O que são números primos e por que eles importam

O que são números primos?

Um número primo é um número inteiro maior que 1 que só dá pra dividir, sem sobrar resto, por 1 e por ele mesmo. Esse número é como se fosse um átomo dos números. Ele é um número inquebrável, diferente, por exemplo, do número dez, que eu posso quebrar ele como sendo dois vezes cinco. Já o primo não parte em nada.

Entre 0 e 100 existem só 25 desses átomos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e por aí vai. Todo o resto dos números nasce da multiplicação deles.

Por que o 1 não é primo?

O número 1 não é primo, e a razão vai muito além de "regra de escola". Se ele fosse, a fatoração de qualquer número deixaria de ser única.

Pensa comigo. O 30 eu escrevo como $2 \times 3 \times 5$, e não tem outro jeito de quebrar ele em primos. Então 30, por exemplo, eu poderia escrever ele de várias formas diferentes, caso 1 fosse primo, simplesmente adicionando um fator 1 multiplicando o número, já que multiplicar por 1 não altera o número. Daria pra escrever ele como $1 \times 2 \times 3 \times 5$, ou $1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 5$, e a escrita única ia por água abaixo.

Só que existe um teorema muito importante da matemática chamado teorema fundamental da aritmética que diz que todo número inteiro positivo pode ser escrito de uma forma única como produto de primos. Pra esse teorema continuar de pé, o 1 é deixado de fora de propósito. É mais fácil dizer que ele não é primo do que abrir uma exceção no teorema toda santa vez.

Como saber se um número é primo?

Pra saber se um número é primo, você vai atrás dos divisores dele. E o atalho é esse. Divide esse número aí por diversos primos. Dois, três, cinco, sete, e vê se o resultado dá um número inteiro.

Se nenhum primo pequeno divide certinho, ele é primo. Se algum divide, você achou um fator e ele é composto. E tem um detalhe que poupa trabalho: só precisa testar até a raiz quadrada do número. Passou disso, pode parar.

O 91 parece primo à primeira vista, mas $91 = 7 \times 13$. Então não é. Já um caso mais casca-grossa é o 3233: você testa 2, 3, 5, 7, vai dando errado, até que você vai chegar no número 53 que é primo e percebe que a divisão exata dá 61 que é outro primo. Ou seja, $3233 = 53 \times 61$, e o mesmo teste no braço resolve.

A tabela abaixo mostra o teste aplicado a alguns candidatos, com o veredito de cada um.

Como funciona o Crivo de Eratóstenes?

O Crivo de Eratóstenes é o jeito mais antigo e mais visual de caçar os primos: você escreve os números de 2 até onde quiser numa grade e vai riscando os múltiplos, camada por camada.

O processo é mecânico:

1. Começa no 2. Mantém ele e risca todos os múltiplos de 2 pra frente: 4, 6, 8, 10...
2. Vai pro próximo número que sobrou limpo, o 3. Mantém e risca 6, 9, 12, 15...
3. O próximo sem risco é o 5. Mantém e risca 10, 15, 20...
4. Depois o 7, e segue assim, sempre pegando o menor número que ainda não foi riscado.

Quando você termina, os números que sobraram sem risco são exatamente os primos. Nenhuma decoreba, só o processo, e o bonito é que ele constrói a lista inteira dos primos pra você, em vez de você adivinhar um por um.

Quais são os primos até 100?

Entre 0 e 100 existem só 25 números primos, e essa lista sai direto do crivo da seção anterior.

Começa no 2 e no 3. Depois a gente tem o 5, o 7, o 11, o 13 e por aí vai. Esses aí são todos os primos entre 0 e 100. São só 25 números. Todo o resto é número composto.

A tabela abaixo junta todos eles de uma vez, organizados por dezena, pra você usar de apoio na hora de estudar ou conferir uma conta.

E repara numa coisa: o 2 é o único primo par que existe. A partir dele, todo primo é ímpar, qualquer outro par já seria divisível por 2, e aí teria mais de dois divisores.

Como decompor em fatores primos?

Decompor um número em fatores primos é quebrar ele nos seus átomos, até não dar mais pra quebrar. Essa é a forma mais simplificada possível de escrever o número 30: 2 vezes 3 vezes 5. O 60 segue o mesmo caminho e vira $2^2 \times 3 \times 5$.

E aqui mora um dos teoremas mais bonitos da matemática. Eles sempre podem ser escritos de uma forma única como um produto de números primos. E qualquer número pode ser escrito assim, qualquer um mesmo. Esse é o Teorema Fundamental da Aritmética: não tem ambiguidade nenhuma, é sempre a mesma combinação.

Na prática, você vai dividindo pelo menor primo possível e anotando os fatores no caminho:

1. $60 \div 2 = 30$
2. $30 \div 2 = 15$
3. $15 \div 3 = 5$
4. $5 \div 5 = 1$

Os primos que você usou (2, 2, 3 e 5) são a impressão digital do 60. Nenhum outro número tem essa mesma combinação. E é justamente essa impressão digital que resolve as contas da próxima seção.

Como usar primos no MMC e MDC?

Pra usar os primos no MMC e no MDC, o caminho é sempre o mesmo: você decompõe os dois números em fatores primos e lê o resultado.

É aqui que os primos deixam de ser curiosidade e viram ferramenta de trabalho. Esse lance de quebrar o número nas menores porções a gente usa pra caceta pra fazer simplificações e pra desenvolver certas contas que são muito grandes. Fazer contas com frações, com números grandes, divisões, fica algo extremamente simples: é simplificar $\tfrac{24}{36}$ achando o fator comum, ou somar frações de denominadores diferentes sem sofrimento.

Tem ainda um caso especial. Quando dois números não compartilham nenhum primo, eles são primos entre si (os coprimos), e o MDC deles é 1.

Nas páginas de MMC e de MDC eu abro cada uma dessas contas no detalhe, passo a passo.

Para que servem os números primos?

Você usa números primos toda vez que faz um Pix ou passa o cartão, mesmo sem perceber. Todo o sistema de segurança bancário depende de uma única equação matemática. E essa equação inteira é feita de primos.

Funciona assim: a chave pública que protege a sua conta é o produto de dois primos gigantes. Os bancos usam, por exemplo, números primos com mais de 600 dígitos, tipo esses dois números $p$ e $q$. Você multiplica os dois e nasce a chave que circula pela internet, à vista de qualquer um.

O truque está na mão única. Multiplicar dois primos é moleza pro computador. Refazer o caminho de volta é que é o inferno. Num exemplo pequeno, só consegue abrir o cadeado descobrindo quais são os números primos que geraram aquela chave, no caso 53 e 61. Essas são as chaves privadas.

Agora imagina fatorar um número de centenas de dígitos: levaria bilhões de anos, mesmo com um computador parrudo. É por isso que a sua conta dorme tranquila.

Quero te mostrar isso funcionando: nesse vídeo eu abro o cadeado do RSA com o 53 e o 61.

Os números primos são infinitos?

Sim, os primos são infinitos. Nunca chega um "último" primo, e isso o Euclides já provou há mais de 2 mil anos.

Mas tem um porém: eles vão ficando raros e imprevisíveis conforme os números crescem. Entre um e mil, por exemplo, existem só 168 primos. Entre um e dez milhões, só seis por cento de todos os números são primos. E ninguém nunca achou uma fórmula que diga onde o próximo vai cair.

É dessa raridade que saem as curiosidades mais famosas. Os primos gêmeos, que são pares separados por só 2, tipo 11 e 13, ou 17 e 19. E a caça ao maior primo conhecido, que hoje é um número de dezenas de milhões de dígitos, achado por computador em projetos colaborativos.

É a parte em que, afinal de contas, matemática é arte. O resto é só fazer conta.

Como os primos caem no ENEM?

Na prova, "números primos" quase nunca cai como definição solta. Ele vem disfarçado dentro de um problema de divisibilidade, de MMC/MDC ou de contagem, e quem reconhece o disfarce resolve na metade do tempo.

Os dois padrões que mais aparecem:

Aqui eu resolvo passo a passo algumas dessas questões no estilo ENEM e dos vestibulares militares, mostrando onde a fatoração entra e por que ela encurta a conta, do jeito que você vai encontrar na prova de verdade.

Perguntas frequentes sobre números primos