?

22. Em cada 12 horas são 11 encontros, não 12.

Pense em velocidade relativa: em 12 horas o ponteiro dos minutos dá 12 voltas e o das horas dá 1, então o dos minutos "ultrapassa" o das horas ${\omega }_{\text{min}}-{\omega }_{\text{h}}=12-1=11$ voltas relativas por 12 h. Os encontros acontecem a cada 12/11 de hora, cerca de 65 minutos e 27 segundos: 12:00, 1:05, 2:10, 3:16 e assim por diante, até voltar às 12:00. Em 24 horas, 22. Ao vivo saíram 24, 23 e 25 antes do 22. Um contou a meia-noite duas vezes; outro sabia do "um a menos", mas esqueceu que o relógio é de 12 horas, não de 24.

Ver a pergunta no vídeo (06:30)

08 · Quantas pessoas bastam pra que seja mais provável que não que duas façam aniversário no mesmo dia?

23. Com 23 pessoas a chance passa de 50%; com 50, passa de 97%.

A intuição compara 23 com 365 e acha pouco. Mas o que importa é o número de pares: 23 pessoas formam 253 pares, e cada par é uma chance de coincidência. A conta certa é pelo evento contrário, "todos os aniversários são diferentes": 364/365 × 363/365 × … até 23 fatores, que dá 49,3%. Logo a chance de pelo menos uma coincidência é 50,7%. A resposta certa saiu em um segundo, e quem acertou admitiu na hora: "ganhei pelo repertório". O canal tem um vídeo só sobre isso. A explicação completa, com tabela e gráfico, está no artigo do paradoxo do aniversário.

Ver a pergunta no vídeo (07:02)

16 · Escolhendo um número real ao acaso entre 0 e 1, qual é a chance de ele ser racional?

Zero. Os racionais são infinitos, mas são um infinito "menor" que o dos irracionais.

Os racionais são enumeráveis: dá pra colocá-los numa lista 1, 2, 3, … como os naturais. Os irracionais não: Cantor provou que eles formam um infinito de outra categoria, incontável. Um conjunto enumerável dentro de um intervalo tem "comprimento" zero, então a probabilidade de sortear um racional é exatamente zero, mesmo existindo infinitos deles. Parece invertido, porque os irracionais que a gente conhece pelo nome (√2, π, e) parecem raros. São a regra; os racionais são a exceção. Essa pergunta valia a partida.

Ver a pergunta no vídeo (18:59)

As perguntas de geometria: paralelepípedo, Napoleão, decágono e o mapa da Terra

Da mais fácil do vídeo à mais profunda. A última é matemática de pós-graduação disfarçada de curiosidade.

04 · Se você dobrar todas as arestas de um paralelepípedo, o volume aumenta quanto?

Oito vezes. Volume é o produto de três comprimentos, e cada um dobrou.

$V=abc\Rightarrow (2a)(2b)(2c)=8abc$. É a mesma lógica da pergunta do tubo: comprimento escala linearmente, área com o quadrado, volume com o cubo. Por isso um elefante não é uma formiga ampliada, e por isso dobrar a escala de uma maquete multiplica o material por oito. Resposta em coro, seguida de "essa foi trivial".

Ver a pergunta no vídeo (04:21)

09 · Construa um triângulo equilátero sobre cada lado de um triângulo qualquer e marque os centros. O que aparece?

Um triângulo equilátero. É o teorema de Napoleão, e vale pra qualquer triângulo de partida.

Não importa quão torto seja o triângulo original: os centros dos três equiláteros construídos pra fora formam sempre um equilátero. Construídos pra dentro, também. A prova mais curta usa rotações de 60° em torno de cada centro; o resultado leva o nome de Napoleão Bonaparte, embora ninguém tenha certeza de que ele o provou. No vídeo, eu admiti ter aprendido o teorema com o engenheiro, que já fez uma live demonstrando. Segundo ele, o resultado já caiu em vestibular militar, numa questão antiga do IME ou do ITA.

Ver a pergunta no vídeo (09:12)

10 · Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de 10 lados?

1440°. Um decágono se divide em 8 triângulos a partir de um vértice, e cada um soma 180°.

$S=(n-2)\cdot 180^{\circ }=8\cdot 180^{\circ }=1440^{\circ }$. O erro clássico apareceu ao vivo: alguém puxou a fórmula do número de diagonais em vez da dos ângulos. A regra pra não confundir é lembrar de onde vem: de um vértice saem diagonais que cortam o polígono em n − 2 triângulos. Outro caminho: 10 × 180° menos os 360° que sobram em volta do ponto central.

Ver a pergunta no vídeo (10:16)

13 · Por que é impossível fazer um mapa perfeito da Terra numa folha plana?

Porque a esfera tem curvatura e o plano não, e curvatura é propriedade intrínseca: nenhuma projeção preserva tudo.

É o Theorema Egregium de Gauss, de 1827. A curvatura de uma superfície pode ser medida por quem vive nela, sem sair pra olhar de fora. Uma esfera tem curvatura positiva em todo ponto; um plano tem curvatura zero. Como toda projeção é um mapa entre as duas, ela obrigatoriamente distorce distâncias, áreas ou ângulos. Mercator preserva ângulos e explode a Groenlândia; outras preservam área e deformam a forma. No vídeo, a frase "isso é até fácil de provar" durou dois segundos antes da correção: fácil não é.

Ver a pergunta no vídeo (14:36)

As perguntas de números: Euler, Gauss, o primo 101 e a humanidade num mapa

Três clássicos e uma estimativa. A estimativa é a que mais diz sobre como um físico e um engenheiro pensam.

02 · Quanto vale e elevado a iπ, mais 1?

Zero. É a identidade de Euler, a equação mais famosa da matemática.

Vem da fórmula de Euler, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\text{sen}\theta$, que liga a exponencial aos senos e cossenos. Com θ = π, o cosseno vale −1 e o seno vale 0: $e^{i\pi }=-1\Rightarrow e^{i\pi }+1=0$. Cinco constantes fundamentais (e, i, π, 1 e 0) numa linha. Os três responderam em coro; a piada foi que o engenheiro demorou "um milissegundo" a mais.

Ver a pergunta no vídeo (01:07)

12 · Se toda a humanidade se juntasse no mesmo lugar, que área ela ocuparia?

Uns 2 mil km², pouco mais que o município de São Paulo. Quatro pessoas em pé cabem num metro quadrado.

É uma estimativa de Fermi: não existe resposta exata, existe ordem de grandeza. $8\times 10^9\text{ pessoas}\times 0,25{\text{m}}^2=2\times 10^9{\text{m}}^2=2000{\text{km}}^2$. O município de São Paulo tem cerca de 1.500 km². Se a estimativa for de 2 pessoas por metro quadrado, dá 4 mil km²; se for de 5, dá 1.600. A ordem de grandeza não muda, e é isso que a pergunta mede: quem sabe estimar antes de calcular.

Ver a pergunta no vídeo (14:04)

14 · Qual é a soma de todos os inteiros de 1 a 1000?

500.500. Pareie 1 com 1000, 2 com 999, e assim por diante: 500 pares de 1001.

$1+2+\cdots +1000=\frac{1000\cdot 1001}{2}=500500$. É a soma de uma progressão aritmética, e a história diz que Gauss fez isso na escola com os números de 1 a 100. O jeito mais limpo é escrever a lista de frente pra trás embaixo da lista original: cada coluna soma 1001, são 1000 colunas, e você contou tudo duas vezes. No vídeo, dois dos três armaram a conta certa e erraram a multiplicação final: um deles multiplicou por 50 em vez de 500. Armar é a matemática; multiplicar, como o matemático disse, "é coisa de máquina".

Ver a pergunta no vídeo (15:43)

15 · Qual é o primo imediatamente depois de 100? E por que 1001 não é primo?

101 é primo. E 1001 = 7 × 11 × 13, o que faz todo número da forma ABCABC ser divisível por 7, 11 e 13.

Pra testar 101 basta tentar os primos até √101 ≈ 10: nem 2, nem 3, nem 5, nem 7 dividem. O bônus veio do engenheiro, "amigo dos números primos": 1001 = 7 × 11 × 13. Isso resolve uma questão clássica de vestibular: um número como 492492 é $\overline{ABCABC}=\overline{ABC}\times 1001=\overline{ABC}\times 7\times 11\times 13$, então ele é divisível por 7, 11 e 13 sempre, não importa o ABC. Repertório puro, e é o tipo de coisa que separa quem resolve em dez segundos de quem fatora na mão.

Ver a pergunta no vídeo (16:49)

Afinal, quem é mais inteligente?

Ninguém, e o vídeo mostra isso sem querer. Cada um respondeu primeiro exatamente as perguntas da própria área: o físico levou raios e entropia, o engenheiro levou as contas rápidas, a ressonância e o repertório de primos, o matemático levou a teoria ergódica e o nome do teorema de Gauss. Nas perguntas fora da área, todos erraram parecido.

Um comentário com 900 curtidas explicou o que muita gente estranhou: o matemático, "que em tese é quem mais estudou matemática", não ganhou de lavada. É que faculdade de Matemática não treina conta; treina demonstração. O que o vídeo compara não é inteligência. É o tipo de ferramenta que cada formação afia. Se você está escolhendo curso, essa diferença importa mais do que qualquer ranking, e a gente destrinchou ela em Engenharia, Física ou Matemática: qual escolher?.

O que o vídeo ensina sobre estudar

Repara em quantas respostas vieram de "eu já vi isso": o paradoxo do aniversário, o teorema de Napoleão, o 1001 = 7 × 11 × 13, a soma de Gauss. Nenhuma foi deduzida na hora. Foram reconhecidas. Repertório é o que transforma uma pergunta de dez minutos numa de dez segundos, e ele se constrói de um jeito só: entendendo de onde cada fórmula vem, uma vez, pra nunca mais precisar decorar.

É exatamente a tese do Guia de Fórmulas Explicadas, que eu escrevi com o engenheiro da mesa (a gente até fala dele no vídeo, logo depois do paradoxo do aniversário). Cada fórmula de Física e Matemática do ensino médio contada como história: de onde vem, por que tem essa cara, onde cai. Foram mais de 12 mil exemplares em um mês, e a tiragem acabou. Se você quiser ser avisado da próxima, o link está no fim do artigo.

Os erros que os três cometeram, e que você também cometeria

O vídeo é honesto: mostra os erros ao vivo. Eles são exatamente os erros de prova.

1. 01

   Contar só as casas do tabuleiro

   64 é a resposta de quem lê "quadrados" como "casas". A pergunta quer todos os quadrados, de lado 1 a lado 8, e a soma é 204.

   Como evitar: quando a pergunta disser "distintos", procure os tamanhos diferentes antes de contar.
2. 02

   Responder 24 pros ponteiros

   Meio-dia e meia-noite são um encontro só, e em 12 horas são 11 encontros, não 12. Dois erros que se somam pra 24.

   Como evitar: pense em velocidade relativa: 12 voltas menos 1 volta dá 11 ultrapassagens por meio dia.
3. 03

   Usar a fórmula errada de polígono

   Diagonais e ângulos internos têm fórmulas parecidas com n − 2 e n − 3 no meio. Ao vivo, um dos três puxou a das diagonais.

   Como evitar: deduza em vez de lembrar: de um vértice saem n − 2 triângulos, cada um com 180°.
4. 04

   Armar a conta certa e errar a multiplicação

   Na soma de 1 a 1000, dois deles escreveram 1000 × 1001 / 2 e disseram 500 mil. A matemática estava certa; a aritmética, não.

   Como evitar: termine a conta com o mesmo cuidado com que armou, principalmente quando parecer trivial.

FAQ: o vídeo Engenheiro vs Físico vs Matemático